Zastosowanie metody mory cieniowej w badaniach kształtu

Krzysztof ŚCIGAŁA , Sylwia SZOTEK
® wszelkie prawa zastrzeżone
METODA MORY
W BADANIACH ROZKŁADÓW PRZEMIESZCZEŃ
I KSZTAŁTU POWIERZCHNI
1.
WPROWADZENIE
Metoda mory to technika pomiaru przemieszczeń, kształtu, nachylenia
lub krzywizny powierzchni badanego obiektu opierająca się na wykorzystaniu efektu
interferencji mechanicznej zachodzącego przy nałożeniu się obrazu przynajmniej pary
siatek (rastrów) czyli geometrycznych układów linii lub kropek. W metodzie tej jedna
z siatek zostaje związana z obiektem, i poprzez jego kształt, lub przemieszczenie
punktów na jego powierzchni powtarzalny układ linii lub kropek zostaje odkształcony.
Druga z siatek pozostaje w stanie wyjściowym. W wyniku nałożenia tych dwóch siatek
obserwujemy układ prążków, których położenie oraz kształt jest zależne od kształtu,
lub stanu przemieszczeń obserwowanej powierzchni.
Do zalet tej metody przede wszystkim można zaliczyć szeroki zakres aplikacji
w jakich może być zastosowana poprzez wybór odpowiedniego układu pomiarowego
oraz dobór odpowiednich siatek, bezdotykowy charakter pomiaru, możliwość rejestracji
przemieszczeń lub warstwic powierzchni na całej badanej powierzchni, możliwość
przygotowania układu pomiarowego korzystając z ogólnie dostępnych elementów, niski
koszt prowadzenia badań w porównaniu z innymi optycznymi metodami pomiarowymi
oraz w niektórych przypadkach możliwość prowadzenia pomiarów przez osoby
z minimalnym przeszkoleniem (badania porównawcze w kontroli jakości wyrobów).
Wady metod mory związane są głównie z trudnościami technicznymi wiązanymi
z powiązaniem siatki z badaną powierzchnią, przygotowaniem powierzchni obiektu
przedmiotu do badań, oraz mniejszą niż w innych metodach pomiarowych dokładnością
pomiaru.
2.
PODSTAWY FIZYCZNE ORAZ PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI
2. 1. INTERFERENCJA MECHANICZNA
Podstawowym efektem jaki jest wykorzystywany w metodzie mory jest
tzw. interferencja mechaniczna zwana inaczej interferencją geometryczną. Efekt ten jest
widoczny przy nałożeniu na siebie obrazów dwóch geometrycznych układów linii
lub kropek. Przyczyną tego efektu są zmiany natężenia światła przechodzącego przez
układ dwóch siatek.
Przykładem może być nałożenie dwóch siatek składających się z równoległych
prostych linii, na przemian ciemnych (nie-transparentnych) i jasnych (transparentnych)
o różnych podziałkach czyli różnych odległościach pomiędzy liniami (Rys. 1).
W punkcie A, jasna linia siatki 1 i siatki 2 pokrywają się, tak więc natężenie światła
w tym punkcie osiąga wartość maksymalną. W miarę przesuwania się w kierunku
punktu B natężenie światła zmniejsza się ze względu na zmniejszającą się szerokość
szczeliny pomiędzy ciemnymi liniami siatki.
W punkcie B ciemna linia siatki 2 pokrywa się z jasną linią siatki 1 całkowicie
ją zakrywając. Światło nie ma możliwości przejścia przez układ siatek w tym punkcie
i jego natężenie spada do zera. W punkcie B będziemy więc obserwować ciemny
prążek, natomiast w punkcie A prążek jasny.
B
A
B
c1
SIATKA 1
SIATKA 2
c2
1+2

Rys. 1. Efekt interferencji mechanicznej
Jak zatem widać z powyższego interferencja mechaniczna nie jest zjawiskiem
nakładania się dwóch fal i nie należy jej utożsamiać z interferencją optyczną.
1.2. PODSTAWOWE OBRAZY PRĄŻKOWE ORAZ ZALEŻNOŚCI JE OPISUJĄCE
Wśród obrazów prążkowych jakie powstają przy nałożeniu dwóch siatek, można
wyróżnić pewne podstawowe układy prążków jakie powstają przy podstawowych
rozkładach przemieszczeń bądź dla podstawowych kształtów badanych przemieszczeń.
