plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 26 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2006
PIOTR FRĄCKOWIAK *
ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE
OPISUJĄCE UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE
KSZTAŁTOWANE NA FREZARKACH CNC
W artykule omówiono problemy związane z projektowaniem niejednorodnych uzębień czołowych. Przedstawiono zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne o modyfikowanej prostej i ewolwentowej linii zębów. Określono kryteria zazębienia się połączenia niejednorodnego tylko w zaprojektowanej pozycji kątowej. Zależności w uzębieniach zostały określone na
podstawie modeli geometrycznych o prostej i ewolwentowej linii zębów, które przedstawiono
w artykule. Założenia teoretyczne zostały zweryfikowane badaniami eksperymentalnymi.
Słowa kluczowe: niejednorodne uzębienie czołowe
1. WPROWADZENIE
Cechą uzębień niejednorodnych jest możliwość zazębiania się dwóch połówek połączenia (stanowiących zwierciadlane odbicie) tylko w ściśle określonych położeniach kątowych niezależnie od liczby zębów [1, 2, 3]. Takie uzębienia można kształtować metodą podziału ciągłego na frezarkach sterowanych
numerycznie z użyciem narzędzia jednoostrzowego. Sterownie obrabiarką, na
której nacina się uzębienia, odbywa się za pomocą sparametryzowanych programów, których zadaniem jest synchronizacja przemieszczeń zespołów roboczych obrabiarki. Algorytmy sterujące frezarką podczas kształtowania uzębień
niejednorodnych o prostej i ewolwentowej linii zębów przedstawiono w pracach
[1, 2, 3]. Podczas projektowania połączenia z uzębieniami niejednorodnymi,
mającymi zazębić się tylko w określonych położeniach kątowych, należy odpowiednio dobrać różnicę głębokości wrębów i odpowiadające im kąty środkowe
uzębień i wrębów. Niewłaściwe zaprojektowanie może spowodować częściowe
zazębienie w przy-padkowych położeniach kątowych.
*
Dr inż. – Instytut Technologii Mechanicznej Politechniki Poznańskiej.
140
P. Frąckowiak
2. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE OPISUJĄCE
UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE O PROSTEJ LINII ZĘBÓW
Wartościami odniesienia do projektowania uzębień niejednorodnych o prostej
linii zębów są wartości wyznaczone dla uzębień jednorodnych. Wysokość zębów i podziałka uzębień jednorodnych są wartościami średnimi uzębień niejednorodnych. Kształtowanie uzębień niejednorodnych polega na kształtowaniu
wrębów o różnej głębokości, które powodują zmianę kątów środkowych uzębienia opisywanych krawędziami ostrza skrawającego. Zależności zmiany kątów
opisujących wrąb (ząb) w płaszczyźnie czołowej wierzchołków uzębienia niejednorodnego zazębiającego się w jednym położeniu kątowym przedstawiono na
rys. 1.
Rys. 1. Model geometryczny do określania
zmian kątów w uzębieniu niejednorodnym
Fig. 1. Geometric model to determine the
variable angles in non-homogenous gear
toothing
Rysunek 1 obrazuje teoretyczne kąty wrębów, które można wykonać narzędziem w postaci trójkątnej płytki o promieniu nominalnym (bez uwzględniania
promieni naroży płytki). Kąt ψ jest wartością średnią, jaką mają teoretyczne
wręby uzębienia jednorodnego (kształtowane narzędziem o promieniu nominalnym) u wierzchołka zębów. Sąsiednie kąty środkowe wrębów (wrębu o kącie ψ)
zmieniają się (zwiększają lub zmniejszają) o stałą wartość Δψ (rys. 1). Następujące po sobie wręby różnią się od poprzednich o kąt Δψ. Maksymalny lub minimalny kąt środkowy wrębu na okręgu obliczeniowym o promieniu R0 oblicza się
ze wzoru:
ψ max/ min = ψ ±
Δψ ⋅ z
2⋅k ⋅s
gdzie: Δψ – różnica kątowa między dwoma sąsiednimi wrębami,
z – liczba zębów uzębienia czołowego,
(1)
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne ...
