Zadania - całka nieoznaczona

LISTA ZADAŃ – CAŁKI NIEOZNACZONE
1. Obliczyd całki nieoznaczone (z pomocą wzorów podstawowych):
a)
𝑥 3 + 𝑥 𝑑𝑥;
e) (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )2 𝑑𝑥;
b) (2 +
3
) 𝑑𝑥;
𝑥
f) (𝑡𝑔2 𝑥 + 1)𝑑𝑥;
c)
g)
1
3 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥;
𝑐𝑜𝑠 2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑑𝑥;
2𝑥 2 −3𝑥+1
𝑑𝑥;
𝑥
d)
h)
𝑥−1
𝑑𝑥;
𝑥+1
3𝑠𝑖𝑛 3 𝜑
𝑠𝑖𝑛 2 𝜑
i)
𝑑𝜑.
2. Stosując wzór na całkowanie przez części, obliczyd całki nieoznaczone:
a) 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥;
f)
3𝑥+5
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
𝑑𝑥;
k) sin 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥;
b) 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 3 𝑑𝑥;
𝑥
2
g) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑑𝑥;
c) 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥;
d)
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
1+𝑥
i)
h)
𝑑𝑥;
𝑙𝑛 2 𝑥
𝑑𝑥;
𝑥5
e)
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥;
j) 𝑒 4𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥;
𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥;
l) 𝑥 4 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥.
3. Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie, obliczyd całki nieoznaczone:
a) (5𝑥 3 − 6)7 𝑑𝑥;
f)
k)
1
25−9𝑥 2
𝑑𝑥;
3
b) 𝑥 2𝑥 2 − 5𝑑𝑥;
c)
g) 𝑥 2 𝑥 3 + 3𝑑𝑥 ;
h)
1 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥; l)
𝑠𝑖𝑛𝑥
1+3𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥;
m)
𝑒𝑥
1−𝑒 2𝑥
𝑒 𝑥
𝑥
𝑑𝑥;
𝑑𝑥;
d)
i)
𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥;
𝑥(𝑙𝑛𝑥 +1)2
n)
𝑥
16−9𝑥 4
𝑑𝑥;
1
(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
)3
𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥
1+4𝑥 2
1−𝑥 2
e)
𝑑𝑥; j)
𝑑𝑥;
o)
𝑥𝑑𝑥
;
𝑥 4 +1
4−𝑥
2+ 𝑥
𝑑𝑥;
𝑥4
𝑑𝑥.
𝑥 10 +3
4. Obliczyd całki przez zastosowanie wzorów na całkowanie przez części i podstawienie:
a) 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥;
b)
𝑒 3𝑥
𝑑𝑥;
𝑒 2𝑥 +1
f) (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑑𝑥;
g)
ln ⁡
(𝑙𝑛𝑥 )
𝑑𝑥.
𝑥
2
c)
𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
1−𝑥 2
𝑑𝑥;
1
d) 𝑥 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥;
e) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝑥)𝑑𝑥;
5. Obliczyd podane całki nieoznaczone z funkcji wymiernych:
a)
𝑑𝑥
;
(2𝑥−3)9
b)
3𝑥+7
𝑑𝑥;
𝑥 2 +9
c)
1
𝑑𝑥;
𝑥 2 −6𝑥+9
d)
f)
3𝑥−4
𝑑𝑥;
𝑥 2 −𝑥−6
g)
𝑥+1
𝑑𝑥;
𝑥 2 −𝑥+1
h)
(1+𝑥)2
𝑑𝑥;
𝑥(1+𝑥 2 )
i)
k)
𝑥 3 −4𝑥
𝑑𝑥;
(𝑥 2 +1)2
l)
3𝑥 3
𝑥 2 +𝑥−2
1
𝑑𝑥;
𝑥 2 −5𝑥+6
1
𝑑𝑥;
𝑥 3 +1
e)
j)
1
𝑑𝑥;
2𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥 3 −2𝑥 2 −1
𝑑𝑥;
𝑥 2 −1
𝑑𝑥.
Literatura: K. T. Jankowscy, “Zbiór zadań z matematyki”.
M. Lassak, „Matematyka dla studentów technicznych”.
Strona 1
6. Obliczyd podane całki nieoznaczone z funkcji niewymiernych:
a)
f)
k)
1
𝑥2
𝑑𝑥
1+𝑥
𝑥
𝑑𝑥;
;
b)
g)
𝑥 2 −3
1 − 𝑥 2 𝑑𝑥;
l)
1
𝑥
1−𝑥
𝑑𝑥;
1+𝑥
1
𝑥 2 +2𝑥−1
𝑥2
9+𝑥 2
𝑑𝑥;
𝑑𝑥;
c)
h)
m)
1
3
𝑥+ 𝑥
2𝑥+3
𝑥 2 +9
4
𝑑𝑥;
d)
𝑑𝑥;
i)
𝑥 2 − 6𝑥 − 7𝑑𝑥; n)
3− 𝑥 3
𝑑𝑥;
𝑥
𝑥−2
16−𝑥 2
e)
𝑑𝑥;
1
−𝑥 2 −4𝑥−3
j)
𝑑𝑥;
o)
𝑑𝑥
7−𝑥 2
;
2𝑥+6
𝑥 2 +4𝑥+8
𝑑𝑥;
𝑥𝑑𝑥
4𝑥 2 +8𝑥+17
.
7. Obliczyd całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych:
𝑥
a) 5𝑐𝑜𝑠 2 𝑑𝑥;
e)
j)
o)
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥;
𝑑𝑥
;
𝑠𝑖𝑛𝑥 −2𝑐𝑜𝑠𝑥 +3
2−𝑠𝑖𝑛𝑥
2+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥;
b) 𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥;
f)
k)
p)
𝑠𝑖𝑛 3 𝑥
1+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥;
𝑑𝑥
;
3+𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥
;
4𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+9𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
c) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥;
d) cos 2𝑥 − 1 cos 4𝑥 + 3 𝑑𝑥;
g) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥;
h) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥;
i)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥;
1+𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
n)
l)
1
3𝑠𝑖𝑛𝑥 −4𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
𝑑𝑥;
m)
1
5−3𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥;
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
1+𝑠𝑖𝑛 4 𝑥
𝑑𝑥;
2
r) 𝑠𝑖𝑛 3 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥 𝑑𝑥.
Literatura: K. T. Jankowscy, “Zbiór zadań z matematyki”.
M. Lassak, „Matematyka dla studentów technicznych”.
Strona 2