Przykład 1 Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej, jaką jest

Przykład 1
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej, jaką jest liczba synów urodzonych żywo przez kobietę, wylosowaną ze zbiorowości kobiet, które urodziły żywo pięcioro dzieci (prawdopodobieństwa
obliczone zostały przy założeniu, że urodzenie syna jest tak samo prawdopodobne, jak urodzenie
córki).
Tabela 1
Rozkład liczby żywo urodzonych synów przez kobietę,
która urodziła żywo pięcioro dzieci
Liczba żywo
urodzonych synów
x
Prawdopodobieństwo
0
1
2
3
4
5
0.03125
0.15625
0.31250
0.31250
0.15625
0.03125
P(X=x)
UWAGA: Zmienną losową jaką jest liczba żywo urodzonych synów przez kobietę, która urodziła żywo pięcioro dzieci
oznaczamy wielką literą X, a konkretne wartości jakie może ona przyjmować małą literą x.
Przykład 2
Zmienną losową jest tu poziom cukru we krwi w 2 godziny po przyjęciu 50g glukozy, ustalony dla
wylosowanej próby 199 dorosłych mieszkanców trzech wybranych dzielnic Łodzi w wieku 18–39 lat
z wyłączeniem osób, które leczyły się na cukrzycę.
Tabela 2
Rozkład glikemii wśród mieszkańców Łodzi w wieku 18–39 lat
Poziom glukozy
w mg %
x
Prawdopodobieństwo
40–49
50–59
60–69
70–79
80–89
90–99
100–109
110–119
120–129
130 i więcej
0.010
0.020
0.201
0.206
0.222
0.196
0.080
0.035
0.025
0.005
P(X=x)
1
Rozkład dwumianowy
Jeżeli dokonujemy n niezależnych doświadczeń (tzn. że wynik każdego następnego nie jest zależny od
wyników poprzednich doświadczeń), z których każde może zakończyć się w pewnien określony sposób
(nazwijmy to sukcesem) z jednakowym prawdopodobieństwem p, to liczba sukcesów jest zmienną
losową o rozkładzie dwumianowym:
P (n, k, p) =
n!
pk (1 − p)n−k .
k!(n − k)!
(1)
Powyższy wzór pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania w n doświadczeniach k sukcesów,
jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu wynosi p.
Przykład 3
Pewne doniesienie w naukowym czasopiśmie medycznym informowało, że wśród dzieci z piątych klas
szkół podstawowych w mieście A jest około 20% z wadami postawy. Przybyły na wizytację do tego
miast lekarz–konsultant zbadał przypadkowo dobranych 6 pięcioklasistów i nie stwierdził u żadnego
z nich wady postawy. Czy przeczy to prawidłowości doniesienia?
Tabela 3
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej,
zdefiniowanej jako liczba dzieci z wadą postawy
liczba dzieci
z wadą postawy
k
P(k)
0
0.262
0.393
1
2
0.246
3
0.082
0.015
4
5
0.002
0.000
6
Zadanie 1
Siła kiełkowania pewnych nasion wynosi 96%. Określić prawdopodobieństwo tego, że spośród 10
losowo wybranych nasion co njamniej 8 wykiełkuje.
Zadanie 2
Wadliwość produkcji pewnego zakładu wynosi 2%. Pobieramy 8 sztuk towaru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich są co najwyżej 2 sztuki wadliwe.
Zadanie 3
Pewna firma posiada pięć jednakowych komputerów pracujących niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia roboczego komputer ulegnie awarii wynosi 0,1. Zakładamy, że awarię
usuwa się dopiero następnego dnia. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia awarii ulegną
więcej niż dwa komputery.
Zadanie 4
W pewnej miejscowości znajduje się 10 sklepów spożywczych. Prawdopodobieństwo zamknięcia każdego z nich z powodu choroby pracowników wynosi 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co
najwyżej dwa sklepy zostaną zamknięte.
2
Zadanie 5
Partia dostarczonych detali ma wadliwość 5%. Niech zmienną losową będzie liczba dobrych detali
spośród 4 dostarczonych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dostarczono co najmniej 2 detale będą
dobre.
Zadanie 6
Z partii nasion o sile kiełkowania 75% losujemy 8 nasion. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie wykiełkuje co najmniej 5 nasion.
Zadanie 7
Środek owadobójczy zabija przeciętnie 90% owadów. Środek ten zastosowano na 10 owadach. Oblicz
prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa osobniki przeżyją.
Zadanie 8
Wadliwość procesu produkcyjnego wynosi 10%. Oblicz prawdopodobieństwo, że na 8 wylosownaych
produktów będą co najwyżej 2 złe.
Zadanie 9
W jeziorze jest 1000 ryb, w tym 100 ryb zaobrączkowanych. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród
10 złowionych ryb będzie co najmniej 7 ryb zaobrączkowanych.
Zadanie 10
Przyjmując, że co czwarte wezwanie pogotowia jest nieuzasadnione, określić prawdopodobieństwo,
że na 8 wyjazdów co najmniej połowa z nich będzie uzasadniona.
3