Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń

Transkrypt

Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do
obliczeń numerycznych i symbolicznych
dr Marcin Ziółkowski
Instytut Matematyki i Informatyki
Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie
14 czerwca 2013 r.
Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numery
STEPHEN WOLFRAM - TWÓRCA PAKIETU MATHEMATICA
STEPHEN WOLFRAM - KRÓTKA BIOGRAFIA
Stephen Wolfram – naukowiec brytyjski specjalizujący się w fizyce
cząsteczek, automatach komórkowych i algebrze komputerowej,
znany jako twórca programu komputerowego Mathematica oraz
przeglądarki Wolfram Alpha, założyciel firmy Wolfram Research
Data i miejsce urodzenia: 29 sierpnia 1959, Londyn
Nagrody: MacArthur Fellowship
Wykształcenie: Eton College, St John’s College w Oksfordzie,
California Institute of Technology, pierwszy artykuł naukowy
opublikował w wieku 15 lat, doktorat z fizyki cząsteczek uzyskał w
wieku 20 lat
WSTĘP
Pakiet Mathematica został opracowany pod koniec lat osiemdziesiątych.
Jego twórcą jest z wykształcenia fizyk, brytyjczyk Stephen Wolfram.
Pierwsze wersje programu pojawiły się na początku lat
dziewięćdziesiątych, a sam Wolfram po początkowych niepowodzeniach
związanych z pracami nad programem (były problemy finansowania
projektu oraz problemy dotyczące uzyskania przez niego prawa własności)
przeniósł prace z instytutów naukowych do własnej firmy, którą utworzył
na potrzeby dystrybucji programu. Swój program opatentował i obecnie
od wielu lat czerpie korzyści finansowe jako jedyny właściciel licencji.
Program Mathematica jest obecnie dostępny w wersjach pod większość
używanych systemów operacyjnych, obecna wersja programu to wersja 9.
Piętnastodniowy trial programu można pobrać ze strony producenta po
uprzednim zarejestrowaniu. Program Mathematica jest uznanym i bardzo
cenionym na całym świecie programem pozwalającym na wykonywanie
obliczeń, wykresów, tworzenie animacji oraz programów komputerowych.
Używają go zarówno naukowcy jak i inżynierowie.
MATHEMATICA - ZALETY
Niewątpliwą zaletą programu jest jego szybkość obliczeniowa, rozległość
tematyczna oraz możliwość samodzielnego rozbudowywania.
Program ten zyskał uznanie wśród matematyków, fizyków oraz innych
ludzi zawodowo zajmujących się wykonywaniem skomplikowanych
obliczeń.
Wydaje się, że również nauczyciele matematyki i informatyki powinni
zwrócić na niego uwagę, gdyż zawiera pewne elementy, które mogą być
pomocne w wizualizacji i upoglądowieniu trudnych zagadnień matematyki
omawianych na lekcjach jak również służyć jako kalkulator o bardzo dużej
mocy obliczeniowej.
Dodatkowo należy podkreślić jego możliwości związane z obliczeniami
symbolicznymi, które powodują że jest on czołowym programem
wspomagającym obliczenia z zakresu analizy matematycznej czy algebry.
W zakresie symbolicznym przeważa on nad programami takimi jak
MATLAB, których głównym zastosowaniem są obliczenia numeryczne.
Dodatkowo należy podkreślić jego intuicyjność (komendy są bardzo
proste i intuicyjne). Dalej krótko omówimy podstawowe funkcje
programu.
MATHEMATICA – PODSTAWY – OBLICZENIA
1
2
3
4
5
W mathematice używamy następujących symboli działań
arytmetycznych: +, −, ∗, /, ∧
Przy zapisywaniu skomplikowanych ułamków należy liczniki i
mianowniki tych ułamków pisać w nawiasach
Aby program wykonał żądaną operację wciskamy klawisze
SHIFT + ENTER
Pamiętamy również, że argumenty wszystkich funkcji i
komend w programie (oraz ich fragmentów) piszemy w
nawiasach kwadratowych, a same nazwy komend i funkcji
piszemy z dużych liter
Stałe matematyczne piszemy z dużej litery
UŻYTECZNE FUNKCJE OBLICZENIOWE
1
LCM[liczba1,liczba2,...] – obliczanie NWW liczb
naturalnych
2
GCD[liczba1,liczba2,...] - obliczanie NWD liczb naturalnych
3
Divisors[liczba] - wypisywanie listy dzielników liczby
4
FactorInteger[liczba] - rozkład liczby na czynniki pierwsze
5
6
7
BaseForm[liczba,podstawa systemu] – zamiana liczby w
systemie dziesiętnym na liczbę w innym systemie
n ∧ ∧liczba - zamiana liczby zapisanej w systemie o
podstawie n na liczbę w systemie dziesiętnym
Postawienie kropki po liczbie zamienia tą liczbę na postać