W badaniach przemieszczeń podstawowe obrazy prążkowe powstają
przy czystym przemieszczeniu liniowym oraz przy czystym przemieszczeniu kątowym.
Przez przypadek czystego przemieszczenia liniowego należy tu rozumieć nałożenie
dwóch siatek o tej samej podziałce c w (czyli tej samej odległości pomiędzy liniami
ciemnymi), z których jedna (związana z powierzchnią badanego obiektu) poddana
została liniowemu odkształceniu x. W wyniku odkształcenia podziałka siatki
obiektowej zwiększy się do wartości c o. Efekt nałożenia dwóch siatek będzie więc
w tym przypadku identyczny jak efekt nałożenia dwóch siatek o różnych podziałkach
c1 i c2 prezentowany na rys. 2. Efektem nałożenia siatek będzie układ prostoliniowych,
równoodległych prążków, prostopadłych do kierunku odkształcenia powierzchni
obiektu (Rys. 2).
S iat ka 1
S iat ka 2
1+2
Rys. 2. Obraz prążków mory dla czystego przemieszczenia liniowego
Wartości przemieszczeń punktów na powierzchni obiektu mogą być w tym przypadku
wyznaczone na podstawie zależności:
(1)
u x  mcw
gdzie: ux – przemieszczenie w kierunku prostopadłym do kierunku prążków mory,
m – numer prążka,
cw – podziałka siatki nieodkształconej.
Numer prążka można określić w ten sposób, że prążek o numerze 1 to prążek, którego
odległość do punktu w którym przemieszczenie ux = 0 jest najmniejsza, odsuwając
się od tego punktu kolejne prążki będą miały kolejne numery. Odległość pomiędzy
kolejnymi prążkami można zmierzyć na obrazie prążkowym lub określić na podstawie
wzoru:
(2)
  ncw
gdzie:  - odległość pomiędzy kolejnymi prążkami mory,
n – liczba działek siatki wzorcowej pomiędzy osiami kolejnych prążków,
cw – podziałka siatki nieodkształconej.
W przypadku czystego przemieszczenia kątowego jednej z siatek względem drugiej,
czyli obrotu jednej z siatek wokół ustalonego punktu bez przemieszczenia liniowego.
Dla takiego przypadku przemieszczenia dwóch siatek, obraz prążkowy, będzie składał
się z równoległych, równoodległych prążków, ułożonych względem linii siatki
wzorcowej pod pewnym kątem (Rys. 3). Składowe przemieszczeń prostopadłe
do kierunku linii siatki wzorcowej możemy wyznaczyć na podstawie zależności (1). Kąt
obrotu siatek względem siebie można określić na podstawie pomiaru odległości
pomiędzy prążkami  wg zależności:
 c
(3)
sin  w
2 2
gdzie:  - kąt obrotu siatek względem siebie,
cw – podziałka siatek,
- odległość pomiędzy prążkami mory.
Rys. 3. Obraz prążków mory dla czystego przemieszczenia kątowego
Dla bardzo małych wartości kąta powyższa zależność przyjmuje formę uproszczoną:
c
(4)
 w

W przypadku ogólnym, podczas badania stanu przemieszczeń punktów na powierzchni
danego obiektu, linie siatki z tą powierzchnia związanej doznają zarówno
przemieszczeń liniowych jak i kątowych. W wyniku tego obraz pasm mory, który
powstanie będzie wynikiem nałożenia się równoległych rodzin linii prostych siatki
wzorcowej oraz rodziny linii zdeformowanych siatki obiektowej (Rys. 4).
Rys. 4. Obraz prążków mory dla przypadku ogólnego
Numery linii siatki wzorcowej i obiektowej na rys. 3 zostały dobrane w ten sposób,
że linie obu siatek pokrywające się przed odkształceniem obiektu mają te same numery.
Można zauważyć, że prążek rzędu m łączy punkty przecięcia linii obu siatek różniące
się również o m. Wartości przemieszczeń w kierunku prostopadłym do kierunku linii
siatki wzorcowej można zatem określić, na podstawie zależności:
u x  mcw
(5)
gdzie: ux – przemieszczenie w kierunku prostopadłym do kierunku linii siatki
wzorcowej,
m – numer prążka,
cw – podziałka siatki nieodkształconej.
