B - cygnus

Modulacja, demodulacja
(transmisja sygnałów analogowych)
n(t)
m(t)
moc P
pasmo fM
modulator
s(t)
pasmo B
kanał
v(t)
demodulator
Moc s. użyt. S
Moc szumu N
m*(t) = s0(t) + n0(t)
moc S0
SNR:
• na wyjściu kanału SNR = S/N
• na wyjściu odbiornika SNR0 = S0/N0
PTC
moc N0
Transmisja cyfrowa sygn. analogowych
n(t)
m(t)
Koder
źródła
Modulator
cyfrowy
strumień
binarny
si(t)
kanał
v(t)
odbiornik
Pe
dekoder
SNR
symbole
strumień
binarny*
pasmo B
transmisja cyfrowa
modulator
demodulator
Pe=BER= prawdopodobieństwo przekłamania
PTC
m*(t)
Porównanie modulacji (kryteria)
• Koszt: pasmo w kanale B,
• Jakość sygnału na wyjściu odbiornika:
SNR0=S0/N0
przepływność binarna [bit/s]
efektywność widmowa [bit/s/Hz]
Pe=BER
dla transmisji
cyfrowej
• Odporność na zakłócenia:
SNR0=f(SNR)
Pe=f(SNR)
gdzie
SNR=S/N
S – moc sygn. użytecznego na wyjściu kanału
N – moc szumu na wyjściu kanału
Dla kanału z szumem białym (AWGN)
N = hB
lub
N = hfM
gdzie h – gęstość mocy szumu
PTC
Wartości graniczne
• Największa szybkość modulacji (Bd) bez interferencji
międzysymbolowych
• Największa szybkość transmisji [bit/s] bez błędów binarnych (BER=0)
• Graniczna efektywność widmowa [bit/s/Hz]
• Graniczna odporność na zakłócenia:
SNR0=f(SNR)
PTC
Przepustowość kanału
Weźmy np. kanał dolnopasmowy:
pasmo B [Hz]
moc szumu N = hB [W]
moc sygnału użytecznego S [W]
SNR = S/N
h(ht)(t ) 
sin(2 Bt )
2 Bt
t
-
1
2B
0
1
2B
2
2B
3
2B
Przepustowość: graniczna szybkość [bit/s] bezbłędnej transmisji
Wysyłamy wiadomość:
PTC
s  s0 , s1,, sk 1
(np. próbki sygnału)
Graniczna szybkość modulacji* - Tw. Nyquista
*liczba symboli przesyłanych w 1s
s0
s0
s1
s1
0
odp. impulsowa
kanału
s(t)
1
2
3
t/T
t/T
s2
s2
wejście kanału
wyjście kanału
Można przesłać 1/T = 2B symboli na sekundę bez
interferencji międzysymbolowych
PTC
T
1
2B
Transmisja z szumem
W ciągu kT sekund transmitujemy wiadomość ( wektor
i odbieramy
v s n
Kwadrat normy || s || 
2
k 1

i 0
PTC
gdzie
si2
s  s0 , s1,, sk 1
n  n0 , n1,, nk 1
)
- próbki szumu.
1 k 1 2
1
  ( si T )  Es gdzie Es – energia zużyta do
T i 0
T
transmisji wiadomości.
Transmisja z szumem
W ciągu kT sekund transmitujemy wiadomość ( wektor
i odbieramy
v s n
Kwadrat normy || s || 
2
k 1

i 0
Gdy k >>1, Es  SkT
Podobnie
PTC
gdzie
si2
s  s0 , s1,, sk 1
n  n0 , n1,, nk 1
)
- próbki szumu.
1 k 1 2
1
  ( si T )  Es gdzie Es – energia zużyta do
T i 0
T
transmisji wiadomości.
, gdzie S – średnia moc przesyłanego sygnału. Stąd || s
|| n ||2  kN  khB
oraz
|| v ||2 || s  n ||2  k (S  N )
||2  kS
Interpretacja geometryczna
Właściwości wektora próbek szumu
k 1
n
:
|| n ||   ni2 - rozkład chi- kwadrat o k stopniach swobody
2
i 0
(gdy ni - są niezależne i mają rozkłady gaussowskie o wartości średniej =0 i wariancji=1)
Rozkład
1
k
|| n ||2
:
Końce wektorów szumu leżą
przy powierzchni kuli
o promieniu || n ||
PTC
kN
Pakowanie sfer
Wiadomości można odbierać bez błędu, jeśli odległość między nimi
będzie większa niż
2 || n || 2 kN
Ile k-wymiarowych kul o promieniu r =(kN)0.5
mieści się w kuli o promieniu R=[k(S+N)]0.5 ?
Tyle, ile wynosi stosunek ich objętości, a więc
[ ] [
R k
r
SN
N
k
k
]  [1  ]
2
S
N
2
gdyż objętość k-wymiarowej kuli jest proporcjonalna do rk
W ten sposób można przesłać bez błędu
Transmisja trwała kT 
PTC
k
2B
k
log 2 [1  ]
S
N
2
 k2 log 2 [1  NS ]
sekund, a więc na sekundę przypada
bitów.
B log 2 (1  NS ) bitów .
Tw. Shannona o przepustowości kanału
Przepustowość kanału:
• Gdy
S
N
C  B log 2 (1  NS )  B log 2 (1  hSB ) [bit/s]
  , to C  
• Gdy B -> 0, to C -> 0
• Gdy B   , to C 
ponieważ
B log 2 (1  hSB )

S
log
(
1

)
2
h
hB
S
hB
S
 hS log 2 e
lim 1  1x   e .
x
x 
C osiąga wówczas maksimum, mimo że N  hB   .
PTC
Efektywność widmowa
Rb – szybkość transmisji [bit/s],
Rb/B – efektywność widmowa [bit/s/Hz]
Eb – energia zużyta na transmisję 1 bitu [J=Ws]
Dla granicznej szybkości transmisji
 E R 
Rb
 log 2 1  b b 
B
hB 

Rb

Eb
B  B
2  1

h
Rb 



Gdy
B   , to
Eb / h  ln(2) czyli -1.6 dB
PTC
 E R 
S

Rb  C  B log2 1    B log2 1  b b 
hB 
 N

Graniczna odporność na zakłócenia
fM


SNR0  1 
SNR 
B


B
fM
1
B/fM – współczynnik poszerzenia pasma
(fM – pasmo sygnału przed modulacją, B – pasmo sygnału w kanale)
Tutaj
SNR 
S
S

N h fM
Dla B/fM = 1, SNR0 =< SNR
PTC
Graniczna odporność na zakłócenia
Graniczna szybkość transmisji w kanale:
C  B log 2 (1  hSB )  B log 2 (1 
fM S
B h fM
fM
B
)  B log 2 (1 
SNR)
Szybkość transmisji na wyjściu odbiornika:
C0  f M log2 (1  SNR0 )
Ponieważ
C0  C otrzymuje się
log 2 (1  SNR0 ) 
B
fM
log 2 (1 
log 2 (1  SNR0 )  log 2 (1 
1  SNR0  (1 
SNR0  (1 
PTC
fM
B
fM
B
SNR)
SNR)
B
fM
fM
B
B
fM
1
fM
B
SNR)
SNR)
B
fM
Graniczna odporność na zakłócenia
PTC