Sterowanie czasooptymalne ze względu na wydatek dla układu

Sterowanie czasooptymalne ze względu na wydatek dla układu całkującego drugiego rzędu.
Obiekt jest opisany równaniem
(1)
Sterowanie jest ograniczone
|u(t)| ≤ 1
(2)
Wskaźnik jakości sterowania (wydatek) to całka z modułu sterowania
(3)
Czas końcowy jest ograniczony pewną krotnością β czasu minimalnego
(4)
gdzie
t*(x1, x2) – minimalny czas związany ze stanem (x1, x2)
β – wspólczynnik krotności.
Sterowanie optymalne ze względu na wydatek (np. zużycie paliwa) jest realizowane w układzie podobnym do do
układu stosowanego do realizacji sterowania czasooptymalnego, ale teraz z przekaźnikiem 3-położeniowym
zawierającym strefę nieczułości (zwaną też strefą martwą).
+
f
-
X2
u
1/s
X1
1/s
-
+
+
+
mβ
X2 |X2|
1/2
Rys. 1. Schemat blokowy układu optymalnego ze względu na wydatek.
Współczynnik krotności β dobiera się zwykle w granicach [1.2, 5], skąd wylicza się współczynnik m β wg wzoru
(5)
Otrzymuje się w ten sposób drugą krzywą przełączeń
(6)
Przykładowo dla β=0.5 mamy mβ= 2.36, zaś dla β=2 mamy mβ= 10.6.
Płaszczyzna fazowa układu optymalnego ze względu na wydatek ma dwie linie przełączeń:
- pierwszą określoną sterowaniem czasooptymalnym
(7)
- drugą wynikającą z minimalizacji wydatku określoną wzorem (6).
Trajektorie układu optymalnego spotykając pierwszą linię przełączeń przechodzą ze sterowania u = +/- 1 na
sterowanie u = 0, czyli na linie poziome x2 = 0. Na drugiej linii przełączeń przechodzą na sterowanie u = -/+1 ( o
znaku przeciwnym do poprzedniego). Znak sterowania wynika z warunków początkowych, przy jakich rozpoczął się
proces. Szczegółowy opis tej optymalizacji jest w książce Athans M., Falb P. – „Sterowanie optymalne” WNT 1969,
s.659-687.
Ćwiczenie laboratoryjne polega na zbudowaniu układu realizującego sterowanie na minimum wydatku w
SMULINK-u dla układu całkującego drugiego rzędu przy ograniczeniu czasowym sterowania i zbadaniu jego
działania dla różnego doboru wartości parametrów sterujących – zarówno krotnością czasu sterowania, jak i przy
różnych wzmocnieniach toru sprzężenia zwrotnego (podobnie jak to było przy badaniu układu czasooptymalnego).
Należy też każdorazowo wyznaczyć wartości wskaźnika jakości.
X2
Trajektoria
X1
Linia wzoru (6)
Linia wzoru (7)