Z powyższej zależności wynika, że różnica wartości przemieszczeń dla kolejnych
prążków jest równa podziałce siatki:
u xm  u xm 1  cw
(6)
Oznaczając, jak na rys. 4 składowe odstępu pomiędzy prążkami można wyznaczyć
następujące zależności umożliwiające określenie składowych stanu odkształcenia
w obszarze pomiędzy prążkami:
u c w
u c w
oraz
(7)


y  y
x  x
v
v
oraz
.
y
x
Na podstawie znanych związków Cauchy’ego można wyznaczyć składowe stanu
odkształceń dla przypadku ogólnego (zakładając małe wartości odkształceń liniowych
i kątowych):
Analogicznie obracając siatkę wzorcową o 900 można wyznaczyć wartości
x 
u
,
x
y 
v
,
y
 xy 
u v

y x
(8)
Rys. 5. Odległość pomiędzy prążkami oraz jej składowe
dla ogólnego przypadku analizy stanu przemieszczeń
W badaniach kształtu podstawowe obrazy prążkowe powstają dla powierzchni płaskiej
ustawionej pod kątem względem siatki odniesienia, dla powierzchni walcowej oraz
powierzchni kulistej.
Dla ustawionej pod kątem powierzchni płaskiej układ prążków będzie podobny jak dla
czystego przemieszczenia liniowego – prostoliniowe, równoodległe prążki mory. Prążki
mory są wynikiem różnicy wartości podziałek siatki związanej z obiektem c o i siatki
odniesienia cw. Zmiana podziałki siatki związanej z obiektem jest efektem skrócenia
jej długości przy obserwacji pod pewnym kątem (Rys. 6a). Kąt nachylenia badanej
powierzchni względem siatki odniesienia można wyznaczyć korzystając z zależności:
cos  
  cw
  2c w
(9)
gdzie:  - kąt nachylenia badanej powierzchni względem siatki odniesienia,
 - odległość pomiędzy prążkami mory,
cw – podziałka siatki odniesienia.
a)
b)
Rys. 6. Obraz prążków mory dla powierzchni nachylonej do siatki odniesienia (a)
oraz dla powierzchni walcowej (b)
W przypadku powierzchni walcowej obraz prążków mory to układ równoległych
prostych linii. Odległość pomiędzy kolejnymi liniami jest zmienna, zmniejszając
się od linii środkowej do krawędzi obrazu (rys. 6b).
W przypadku powierzchni kulistej obraz prążków mory to układ koncentrycznych
okręgów (Rys. 7).
Rys. 7. Obraz prążków mory dla powierzchni kulistej
W przypadkach ogólnych dla powierzchni o złożonym kształcie można również
wyróżnić pewne charakterystyczne fragmenty obrazy prążków mory (Rys. 8). Pierwszy
z obrazów tzw. ”oko byka” jest zbliżony do obrazu charakterystycznego
dla powierzchni kulistej. Powstaje on w miejscach w których powierzchnia badana jest
wypukła a jego punkt centralny to punkt najbardziej zbliżony do siatki odniesienia.
Drugi obraz tzw. „siodło” powstaje w miejscach w których powierzchnia badana jest
wklęsła a jego punkt centralny to najbardziej oddalony od siatki punkt w tym rejonie.
a)
b)
Rys. 8. Obrazy prążków mory typu „oko byka” (a) i „siodło” (b)
2. KLASYFIKACJA METOD POMIAROWYCH, PODSTAWOWE UKŁADY
POMIAROWE
Ze względu na sposób uzyskiwania prążków mory można podzielić techniki
pomiarowe na:
- techniki mory projekcyjnej,
- techniki mory odbiciowej.
W technice projekcyjnej obraz jednej lub obu siatek jest nakładany przez projekcję na
powierzchnię obiektu, natomiast w przypadku mory odbiciowej powierzchnia badanego
obiektu pełni rolę zwierciadła i rzucany na obiekt obraz siatki jest przez nią odbijany.
Podstawową różnicą pomiędzy obiema technikami jest zatem to, że w technice mory
projekcyjnej obraz prążków mory powstaje bezpośrednio na badanej powierzchni,
natomiast w przypadku mory odbiciowej na dodatkowym ekranie. W przypadku
obu technik można wyróżnić, cały szereg odmian różniących się sposobem uzyskiwania
prążków mory (Rys. 9).