dziesiętną, tak można np. zamieniać ułamki zwykłe na
dziesiętne
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ, OBLICZANIE SUM
Do rozwiązywania równań, układów równań i przekształcania
wzorów stosujemy polecenie Solve np.
Solve[x ∧ 2 − 5 ∗ x + 6 == 0] - rozwiązywanie równania
Solve[{x + y == 1, x − y == 2}, {x, y }] – rozwiązywanie układu
równań
Solve[S == x ∗ y , x] – wyliczenie x z podanego wzoru
Uwaga: Zamiast = piszemy ==, zamiast * możemy postawić
pauzę!!!!
Sum[wyr , {n, nmin, nmax}] – obliczanie sumy skończonej
Sum[wyr , {n, nmin, Infinity }] – obliczanie sumy nieskończonej
TWORZENIE WYKRESÓW
Do tworzenia wykresów używamy instrukcji Plot np.
Plot[f (x), {x, a, b}] –wykres dwuwymiarowy funkcji f(x) w
przedziale [a,b]
ParametricPlot[{f (t), g (t)}, {t, tmin, tmax}] – wykres
parametrycznej krzywej na płaszczyźnie
Plot3D[f (x, y ), {x, a, b}, {y , c, d}] –wykres trójwymiarowy funkcji
f(x,y) w prostokącie [a,b]x[c,d]
ParametricPlot3D[{f (t), g (t), h(t)}, {t, tmin, tmax}] – wykres
parametrycznej krzywej w przestrzeni
ParametricPlot3D[{f (t, u), g (t, u), h(t, u)}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}]
– wykres parametrycznej powierzchni w przestrzeni
Aby pozbyć się układu współrzędnych dodajemy Axes− >False
oraz Boxed− >None .
ANIMACJE WYKRESÓW
Do tworzenia animacji wykresów funkcji używamy polecenia
Animate, animacja to sfotografowanie kilku wykresów funkcji i
przedstawienie klatek w postaci filmu. np.
Animate[Plot[x ∧ 2 + k, {x, −1, 1}],{k, −1, 1}]
Później naciskamy pole po lewej stronie i wciskamy CTR+Y. Aby
animacja działała przed wpisaniem polecenia Animate należy
wpisać «Graphics‘Animation‘(jest to wywołanie biblioteki
zawierającej funkcje animacji).
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
D[f(x),x] – obliczenie pochodnej funkcji f
D[f(x,y),x] – obliczenie pochodnej funkcji dwóch zmiennych po x
Integrate[f(x),x] – obliczenie całki nieoznaczonej
Integrate[f (x), {x, x1, x2}] – obliczenie całki oznaczonej z funkcji
f w granicach od x1 do x2
ZASTOSOWANIE W TEORII OBSŁUGI MASOWEJ
W teorii obsługi masowej mamy często do czynienia z sytuacją,
gdy nie jesteśmy w stanie uzyskać postaci jawnej dystrybuanty
interesującej nas zmiennej losowej. Udaje się jednak często uzyskać
funkcję tworzącą interesującego nas rozkładu zmiennej losowej lub
przekształcenie Laplace’a-Stieltjesa dystrybuanty tej zmiennej. Jest
jasne, że mając dane PLS dystrybuanty zmiennej losowej lub jej
funkcję tworzącą możemy obliczyć charakterystyki badanej
zmiennej losowej (momenty) obliczając pochodne tych funkcji w
x=0 (gdy dane jest PLS) lub w x=1 (gdy dana jest FT).
Niestety obliczenia te są często skomplikowane z uwagi na dwa
pojawiające się problemy:
1
2
Postaci PLS lub FT w pewnych przypadkach są bardzo
skomplikowane, są najczęściej ułamkami, w których występują
funkcje złożone wielu zmiennych. Wtedy wyznaczenie nawet
drugiej pochodnej staje się bardzo pracochłonne i
skomplikowane
Podstawienie x=0 (w przypadku PLS) lub x=1 (w przypadku
FT) powoduje pojawienie się nieoznaczoności typu 0/0,
konieczne jest zatem często wielokrotne stosowanie reguły
d’ Hospitala, co jeszcze bardziej utrudnia obliczenia
Sam pakiet nie wykona za nas całej pracy, ale można się nim
wspomóc w celu znalezienia momentów interesującej nas ZL.
Postępujemy w następujący sposób:
1) Wyznaczamy odpowiednią pochodną FT lub PLS
2) Otrzymany wynik dzielimy na licznik i mianownik
3) Osobno dla licznika i mianownika obliczamy pochodne
odpowiedniego rzędu (stosujemy regułę d’ Hospitala)
4) Podstawiamy za argument x=0 lub x=1
5) Upraszczamy pojawiające się wyrażenia wykorzystując własności
FT lub PLS (np. dla PLS a(q) , a(0)=1)
6) Dokonujemy szeregu podstawień w celu otrzymania żądanych
wzorów (szczegółowo zostanie to omówione w przykładach).
ZAPROSZENIE
ZAPRASZAMY DO PRZYKŁADÓW WYKORZYSTANIA
PAKIETU MATHEMATICA

Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wspomag. komp. modelow. matemat.

PODSUMOWANIE KONKURSU ?NAJPIĘKNIEJSZA

wersja pdf

dla zawodu Technik Informatyk

VII Międzyszkolny Konkurs Grafiki Komputerowej

Inżynier ds. Obliczeń Wytrzymałościowych