141
k
s
– liczba sąsiednich wrębów o tej samej głębokości,
– liczba położeń kątowych, w jakich może zazębić się połączenie
wieloząbkowe.
Po osiągnięciu wartości maksymalnej (minimalnej) kąty wrębów zaczynają
się zmniejszać (lub zwiększać) aż do osiągnięcia wartości średniej – odpowiadającej uzębieniu jednorodnemu.
Od wartości kąta środkowego wrębu uzależniona jest wysokość zębów uzębienia niejednorodnego. Nominalną głębokość wrębu w punkcie obliczeniowym
uzębienia (dla promienia R0 – rys. 2), która odpowiada początkowemu położeniu
narzędzia w procesie kształtowania uzębienia [1, 2], dla kąta wrębu ψobl można
obliczyć według wzoru:
h0 =
R0 ⋅sin (0,5 ⋅ψ obl )
tgα
(2)
a różnice głębokości między dwoma sąsiednimi wrębami ze wzoru:
Δh0 =
gdzie: h0
R0
⋅ (sinψ max − sin(ψ max − Δψ ) )
2 ⋅ tgα
(3)
– wysokość nominalna zęba,
ψobl – kąt środkowy wrębu (ψmax lub ψmin),
ψmax – kąt środkowy najszerszego wrębu,
α – kąt zarysu wrębu.
Wysokość zęba ki o symetrycznym zarysie na okręgu obliczeniowym, po
uwzględnieniu promienia naroża płytki i współczynnika luzu w uzębieniu,
przyjmuje postać:
hi = h0 − ρ f − k j + k i ⋅ k ⋅ Δh0
(4)
gdzie: ρf – promień naroża płytki,
kj – współczynnik luzu.
W celu uniknięcia niekorzystnego styku krawędziowego linii zębów modyfikuje się linię zęba. Beczkowanie linii zębów polega na kształtowaniu parabolicznej linii dna wrębów uzębienia, co przedstawiono na rys. 2. Taki tor ruchu
umożliwia wybranie większej ilości materiału na zewnętrznej i wewnętrznej
średnicy kształtowanego pierścienia.
W przekroju płaszczyzną prostopadłą do powierzchni czołowej uzębienia
wzdłuż dna wrębu ostrze narzędzia kształtującego uzębienie zakreśla okrąg (jeśli
oś narzędzia jest prostopadła do osi uzębienia) lub elipsę (jeśli oś narzędzia jest
pochylona do osi uzębienia). W przypadku zarysu eliptycznego do obliczeń
w procesie kształtowania przyjmuje się za promień obliczeniowy narzędzia największy promień krzywizny koła ściśle stycznego do elipsy.
142
P. Frąckowiak
Rys. 2. Model geometryczny kształtowania zarysu dna wrębu uzębienia
o prostej linii zębów
Fig. 2. Geometric model of forming
the bottom notch profile of gear
with straight line flank pitch
Wysokość zęba wzdłuż jego linii (z uwzględnieniem modyfikacji) można
opisać równaniem:
hi = h0 − ρ f − k j + k i ⋅ k ⋅ Δh0 +
yp
2
2⋅ρ p
(5)
Jedną z trudności związanych z uzębieniami niejednorodnymi jest uniknięcie
częściowego zazębienia w innej niż założona pozycji kątowej. Spełnienie tego
warunku wymaga, aby w dowolnym położeniu kątowym (oprócz pozycji współpracy – założonej pozycji zazębienia) występowała „kolizja” między wierzchołkami zębów uzębień połączenia, uniemożliwiająca częściowe zazębienie. Na
podstawie badań doświadczalnych stwierdzono, że jeżeli częściowe zazębienie
połączenia nie nastąpi po obrocie jednego uzębienia o kąt środkowy opisujący
najmniejszy wrąb (ψmin), to w innych położeniach kątowych (oprócz założonego) również nie dojdzie do częściowego zazębiania. Warunkiem zazębienia tylko w założonym położeniu kątowym jest wystąpienie kolizji wierzchołków zębów uzębień na obwodzie o kącie co najmniej 180°.