Podstawową techniką projekcyjną jest technika dwu-projektorowa. Układ
pomiarowy do pomiarów kształtu powierzchni z użyciem tej techniki przedstawia
Rys. 10. W układzie pomiarowym znajdują się dwa projektory, które rzutują obrazy
dwóch siatek S1 i S2 na badaną powierzchnię. W wyniku nałożenia tych obrazów
powstają prążki mory będące warstwicami badanej powierzchni.
METODA MORY
TECHNIKA ODBICIOWA
TECHNIKA PROJEKCYJNA
TECHNIKA DWU-PROJEKTOROWA
TECHNIKA LIGTENBERGA
TECHNIKA SCHMODITS’A
KLASYCZNA
ZMODYFIKOWANA
TECHNIKA RIEDERA-RITTERA
Z UŻYCIEM RÓWNOLEGŁYCH
WIĄZEK ŚWIATŁA
MODYFIKACJA
CHIANGA I TREIBERA
Z UŻYCIEM SIATEK
HOMOGRAFICZNYCH
Z UŻYCIEM MATRYCY
KAMERY CCD
MORA LOGICZNA
MORA CIENIOWA
Rys. 9. Klasyfikacja technik mory
Taki układ ma jednak szereg wad, z których podstawową jest to, iż uzyskane warstwice
nie są liniami powstającymi w wyniku przecięcia badanej powierzchni z rodziną
płaskich powierzchni lecz z rodziną powierzchni walcowych eliptycznych. Aby uzyskać
warstwice topograficzne stosuje się zmodyfikowane układy pomiarowe, w których
pomiar odbywa się z użyciem równoległych wiązek światła (rys. 10b) lub siatek
homograficznych (rys. 10c) tzn. siatek, których podziałka jest liniowo zmienna.
Modyfikacje metody dwu-projektorowej ograniczają jednak zakres pomiaru.
W układach z równoległymi wiązkami światła zmniejsza się pole pomiarowe objęte
obiema wiązkami projekcyjnymi, natomiast użycie siatek homograficznych powoduje,
że wiązka projekcyjna może padać na obiekt, tylko pod określonym kątem.
W technice używającej matrycy kamery CCD, technice mory logicznej
oraz technice cieniowej główna modyfikacja układów pomiarowych polega na użyciu
tylko jednej siatki, natomiast druga siatka jest generowana w inny sposób. W technice
używającej matrycy kamery CCD rolę siatki odniesienia pełni element światłoczuły
kamery CCD. Element ten ma postać matrycy fotodiod lub końcówek światłowodów,
a więc również jest strukturą periodyczną i może pełnić rolę siatki obiektowej.
W technice mory logicznej, siatka odniesienia nie istnieje jako obiekt fizyczny
lecz jest generowana jako obiekt logiczny przez obróbkę obrazu cyfrowego
zarejestrowanego przez kamerą i przesłanego do komputera.
a)
b)
c)
Rys. 10. Układ pomiarowy do badań kształtu techniką dwu-projektorową klasyczną (a),
z użyciem równoległych wiązek światła (b), siatką homograficzna (c)
Najczęściej stosowaną metodą jedno-siatkową jest metoda cieniowa (Rys. 11).
W metodzie tej w układzie pomiarowym znajduje się siatka odniesienia natomiast rolę
siatki obiektowej pełni jej cień padający na powierzchnię badanego obiektu. Obraz
mory jest w tym przypadku wynikiem interferencji siatki i jej cienia na badanej,
zakrzywionej powierzchni.
Rys. 11. Układ pomiarowy do badań kształtu powierzchni metodą cieniową
W układzie jak na rysunku nr 11 możliwe jest określenie kształtu powierzchni, przez
pomiar odległości siatki od danego punktu na powierzchni obiektu wg wzoru:
mcw
(10)
w
tg '  tg  '
gdzie: w - odległości siatki od danego punktu na powierzchni obiektu wg zależności,
m – numer prążka,
cw – podziałka siatki,
’ – kąt pomiędzy kierunkiem padania światła a normalną do siatki,
’ – kąt pomiędzy kierunkiem obserwacji a normalną do siatki.
