manipulacji

SOCJOTECHNIKA>>S TAT Y S T Y K A
na
m
a
e
t
t
y
a
k
M iem a
z
d
ę
rz an ip ul acji
m
Nie daj się zwieść pozorom i nie ufaj
intuicji. Pokochaj matematykę – pomaga
unikać oszustów i oszukiwać samemu.
PIOTR WOŁOWIK
D
F
3
ZAMAWIAM
PIWO
66
NAUKA
ZAMAWIAM
COLĘ
W I E D Z A I Ż Y C I E >> N U M E R S P E C J A L N Y
MAM
25
LAT
Można utopić się
w strumieniu o średniej
głębokości 15 cm.
7
Poprawna odpowiedź: karty oznaczone D i 7. Jeśli
nie wiesz dlaczego, rozwiąż kolejny problem.
Pomyśl teraz, że jesteś barmanem. Zgodnie z obowiązującymi przepisami nie możesz sprzedawać piwa
osobom poniżej 18 roku życia. Karty symbolizują klientów siedzących przy barze. Na jednej stronie karty jest
wiek klienta, na drugiej zaś jego zamówienie.
Ile kart (i które) musisz odwrócić, aby uniknąć złamania prawa?
MAM
17
LAT
Z pewnością bez trudu odgadniesz,
że wystarczy odsłonić karty „Zamawiam piwo” i „Mam 17 lat”.
Problem jest identyczny jak poprzedni, tylko treść inna. Z pierwszym zadaniem radzi sobie przeciętnie 25% badanych, z drugim aż
65%. Dlaczego? Ponieważ pierwsze
przedstawia abstrakcyjny problem,
drugie natomiast realną sytuację.
Zgodnie z psychologią ewolucyjną, każdy z nas jest
wyposażony w mechanizm ułatwiający wykrycie oszusta. Ludzie, jako gatunek, musieli nabyć tej umiejętności dość wcześnie, aby przetrwać. Podobne zadanie ujęte abstrakcyjnie, operujące liczbami i symbolami (jak
w matematyce), jest dużo trudniejsze do zrozumienia,
bo ten rodzaj myślenia jest potrzebny ludziom dopiero od niedawna.
Nasze problemy z myśleniem abstrakcyjnym wykorzystuje się w praktyce – np. do manipulacji opinią publiczną. Jak się okazuje, metoda ta jest skuteczna. Wiedzą
o tym doskonale choćby twórcy reklam, a także specjaliści od politycznego marketingu – odpowiednio operując
liczbami, w szczególności danymi statystycznymi, kreują nową rzeczywistość.
Gdy wyobrazisz
sobie realną sytuację, że jesteś
barmanem, test
wyboru Wasona
nie sprawi ci trudności.
Wszechobecna statystyka
Premier Wielkiej Brytanii Benjamin Disraeli rozróżniał
trzy rodzaje kłamstwa – zwykłe, bezczelne i statystykę.
Manipulując danymi statystycznymi, można udowod-
Fot. Istockphoto.com (2x)
R
OZWIĄŻMY NASTĘPUJĄCE ZADANIE, zwane testem wyboru Wasona, służące do oceny zdolności logicznego myślenia.
Wyobraź sobie, że masz sprawdzić, czy pokazane poniżej karty zostały oznaczone zgodnie z następującą regułą: jeśli karta jest opisana literą D, to musi być po drugiej stronie oznaczona liczbą 3. Jaką najmniejszą liczbę kart (i które) musisz odwrócić?
nić niemal każdą z góry przyjętą tezę (nawet prawdziwą). Statystyka jest wszechobecna w reklamach, sondażach opinii publicznej, indeksach giełdowych, różnego typu prognozach zarówno pogody, jak i wyborczych.
Jej nieznajomość może prowadzić do upowszechniania absurdalnych i irracjonalnych przesądów. Goebbels,
mistrz hitlerowskiej propagandy, mawiał, że powtórzone tysiąc razy kłamstwo staje się prawdą.
Weźmy choćby następujący przykład. Według autora artykułu opublikowanego w amerykańskim czasopiśmie „The Week” jest cztery razy bardziej prawdopodobne, że kierowca zginie w wypadku drogowym
o siódmej wieczorem niż o siódmej rano, wieczorem bowiem zdarza się cztery razy więcej śmiertelnych wypadków. Rozumowanie to jest logiczne tylko z pozoru.
Dziennikarz nie uwzględnił bowiem kierowców, którzy nie giną na drogach ani rano, ani po południu. Po
południu wyjeżdża po prostu więcej samochodów niż
rano. Jeśli weźmiemy to pod uwagę, okaże się być może, że ryzyko jest takie samo.