Dla zębów wykonanych narzędziem o promieniu nominalnym warunek ten
można opisać równaniem:
ψ < 2 ⋅ψ min
gdzie: ψ
– średni kąt wrębu zęba,
ψmin – minimalny kąt wrębu zęba.
(6)
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne ...
143
Po uwzględnieniu wzoru (1) warunek ten przyjmuje postać:
ψ>
Δψ ⋅ z
k ⋅s
(7)
a po uwzględnieniu promienia naroża płytki, którym będzie kształtowane uzębienie, i współczynnika luzu
ψ>
(ρ f + k j )⋅ tgα
Δψ ⋅ z
− arcsin
2⋅k ⋅s
R0
(8)
Warunek uniknięcia częściowego zazębienia opisanego równaniem (8) zilustrowano na rys. 3. Położenie kątowe przedstawione na rys. 3a umożliwia zazębienie połączenia niejednorodnego. Po obrocie jednego uzębienia o minimalny
kąt ψmin, który umożliwia wejście zęba w kolejny wrąb (rys. 3b, punkt P1), w
innym położeniu kątowym następuje podparcie (kolizja) powierzchni czołowych
zębów, co uniemożliwia zazębienie (rys. 3b, punkt P2).
Rys. 3. Schemat przekroju połączenia z niejednorodnymi uzębieniami czołowymi: a) położenie
zazębienia, b) położenie kolizyjne
Fig. 3. Scheme of no-homogeneous face toothing, view cross-section half-coupling: a) position
of cooperation, b) position of conflict
Istotne znaczenie w procesie projektowania uzębień niejednorodnych ma
określenie różnicy wysokości między dwoma sąsiednimi zębami Δh0 (wzór 3).
Największa i najmniejsza wysokość zęba zależą od kąta środkowego uzębienia
danego wrębu. Wysokości te oblicza się (wzdłuż linii zęba) w odniesieniu do
wysokości uzębienia jednorodnego ze wzoru:
Δψ ⋅ z ⎞ y p
R ⋅sin(0.5 ⋅ψ )
R ⋅sin ⎛
= 0
±k⋅ 0
⋅ ⎜ψ −
− ρf − kj
⎟+
tgα
2 ⋅ tgα ⎝
2⋅k ⋅ s ⎠ 2⋅ρp
2
hmax/ min
(9)
144
P. Frąckowiak
3. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE OPISUJĄCE
UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE O EWOLWENTOWEJ LINII ZĘBÓW
Uzębienia niejednorodne o ewolwentowej linii zębów charakteryzują się
podobnymi zależnościami co uzębienia o linii prostej. Linią zębów uzębienia
czołowego, możliwą do uzyskania w procesie kształtowania narzędziem jednoostrzowym na frezarce sterowanej numerycznie, może być ewolwenta zwykła,
wydłużona lub skrócona.
Do rozważań teoretycznych pozwalających określić zależności geometryczne
w uzębieniach niejednorodnych za krzywą odniesienia przyjęto ewolwentę zwykłą. Zależności opisujące uzębienie o takiej linii zębów
przedstawiano na rys. 4.
Na podstawie modelu teoretycznej zębatki koronowej,
przedstawionej na rys. 4 w
przekroju płaszczyzną podziałową, można określić zależności rodziny ewolwent zwykłych. Wszystkie wręby i zęby
mają ten sam kąt środkowy ψ
odniesiony do okręgu zasadniczego Rwb. Odległość między
Rys. 4. Model geometryczny uzębienia czołowego o ewol- dwoma dowolnymi ewolwenwentowej linii zębów, przekrój płaszczyzną podziałową
tami wzdłuż stycznej do okręFig. 4. Geometric model of face toothing with involute
gu tocznego jest taka sama
line flank pitch, view cross-section of partition surface
(rys. 4). Zazębienie dwóch
zębatek koronowych stanowiących zwierciadlane odbicie będzie możliwe, gdy
uwzględni się te zależności. Ze względu na możliwość wystąpienia niekorzystnego styku krawędziowego w procesie kształtowania należy dokonać modyfikacji linii zębów [4].