Zaprezentowany układ pomiarowy posiada pewne wady, z których najistotniejszą jest
fakt, iż dla każdego punktu na powierzchni obiektu kierunek padania światła jest inny,
tak więc prążki mory nie stanowią warstwic topograficznych (różnica odległości
w = wi–wi-1 dla kolejnych prążków jest zmienna). Modyfikacja, która umożliwia
uniknięcie tej niedogodności polega na zastosowaniu równoległej wiązki światła dzięki
czemu kąt padania światła dla wszystkich punktów jest taki sam. Wówczas odległość
między rzędnymi na sąsiednich warstwicach wynosi:
cw
w 
(11)
tg  tg 
W obu opisanych układach technika mory cieniowej wymaga stosowania siatek
o stosunkowo dużych wymiarach gabarytowych w porównaniu z innymi technikami
mory projekcyjnej.
Jednym z pierwszych układów pomiarowych wykorzystujących technikę mory
odbiciowej był zaproponowany w 1954 roku układ do pomiarów ugięć płyt
Ligtenberga. Zasadniczym elementem stanowiska badawczego jest transparentny walec
(ekran) z naniesiona na nim siatką liniową (Rys. 12). Źródło światła jest umieszczone za
ekranem i przez odpowiednie oświetlenie uzyskuje się odbicie siatki na powierzchni
obiektu. Odbity od powierzchni obiektu obraz siatki rejestrowany jest przez otwór
centralnie wykonany w ekranie. Obraz mory na ekranie powstaje w wyniku podwójnej
ekspozycji siatki odbitej od modelu w stanie przed i po odkształceniu.
Rys. 12. Układ pomiarowy Ligtenberga
Podstawową modyfikacją techniki Ligtenberga jest technika Schmodits’a. W wersji
zmodyfikowanej układu pomiarowego światło porusza się w przeciwnych kierunkach
niż zostało to zaprezentowane na rys. 12. Kamera zostaje zastąpiona projektorem
z siatką, natomiast ekran pokryty jest papierem światłoczułym. Odbity od modelu obraz
siatki naświetla papier światłoczuły. Podobnie jak poprzednio stosuje się technikę
podwójnej ekspozycji. Podstawową wadą obu układów jest konieczność wykonania
walcowego ekranu o wymiarach dostosowanych do badanego obiektu
oraz przygotowanie odpowiednio dużej siatki lub rejestracja na zdjęciu o dużym
formacie.
Technika Riedera-Rittera umożliwia konstruowanie zwartych stanowisk o znacznie
mniejszych gabarytach jak również pomiary o większej dokładności. W układzie
przedstawionym na rys. 13a wiązka światła przechodzi przez matówkę oraz siatkę
i pada na zwierciadło półprzepuszczalne. Następnie wiązka światła jest kierowana
na obiekt, odbija się od jego powierzchni, przechodzi przez zwierciadło i trafia
do kamery. Obraz mory na ekranie powstaje w wyniku podwójnej ekspozycji siatki
odbitej od modelu w stanie przed i po odkształceniu. Modyfikacja Chianga i Treibera
umożliwia również pomiar kształtu powierzchni. W układzie przedstawionym
na rys. 13b światło przechodzące przez matówkę i siatkę pada na zwierciadło
półprzepuszczalne, gdzie wiązka jest rozdzielana.
a)
b)
Rys. 13. a) Układ do pomiarów techniką Riedera-Rittera
oraz b) z zastosowaniem modyfikacji Chianga i Treibera
Część światła jest kierowana na obiekt i po odbiciu od jego powierzchni pada
z powrotem na lustro półprzepuszczalne. Druga część wiązki po przejściu przez
zwierciadło półprzepuszczalne pada na klasyczne zwierciadło i jest przez nie również
kierowana z powrotem na zwierciadło półprzepuszczalne. W ten sposób w płaszczyźnie
zwierciadła półprzepuszczalnego dochodzi do nałożenia obrazu siatki zdeformowanego
przez odbicie od obiektu i obrazu wyjściowego siatki. Powstałe w ten sposób prążki
mory są rejestrowane przez kamerę.
PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ
3.