Na podstawie mylnej interpretacji
liczb i informacji często podejmuje się
pochopne decyzje. Wyobraź sobie, że
Statystyka jest jak bikini. To
jesteś młody i bardzo lubisz jagody. Doco odkrywa, robi wrażenie,
wiedziałeś się od lekarza (przykład oczywiście całkowicie zmyślony), że jedzenie
jednak najważniejsze jest
jagód zwiększa o 30%, czyli znacznie, ryzyko wystąpienia na twarzy fioletowych
to, czego nie pokazuje.
piegów w ciągu najbliższych 20 lat. Nie
lubisz piegów, a już szczególnie fioletoW I E D Z A I Ż Y C I E >> N U M E R S P E C J A L N Y
NAUKA
67
Przeciętnie człowiek ma jedną
pierś i jedno jądro.
mniej niż 1750 zł, połowa więcej. Związki zawodowe walczące zawsze o wyższe zarobki dla najmniej zarabiających, posłużyły się wartością modalną (modą, dominantą). Moda to wartość najczęściej się powtarzająca.
Nie trzeba urządzać wielkiej imprezy, żeby znalazły się na niej
dwie osoby obchodzące urodziny tego samego
dnia. Wystarczy
zaprosić 23 znajonych, a prawdopodobieństwo
takiego zdarzenia
będzie większe
niż 50%.
Zwodnicza intuicja
Nie tylko dane statystyczne wprowadzają nas w błąd.
Figle płata również nasza własna intuicja. Zwykle inne
odpowiedzi, niż by nam się wydawało, wynikają z rachunku prawdopodobieństwa. Przykład najpospolitszy to gra w totka – wydaje nam się, że kulki „w jakiś
sposób wiedzą”, że już dawno nie wypadła np. szóstka
– oczywiście tak nie jest i prawdopodobieństwo wygranej jest za każdym razem takie samo, niezależne od historii losowań.
Rozważmy jednak problem mniej banalny: ile osób
musi się zgromadzić na jednej imprezie, aby prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny tego samego
dnia roku, było większe niż 50%? Rok ma 365 dni, wydaje się więc, że trzeba zaprosić co
najmniej 182 osoby (prawie połowę z 365), tzn. urządzić nie prywatkę, ale raczej spore wesele.
Faktycznie jednak, wystarczy, aby
spotkały się co najmniej 23.
Czasem podpowiedzi naszej
intuicji mają bardziej praktyczne
znaczenie. W teleturnieju „Idź na
całość” prowadzonym przez Zygmunta Chajzera uczestnik pod koniec gry wskazywał jedną z trzech
bram, za którą znajdowała się główna nagroda. Potem następował dramatyczny moment. Prowadzący teleturniej
otwierał jedną z dwóch pozostałych – o której wiedział,
że jest pusta – i dawał uczestnikowi możliwość zmiany
pierwotnej decyzji. Wielu pozostawało przy dotychczasowym wyborze, a jednak z rachunku prawdopodobieństwa wynika, że opłacalna była zmiana bramy.
Szansa, że główna wygrana znajduje się za pierwotnie wybraną bramą, wynosi bowiem tylko 1/3 (a nie
50% jak myślą uczestnicy teleturnieju), po zmianie bramy prawdopodobieństwo wygranej, choć wydaje się
to niemożliwe, wzrasta do 2/3. Paradoks ten jest znany pod nazwą Monty Hall. Najłatwiej go zrozumieć albo wypisując wszystkie możliwości i porównując liczby
wygranych i przegranych, albo rozszerzając zadanie
na 1000 bram. Wybieramy jedną – szansa, że za
nią znajduje się nagroda wynosi 0,001, a za którąś z pozostałych aż 0,999. Teraz prowadzący odsłania 998 z pozostałych 999 bram –
odsłania te, o których wie, że są puste.
Tym razem nie ma już wątpliwości, że
bramę opłaca się zmienić.
Myli się też kto sądzi, że powierzając kupno lub sprzedaż domu agentowi nieruchomości, zyska więcej, niż jakby sam
się tym zajął. Wydaje się
nam bowiem, że agent
powinien starać się sprzedać nasze mieszkanie jak
najdrożej. Nic bardziej mylnego. Agent
zarabia na obrocie, zależy mu więc tylko
na tym, aby nasze mieszkanie sprzedać
jak najszybciej i zająć się kolejnym.
Wyobraźmy sobie, że zgłaszamy
do agencji nieruchomości mieszkanie.
Chcemy uzyskać minimalnie 100 tys. zł
i zgadzamy się na zapłacenie prowizji
5% od kwoty sprzedaży. Jeżeli agentowi udałoby się zbyć je za 100 tys. zł, zyskalibyśmy 95 tys. zł, a agent 5 tys. zł.
Gdyby udało mu się sprzedać mieszkanie za kwotę 105 tys. zł, nasz zysk
wzrósłby o 4750 zł, ale zysk agenta zaledwie o 250 zł.
Śmierć jednego człowieka jest tragedią.
Śmierć milionów
to statystyka.
Fałszowanie zeznań podatkowych nie jest
wcale proste. Gdy
nieuczciwy podatnik nie zna odpowiednich wzorów,
łatwo zdemaskuje
go program komputerowy.
Krętaczyć inteligentnie
Fot. East News (2x); scx.hu
wych, i unikasz jagód jak ognia. Tymczasem ryzyko wystąpienia takich
piegów u jagodowych abstynentów,
wynosi 0,0001%. Jeśli będziesz jadał
swoje ulubione owoce wzrośnie do
0,00013%. Czy i wtedy przestaniesz
jeść swoje ulubione owoce?
