Logika Matematyczna
Transkrypt
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Logika Matematyczna Marcelina Borcz 5 marca 2009 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Spis treści 1 Logika Matematyczna 2 Spójniki logiczne ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ 3 Tautologie 4 Dowodzenie 5 Kwantyfikatory 6 Zagadki Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika matematyczna, to dział matematyki. Koncentruje się on na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Dzisiaj jest piątek. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Dzisiaj jest piątek. Niedługo rozpoczną się ferie. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Dzisiaj jest piątek. Niedługo rozpoczną się ferie. Ferie w woj. kujawsko-pomorskim rozpoczną się 1 marca. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki α, β, p, q, r ... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Dzisiaj jest piątek. Niedługo rozpoczną się ferie. Ferie w woj. kujawsko-pomorskim rozpoczną się 1 marca. Czy dzisiaj jest piątek? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Zaprzeczenie α ¬α 0 1 1 0 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Zaprzeczenie α ¬α 0 1 1 0 Przykłady: α: Dzisiaj jest piątek. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Zaprzeczenie α ¬α 0 1 1 0 Przykłady: α: Dzisiaj jest piątek. ¬α: Dzisiaj nie jest piątek. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Zaprzeczenie α ¬α 0 1 1 0 Przykłady: α: Dzisiaj jest piątek. ¬α: Dzisiaj nie jest piątek. β: ”Potop” nie został napisany przez Adama Mickiewicza. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Zaprzeczenie α ¬α 0 1 1 0 Przykłady: α: Dzisiaj jest piątek. ¬α: Dzisiaj nie jest piątek. β: ”Potop” nie został napisany przez Adama Mickiewicza. ¬β: ”Potop” został napisany przez Adama Mickiewicza. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Koniunkcja α 0 0 1 1 β α∧β 0 0 1 0 0 0 1 1 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Koniunkcja α 0 0 1 1 β α∧β 0 0 1 0 0 0 1 1 Przykłady: α ∧ β: Toruń leży w Polsce i Toruń leży nad Wisłą. α ∧ β: Toruń leży w Polsce i nad Wisłą. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Koniunkcja α 0 0 1 1 β α∧β 0 0 1 0 0 0 1 1 Przykłady: α ∧ β: Toruń leży w Polsce i Toruń leży nad Wisłą. α ∧ β: Toruń leży w Polsce i nad Wisłą. α ∧ β: Do działów matematyki należą logika i botanika. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Alternatywa α 0 0 1 1 β α∨β 0 0 1 1 0 1 1 1 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Alternatywa α 0 0 1 1 β α∨β 0 0 1 1 0 1 1 1 Przykłady: α ∨ β: Toruń jest miastem w Polsce lub we Francji. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Alternatywa α 0 0 1 1 β α∨β 0 0 1 1 0 1 1 1 Przykłady: α ∨ β: Toruń jest miastem w Polsce lub we Francji. α ∨ β: Autorem „Potopu” jest Adam Mickiewicz lub Juliusz Słowacki. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Implikacja α 0 0 1 1 β α⇒β 0 1 1 1 0 0 1 1 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Implikacja α 0 0 1 1 β α⇒β 0 1 1 1 0 0 1 1 Przykłady: α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Implikacja α 0 0 1 1 β α⇒β 0 1 1 1 0 0 1 1 Przykłady: α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek. α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie sobota. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Implikacja α 0 0 1 1 β α⇒β 0 1 1 1 0 0 1 1 Przykłady: α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek. α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie sobota. α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest środa, to jestem brytyjską królową. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Równoważność α 0 0 1 1 β α⇔q 0 1 1 0 0 0 1 1 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Równoważność α 0 0 1 1 β α⇔q 0 1 1 0 0 0 1 1 Przykłady: α ⇔ β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj była środa. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ Równoważność α 0 0 1 1 β α⇔q 0 1 1 0 0 0 1 1 Przykłady: α ⇔ β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj była środa. α ⇔ β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj była Wielkanoc. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa). Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa). Przykładowo: α ∨ ¬α Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa). Przykładowo: α ∨ ¬α Asia ma rodzeństwo lub Asia nie ma rodzeństwa. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa). Przykładowo: α ∨ ¬α Asia ma rodzeństwo lub Asia nie ma rodzeństwa. α: Asia ma rodzeństwo ¬α: Asia nie ma rodzeństwa. α ¬α α ∨ (¬α) 0 1 1 1 0 1 Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) α ⇒ (¬α ∨ β) Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) α ⇒ (¬α ∨ β) ¬(α ⇒ β) ⇔ (α ∧ ¬β) Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) α ⇒ (¬α ∨ β) ¬(α ⇒ β) ⇔ (α ∧ ¬β) Czy prawdziwe jest zdanie: Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) α ⇒ (¬α ∨ β) ¬(α ⇒ β) ⇔ (α ∧ ¬β) Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a = 4. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: ¬(α ∧ ¬α) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) α ⇒ (¬α ∨ β) ¬(α ⇒ β) ⇔ (α ∧ ¬β) Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a = 4. Jeżeli a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3 wynika, że a nie dzieli sie przez 5. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Logika pozwala na uzasadnianie twierdzeń korzystając z reguł dowodzenia. Jeżeli A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B jest tautologią, to regułą dowodzenia. A1 ,A2 ,...,An B jest Jeżeli A1 ,A2B,...,An jest regułą dowodzenia, to A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B jest tautologią. A1 , A2 , ..., An - przesłanki B - wniosek Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią biegiem. Jak rozumował pies? Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią biegiem. Jak rozumował pies? Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce. Na pierwszej ścieżce nie było zwierzyny. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią biegiem. Jak rozumował pies? Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce. Na pierwszej ścieżce nie było zwierzyny. Zatem musi być na drugiej ścieżce! Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią biegiem. Jak rozumował pies? Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce. Na pierwszej ścieżce nie było zwierzyny. Zatem musi być na drugiej ścieżce! α ∨ β, ¬α β Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Czy prawidłową regułą dowodzenia jest: α ∨ β, ¬α ? β Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Czy prawidłową regułą dowodzenia jest: α ∨ β, ¬α ? β Jeżeli x = 3 lub x = 5 i x 6= 3, to x = 5. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Czy prawidłowe jest wnioskowanie: „Jest czlowiek - jest problem. Nie ma człowieka - nie ma problemu”? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Czy prawidłowe jest wnioskowanie: „Jest czlowiek - jest problem. Nie ma człowieka - nie ma problemu”? α⇒β ¬α ⇒ ¬β Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki W matematyce dowodzić można „wprost”: Założenia ⇒ teza lub też korzystając z dowodów nie wprost (przez sprzeczność). Jak wygląda taki dwód? Jakie reguły dowodzenia wykorzystuje? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki W matematyce dowodzić można „wprost”: Założenia ⇒ teza lub też korzystając z dowodów nie wprost (przez sprzeczność). Jak wygląda taki dwód? Jakie reguły dowodzenia wykorzystuje? Przykład: Suma dwóch całkowitych liczb parzystych jest liczbą parzystą. Załóżmy, że tak nie jest, czyli, że suma dwóch całkowitych liczb parzystych nie musi być całkowitą liczbą parzystą. Niech zatem x i y będą liczbami parzystymi, a ich suma z niech będzie nieparzysta. Wówczas: x +y =z stąd: 2 ∗ x1 + 2 ∗ y1 = 2 ∗ z1 + 1 i dalej: 2 ∗ (x1 + y1 ) = 2 ∗ z1 + 1 co daje sprzeczność! Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki W dowodach nie wprost wykorzystuje się np. regułę dowodzenia: ¬α ⇒ (β ∧ ¬β) α Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Kwantyfikator ogólny (dla każdego...): ∀ Kwantyfikator szczegółowy (istnieje...): ∃ Zdanie: x jest liczbą parzystą można zapisać: ∃a x = 2 ∗ a Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Zapisz zdania: x jest liczbą nieparzystą. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Zapisz zdania: x jest liczbą nieparzystą. x jest liczbą pierwszą. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Co jest złego w rozumowaniu: Pytanie 1: Czy zdanie Każdy człowiek ma niebieskie oczy jest prawdziwe? Odpowiedz: Nie, jest fałszywe. Pytanie 2: Czy zdanie Żaden człowiek nie ma niebieskich oczu jest prawdziwe? Odpowiedz: Nie, jest fałszywe. Pytanie 3: Proszę podac zaprzeczenie zdania Każdy człowiek ma niebieskie oczy. Odpowiedz: Żaden czlowiek nie ma niebieskich oczu. Pytanie 4: Czyli, zaprzeczenie zdania fałszywego jest fałszywe? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na wyspę, której mieszkańcami są jedynie Rycerze i Łotrzy. Rycerze zawsze mówią prawdę. Łotrzy zawsze kłamią. Przeprowadzany jest akurat spis osobowy. Rachmistrz chodzi po domach i pyta kto jest kim. Zapukał do pewnych drzwi i spytał mężczyznę, który mu otworzył, kim jest oraz kim jest jego żona. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na wyspę, której mieszkańcami są jedynie Rycerze i Łotrzy. Rycerze zawsze mówią prawdę. Łotrzy zawsze kłamią. Przeprowadzany jest akurat spis osobowy. Rachmistrz chodzi po domach i pyta kto jest kim. Zapukał do pewnych drzwi i spytał mężczyznę, który mu otworzył, kim jest oraz kim jest jego żona. Oboje jesteśmy łotrami. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na wyspę, której mieszkańcami są jedynie Rycerze i Łotrzy. Rycerze zawsze mówią prawdę. Łotrzy zawsze kłamią. Przeprowadzany jest akurat spis osobowy. Rachmistrz chodzi po domach i pyta kto jest kim. Zapukał do pewnych drzwi i spytał mężczyznę, który mu otworzył, kim jest oraz kim jest jego żona. Oboje jesteśmy łotrami. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż jest Łotrem, a żona Rycerzem. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Puka dalej... Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Puka dalej... Conajmniej jedno z nas jest łotrem. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Puka dalej... Conajmniej jedno z nas jest łotrem. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż jest Rycerzem a żona Łotrem. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Rachmistrz nadal pracuje... Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Rachmistrz nadal pracuje... Jeśli ja jestem Rycerzem, to moja żona także. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Rachmistrz nadal pracuje... Jeśli ja jestem Rycerzem, to moja żona także. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż i żona są Rycerzami. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Lądując na wyspie spotykamy trzech mężczyzn: Artura, Bernarda i Cezarego. Chcemy dowiedzieć się, czy są to Łotrzy czy Rycerze. Pytamy Artura: ”Czy Bernard i Cezary są Rycerzami?”. Artur odpowiada, że tak. Na następne pytanie: ”Czy Bernard jest Rycerzem?” Artur odpowiedział, że nie. Czy Cezary jest Łotrzem, czy Rycerzem? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Lądując na wyspie spotykamy trzech mężczyzn: Artura, Bernarda i Cezarego. Chcemy dowiedzieć się, czy są to Łotrzy czy Rycerze. Pytamy Artura: ”Czy Bernard i Cezary są Rycerzami?”. Artur odpowiada, że tak. Na następne pytanie: ”Czy Bernard jest Rycerzem?” Artur odpowiedział, że nie. Czy Cezary jest Łotrzem, czy Rycerzem? Cezary jest Łotrem. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Nadal jesteśmy na wyspie Łotrów i Rycerzy. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Nadal jesteśmy na wyspie Łotrów i Rycerzy. Przypadkowo spotkana osoba, twierdzi, że jest żonatym Łotrem. Czy mówi prawde? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Nadal jesteśmy na wyspie Łotrów i Rycerzy. Przypadkowo spotkana osoba, twierdzi, że jest żonatym Łotrem. Czy mówi prawde? Jest nieżonatym Łotrem. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Szukając drogi do władcy wyspy, stajemy na rozwidleniu dróg. Nie wiemy, którą ścieżką iść. Decydujemy się zatem spytać o drogę przypadkowo spotkaną osobę. Nie wiemy, czy jest to Rycerz, czy Łotr. Jakie pytanie powinnismy zadać? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Na tej samej wyspie... Szukając drogi do władcy wyspy, stajemy na rozwidleniu dróg. Nie wiemy, którą ścieżką iść. Decydujemy się zatem spytać o drogę przypadkowo spotkaną osobę. Nie wiemy, czy jest to Rycerz, czy Łotr. Jakie pytanie powinnismy zadać? Czy jesteś takim mieszkańcem Wyspy, który powie mi, że władcy powinienem iść w lewo? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki W kasynie: Krupier ma dwa banknoty 10 zł i 100 zł. Jeżeli gracz powie zdanie prawdziwe, daje mu jeden z tych banknotów (nie wiadomo który). Jeżeli gracz powie zdanie fałszywe, nie daje mu nic. jakie zdanie powinien powiedzieć gracz, aby dostac 100 zł? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki W kasynie: Krupier ma dwa banknoty 10 zł i 100 zł. Jeżeli gracz powie zdanie prawdziwe, daje mu jeden z tych banknotów (nie wiadomo który). Jeżeli gracz powie zdanie fałszywe, nie daje mu nic. jakie zdanie powinien powiedzieć gracz, aby dostac 100 zł? Nie dasz mi 10 zł Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na pewną planetę. Zamieszkujący ją kosmici dzielą się na zielonych i czerwonych. Czerwoni mieszkańcy północy zawsze kłamią, zieloni mówią prawdę. Na południu jest na odwrót. Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na pewną planetę. Zamieszkujący ją kosmici dzielą się na zielonych i czerwonych. Czerwoni mieszkańcy północy zawsze kłamią, zieloni mówią prawdę. Na południu jest na odwrót. Pewnej nocy spotykamy kosmitę. Niestety nie widzimy jakiego jest koloru. Nie wiemy też skąd pochodzi. Jakie pytanie powinniśmy zadać aby poznać jego kolor? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Przenieśmy się na pewną planetę. Zamieszkujący ją kosmici dzielą się na zielonych i czerwonych. Czerwoni mieszkańcy północy zawsze kłamią, zieloni mówią prawdę. Na południu jest na odwrót. Pewnej nocy spotykamy kosmitę. Niestety nie widzimy jakiego jest koloru. Nie wiemy też skąd pochodzi. Jakie pytanie powinniśmy zadać aby poznać jego kolor? Czy jesteś mieszkańcem północy? Marcelina Borcz Logika Matematyczna Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki Marek, W., Onyszkiewicz, J. „Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach” Rasiowa, H. „Wstęp do matematyki współczesnej” Smullyan, R „ Na zawsze nierozsztrzygalne” Smullyan, R „ Szatan, Cantor i nieskończoność” Pogonowski, J. - materiały z wykładów Marcelina Borcz Logika Matematyczna