W uzębieniach niejednorodnych o
ewolwentowej linii zębów kąty środkowe sąsiednich wrębów odnoszone są
do okręgu zasadniczego, co przedstawiono na rys. 5.
Rys. 5. Model uzębienia niejednorodnego o ewolwentowej linii zębów
Fig. 5. Geometric design of no-homogeneous
face toothing with involute line flank pitch
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne ...
145
Przy założeniu, że poszczególne linie zębów są odtaczane z tego samego
okręgu (stanowią rodzinę krzywych), zmiana kąta środkowego ψ o wartość Δψ
powoduje zmianę szerokości wrębu o Δt na stycznej do okręgu zasadniczego, co
wiąże się ze zmianą głębokości wrębu o Δh0.
Wartość średnią kąta środkowego zarysu wrębu (odpowiadającemu uzębieniu
jednorodnemu) kształtowanego narzędziem o promieniu nominalnym w płaszczyźnie wierzchołków zębów wyraża wzór:
ψ=
360
z
(10)
a odpowiadająca mu szerokość wrębu, mierzona na stycznej do okręgu zasadniczego, wynikająca z zasady tworzenia ewolwenty
t=
2 ⋅ π ⋅ Rw
z
(11)
Stąd można obliczyć nominalną wysokość zęba:
h0 =
π ⋅ Rw
z ⋅ tgα
(12)
Zależność na maksymalny i minimalny kąt środkowy uzębienia niejednorodnego, w którym szerokości sąsiednich wrębów różnią się o stałą wartość Δψ
(rys. 5), po uwzględnieniu wzoru (1) można zapisać w postaci:
ψ max/ min =
360 Δψ ⋅ z
±
z
2⋅k ⋅s
(13)
Odpowiadające maksymalnemu i minimalnemu kątowi środkowemu szerokości
wrębów, mierzone wzdłuż stycznej do okręgu zasadniczego, przyjmują postać:
t max/ min =
2 ⋅ π ⋅ Rw Δψ ⋅ π ⋅ z ⋅ Rw
±
z
360 ⋅ k ⋅ s
(14)
a minimalna i maksymalna wysokość zębów (nominalna)
hmax/ min =
π ⋅ R w Δψ ⋅ π ⋅ z ⋅ R w
±
z ⋅ tgα 720 ⋅ k ⋅ s ⋅ tgα
(15)
Różnicę wysokości między dwoma sąsiednimi wrębami, wynikającą z różnicy
kątowej Δψ, można zapisać w postaci zależności:
Δh0 =
π ⋅ R w ⎛ π ⋅ R w Δψ ⋅ π ⋅ R w ⎞
⎟
−⎜
−
360 ⋅ tgα ⎟⎠
z ⋅ tgα ⎜⎝ z ⋅ tgα
(16)
146
P. Frąckowiak
Po uwzględnieniu promienia naroża płytki i współczynnika luzu połączenia
zależność na wysokość dowolnego zęba o symetrycznym zarysie na okręgu obliczeniowym R0 (rys. 5) odniesionym do okręgu zasadniczego przyjmuje postać:
hi = h0 − ρ f − k j + ki ⋅ k ⋅ Δh0
(17)
Jedną z metod modyfikacji linii ewolwentowej jest przesunięcie toru narzędzia [4] lub przemieszczanie narzędzia po krzywej wzdłuż linii zęba. W celu
nadania zębom linii modyfikowanej przyjęto [2], że narzędzie będzie się poruszać wzdłuż rozwinięcia linii zęba po okręgu. Po uwzględnieniu modyfikacji
linii zęba wzór na wysokość zęba w dowolnej odległości od osi uzębienia
przyjmuje postać:
hi = h0 − ρ f − k j + k i ⋅ k ⋅ Δh0 + ρ o − ρ o2 − l R2 0
(18)
Maksymalną i minimalną wysokość zębów, po uwzględnieniu promienia naroża
ostrza i współczynnika luzu (z uwzględnieniem modyfikacji), można opisać
zależnością:
hmin/ min =
Δψ ⋅ π ⋅ z ⋅ R w
π ⋅ Rw
±k⋅
− ρ f − k j + ρ o − ρ o2 − l R2 0 .
