Matematyka p Teoria: Matematyka podstawowa VI

Matematyka podstawowa VI
Trygonometria
Teoria:
sin
cos
tg
sin
ą
cos
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
30˚
sin
cos
'
'
ą
'
ą '
ą '
ą
1
2
√3
2
√3
3
√3
'
45˚
Związki pomiędzy
dzy funkcjami trygonometrycznymi
"
"
! # $
1 - jedynka trygonometryczna
&
1
'
'
'
'
60
60˚
√2
2
√2
2
1
√3
2
1
2
√3
1
√3
3
Zadania wprowadzające:
1. Rozwiąż trójkąt prostokątny
a)
b=6cm
b)
c=4cm
c)
a=6cm
c=6√2
2. Drabina o długości 3m jest oparta o mur pod kątem 80˚ do poziomu. Na jaką
wysokość sięga drabina?
3. Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę 60˚. Oblicz jego pole, jeżeli jego
podstawy mają długości 12cm i 6cm.
4. Samolot wystartował pod kątem 45˚. Jaką drogę w powietrzu pokonał w momencie,
gdy znalazł się na wysokości 200m?
5. Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych jeżeli
a)cos ∝ = .
b)tg ∝ = 2√2
/01∝2 34/∝
6. Kąt ∝ jest ostry i tg ∝= 2. Oblicz /01∝5 34/∝
7. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 8cm i 6cm. Sinus większego z kątów
ostrych tego trójkąta jest równy
6
a)7
6
b).
.
c)7
.
d)6
8. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 3 i 9. Sinus najmniejszego kąta tego
trójkąta jest równy
a)
6√-8
-
b)
-8
c)
6
√-8
-8
d)
√-8
68
9. Liczba sin 60˚ + cos 60˚ jest równa
a)1
b)−
√6
"
c)
"√626
√65"
d)
10. Kąt ∝ jest ostry i sin ∝ =
a)−
<
.
b)−
-
c)
.
-
√6
"
;
√6
.
"
Wartość wyrażenia $
"
∝ −2 jest równa
d)
"
11.W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długość 2 i 4, jeden z kątów
ostrych ma miarę ∝. Oblicz cos ∝· sin ∝.
Zadania:
1. W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika
stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi
a)
b)
c)
d)
2. Kąt
a)
b)
c)
d)
√-<
-<
√7
7
.√-<
-<
-
-<
7
b)
c)
d)
=
-"
7
. Wówczas $
jest równy
-"
7
-6
-8
-6
-"
-6
3. Kąt
a)
jest ostry i
<
jest ostry i sin
=
<
. Wtedy
-6
jest równy
;
<·-6
-"8
<
√-"8
<
-6√-"8
4. W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy
a) cos
=
= --
b) sin
c) sin
5.
6.
7.
8.
9.
=
=
=
---
"√-8
"√-8
d) cos =
-Kąt jest ostry i
= 1. Wówczas
a)
< 30˚
b)
= 30˚
c)
= 45˚
Uzasadnij, że jeżeli jest kątem ostrym, to !. + $ " = !" + $ . .
Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym
bokiem ma miarę 30˚. Dłuższy bok prostokąta ma długość
a) 2√3
b) 4√3
c) 6√3
d) 12
W trójkącie równoramiennym ABC dane są |CD| = |ED| = 5 oraz wysokość
|DF| = 2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość
a) 6
b) 2√21
c) 2√29
d) 14
W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |CE| = 13 oraz
|ED| = 12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy
-"
a) -6
b)
c)
7
-6
7
-"
-6
d) -"
10. Liczba 30˚ − sin 30 jest równa
a) √3 − 1
√6
;
√62;
"√626
b) −
c)
d)
;
11. Kąt
jest ostry i cos
√7
6
√<
6
<
a) sin
=
c) sin
==
b) sin
d) sin
=
√"
.
6
Wtedy
-
=6
12. Wiadomo, że cos
równa
.
a) "7
=
=
√".
7
Zatem wartość wyrażenia
"
·(
-
IJ '
− $
"
) jest
b) 1 − L
c)
""7
6
"
7
d)
7
13. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa i dłuższe ramię są równe i mają długość
8cm. Kąt między dłuższym ramieniem i dłuższą podstawą ma miarę 60˚. Pole trapezu
jest równe
a) 40√3
b) 32 + 8√3
c) 40
d) 48√3
34/ '5/01 O
14. W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: = 27˚ i = 63˚. Wtedy 34/ '
równa się
a) 1 + sin 63˚
b) sin 63˚
c) 1
d) 2
15. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest
równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
34/ '5/01 O
16. W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: = 41˚ i = 49˚. Wtedy 34/ '
równa się
a) 1 + sin 49˚
b) sin 49˚
c) 1
d) 2
17. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość P. Kąt ostry przy
tym boku ma miarę . Wykaż, że sin + cos > 1
"
18. Kąt jest ostry i sin = 7. Wówczas
a) cos = sin
b) cos > sin
c) cos < sin
d) cos = 1 − sin
19. Kąt jest ostry oraz sin = cos 47˚. Wtedy miara kąta jest równa
a) 6˚
b) 33˚
c) 47˚
d) 43˚
20. Kąt jest ostry i sin = .. Oblicz 3 + 2 "