Sondaże wyborcze przeprowadza
się przed każdymi wyborami. Rozważmy prosty przykład. Media podają,
że partia A ma 52-procentowe poparcie, a partia B 48-procentowe. Czy ten sondaż mówi coś istotnego? Nie,
bo trzeba uwzględnić błąd statystyczny, dochodzący
w takich sytuacjach do kilku procent. Mimo to wyniki
sondażu mogą wykorzystywać specjaliści od politycznego marketingu – partia A będzie nagłaśniała posiadanie sporej przewagi prowadzącej do zwycięstwa, partia B zaś twierdziła, że jej poparcie stale rośnie i że niedługo wyprzedzi partię A.
Każdy głosujący chciałby po wyborach poczuć się
zwycięzcą, a nie przegranym – dlatego w walce o niezdecydowanych marketing polityczny wykorzystujący
przedwyborcze sondaże jest tak ważny.
A oto inny przypadek manipulacji danymi. Pewna
spółka giełdowa ogłosiła w swoim sprawozdaniu finansowym przeznaczonym dla akcjonariuszy oficjalny raport, że średnia płaca w firmie wynosi 2700 zł. Całkiem
nieźle jak na polskie realia. Raport z działu płac przygotowany na wewnętrzny użytek mówił już o 1750 zł, natomiast przedstawiciele związków zawodowych twierdzili, że obydwie kwoty są zawyżone, bo typowa pensja w zakładzie to zaledwie 1000 zł. Kto mówi prawdę,
a kto kłamie?
Rację mają w pewnym sensie obie
strony. W raporcie przygotowanym
dla akcjonariuszy (od nich zależy cena akcji i stabilność firmy) podano kwotę najwyższą,
aby podkreślić dobrą kondycję przedsiębiorstwa. Była to
średnia arytmetyczna wszystkich zarobków w firmie, łącznie
z wysokim wynagrodzeniem
prezesa i całego zarządu. Dział
płac na użytek wewnętrzny,
do wyznaczeniu poborów
wykorzystał wartość
środkową (medianę), czyli graniczną
– połowa pracowników zarabia
Fałszować też trzeba umieć i dotyczy
to nie tylko pieniędzy czy dzieł sztuki.
Dr Theodore Hill z Georgia Institute of
Technology prosił swoich studentów,
aby w domu rzucili 200 razy monetą i zapisali wyniki.
Nie wszystkim się chciało, bo to żmudne zajęcie, i wyniki wzięli z głowy. Profesor poznawał prace leniwych studentów na pierwszy rzut oka – unikali oni długich ciągów orłów i reszek (występujących po kolei sześć i więcej razy). A ciągi takie oczywiście się zdarzają.
Z podobnym problemem mamy do czynienia w przypadku tzw. rozkładu Benforda dotyczącego danych tabelarycznych. Okazuje się, że rozkład znaczących cyfr
(częstość ich występowania) w różnego rodzaju liczbach
kilkucyfrowych nie jest jednakowy (nieważne czy są to
złotówki, dolary, punkty, kilowaty). Dotyczy to wszystkich danych tabelarycznych występujących w przyrodzie,
takich, jakie spotykamy w tablicach matematycznych, fizycznych, geograficznych, tabelach wyników sportowych
oraz raportów płatniczych lub zeznań podatkowych.
Dostrzegł to przypadkowo w latach 30. ubiegłego wieku dr Frank Benford, amerykański fizyk, kiedy przeglądał w bibliotece tabele logarytmów. Zauważył, że strony
z logarytmami, które odpowiadają liczbom zaczynającym
Wyniki sondaży
przedwyborczych
nieraz wprowadzają wyborców
w błąd, wpływając
na ich decyzje.
się od cyfry 1, są dużo bardziej wytarte – czyli częściej
przeglądane. Doszedł do wniosku, że fizycy i inżynierowie posługujący się tymi tabelami w codziennych rachunkach, częściej mają do czynienia z danymi, w których na
pierwszym miejscu występuje cyfra 1. Później Benford
znalazł wzór, który wyjaśniał tę z pozoru dziwną prawidłowość. Dziś jest on wykorzystywany przez programy
komputerowe do wykrywania liczb które nie są wynikiem obliczeń ale zostały wyssane z palca. W Kalifornii
od kilku już lat podobne programy są na usługach urzędów skarbowych i sprawdzają, czy dane z zeznań podatkowych spełniają zależność opisaną wzorem Benforda.
Oszust doskonały – oprócz znajomości księgowości i prawa podatkowego – powinien więc zaznajomić się również z tym wzorem. Oczywiście, w żadnym razie nie zachęcamy do oszukiwania fiskusa. Ale jak w całym artykule – do uczenia się matematyki.
PIOTR WOŁOWIK jest doktorantem w Instytucie Elektorniki i Telekomunikacji
Politechniki Poznańskiej.
W I E D Z A I Ż Y C I E >> N U M E R S P E C J A L N Y
NAUKA
69