Metoda mory jest stosowana w mechanice do badań stanu przemieszczeń obiektów
w badaniach podstawowych, w badaniach przemieszczeń elementów maszyn jak
również w badaniach kształtu powierzchni elementów maszyn (np. kontrola jakości
wyrobów). Może być również stosowana w badaniach stanów przemieszczeń czy
kształtu innych obiektów (np.: badania przemieszczeń budynków, mostów lub do
pomiarów kształtu powierzchni pleców w badaniach postawy ciała).
Przykładami zastosowania metody mory do badania stanu przemieszczeń mogą być
badania rozkładów przemieszczeń belki poddanej czystemu zginaniu (Rys. 14) oraz
kołowej tarczy ściskanej (Rys. 15).
a)
b)
-1
ugięcie [mm]
0
1
2
3
Rys. 14. Zastosowanie metody mory w badaniach przemieszczeń belki poddanej
czystemu zginaniu: obraz prążków mory (a), wykres ugięcia belki (b)
W pierwszym przypadku belkę o wysokości 2,54 mm i długości 305 mm wykonaną
z tworzywa sztucznego poddano obciążeniu jak na Rys. 14. Na belce naniesiono siatkę
o podziałce cw=0,0845 mm. Obserwacje prowadzono przez siatkę odniesienia o takiej
samej podziałce. Linie obu siatek ułożone były poziomo, równolegle do osi długiej
belki. Prążki o najniższych numerach występują przy podporach, natomiast wraz ze
zbliżaniem się do środka odcinka między podporami numery prążków rosną. Na
przedstawionym wykresie punkty przez które przebiega linia ugięcia belki zostały
wyznaczone na podstawie analizy obrazu mory, przez wyznaczenie punktów przecięcia
prążków mory z osią symetrii belki.
W przypadku tarczy kołowej obciążeniu dwiema siłami ściskającymi wzdłuż
średnicy poddano tarczę o średnicy 12,7 mm wykonaną z poliuretanu. Na powierzchni
tarczy naniesiona została siatka o podziałce c w=0,0845 mm. Linie siatki były ułożone
pionowo, równolegle do ściskanej średnicy tarczy. Analizę rozkładu przemieszczeń
przeprowadzono wzdłuż średnicy tarczy prostopadłej do osi ściskanej. Rozkład
przemieszczeń ux równoległych do średnicy wzdłuż której prowadzono analizę
przedstawia Rys. 15b. Na podstawie rozkładu przemieszczeń wyznaczono również
rozkład odkształceń x.
a)
b)
Rys. 15. Zastosowanie metody mory w badaniach tarczy ściskanej
a) rozkład prążków mory b) rozkład przemieszczeń ux i odkształceń x
Przykładami zastosowania metody mory w analizie kształtu obiektu są badania
kształtu pleców przy skrzywieniach bocznych kręgosłupa i wadach postawy. Metoda
mory umożliwia w tym przypadku szybką ocenę krzywizn kręgosłupa oraz wstępną
diagnozę schorzenia. Nawet pobieżna analiza obrazu prążkowego pozwala określić
asymetrię kształtu, natomiast analiza ilościowa pozwala określić np.: odstawanie
łopatek, stopień skręcenia miednicy, wielkość skoliozy i inne.
Rys. 16. Graficzne przedstawienie wyników badań zniekształceń układu
mięśniowo - kostnego placów człowieka
LITERATURA
1. Asundi A., Yung K.H.: Logical Moiré and its Application. Experimental Mechanics,
1992.
2. Durelli, A.J, Parks V. J.: Moiré Analysis of Strain, Practice Hall Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey, 1970.
3. Jastrzębski P., Kapkowski J., Wichniewicz S., Wąsowski J., Patorski K.:
Zastosowanie metody mory do badania elementów kjonstrukcji, Skrypt wykładów,
Warszawa-Jabłonna 1981.
4. Rafałowski M.: Zautomatyzowane urządzenia do bezkontaktowych pomiarów
kształtu i deformacji metodą mory projekcyjnej. Pomiary, automatyka, kontrola,
1992.
5. Reid G.T., Rixon R.C., Messer H.J.: Absolute and Comparative Measurements of
Tree Dimentional Shape by Phase Measuring Moiré Topography. Opt. Laser
Technol., 1981, 16, pp.: 1066-1073.
6. Orłoś Z. i inni: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa
1977.
7. Wąsowski J.: Badanie ugięć płyt metodą mory. Mechanika teoretyczna i stosowana,
1978.