z ⋅ tgα
720 ⋅ k ⋅ s ⋅ tgα
(19)
Aby nie wystąpiło częściowe zazębienie połączenia w przypadkowym położeniu kątowym (innym niż zaprojektowane), musi być spełniony warunek opisany wzorem (6). W przypadku uzębień o ewolwentowej linii zębów warunek
ten odniesiony jest do okręgu zasadniczego i po uwzględnieniu wzoru (7), promienia naroża płytki oraz współczynnika luzu przyjmuje postać:
ψ>
Δψ ⋅ z 180 ⋅ (ρ f + k j )⋅ tgα
−
.
π ⋅ Rw
k ⋅s
(20)
4. PODSUMOWANIE
Spełnienie zależności opisanych wzorami (8) i (20) pozwala na uniknięcie
zazębienia połączeń w przypadkowym położeniu kątowym.
Zbyt duża różnica wysokości zębów może spowodować niewielką (dążącą do
zera) głębokość przenikania zębów o najmniejszej wysokości oraz głębokich
wrębów w przypadku zębów o największej wysokości. Przyjęcie zbyt małej
różnicy wysokości sąsiednich wrębów może spowodować zazębienie połączenia
w przypadkowych położeniach kątowych (niespełnienie warunku opisanego
równaniami (8) i (20)).
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne ...
147
Różnica kątowa (Δψ) między sąsiednimi wrębami w uzębieniach średniej
wielkości [1, 2, 3] przyjmuje wartości od 0,05 do 0,03°, a różnica wysokości
dwóch sąsiednich wrębów Δh nie przekracza 0,01 mm.
LITERATURA
[1] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnych uzębień czołowych na frezarce CNC metodą podziału ciągłego, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2005, vol. 25 nr 2, s.
97–104.
[2] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnych uzębień czołowych o modyfikowanej linii
ewolwentowej, in: The 5th International Scientific Conference DEVELOPMENT OF
METAL CUTTING DMC 2005, Košice 2005, s. PL9–PL12.
[3] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnych uzębień czołowych o prostej linii zębów
metodą podziału ciągłego, Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, 2004, Mechanika,
z. 64, s. 31–39.
[4] Grajdek R., Uzębienia czołowe. Podstawy teoretyczne kształtowania i nowe zastosowania,
Poznań, Wyd. Politechniki Poznańskiej 2000.
Praca wpłynęła do Redakcji 31.03.2006
Recenzent: dr hab. inż. Tadeusz Marciniak
GEOMETRICAL DEPENDENCES IN A NON-HOMOGENEOUS FACE-GEAR
SHAPED ON CNC MILLING-MACHINE
S u m m a r y
The article presents the problems connected with projecting of no-homogenous face-gear.
Geometrical dependents of no-homogenous face-gear with straight and involute line flank pitch
witch along modification have been shown in this paper. The criteria of meshing the coupling of
non-homogenous face-gear only in proper angle position have been presented in the paper, too.
The dependents in face-gear one qualified on the base geometrically designs of no-homogenous
face-gear with straight and involute line have been presented too.
The theoretical assumptions that have been presented in this paper, have been also confirmed
by experimental investigations.
Key words: non-homogeneous face-gear