Pierre Fermat

Pierre Fermat urodził się 17. sierpnia 1601 roku w Beaumont- de- Lomagne we Francji, zmarł
w Tuluzie w 1665.
Ojciec Fermata był zamożnym kupcem i hurtownikiem skóry (co było w XVII wieku
zajęciem bardzo dochodowym) oraz drugim konsulem Beaumont- de- Lomagne. Pierre
dorastał wraz ze swym rodzeństwem, bratem i dwiema siostrami w rodzinnej miejscowości.
Nie zachowała się wprawdzie żadna dokładna dokumentacja jego edukacji, lecz prawie
pewne jest, iż kształcił się w miejscowej szkole działającej przy franciszkańskim klasztorze.
Naukę kontynuował na uniwersytecie w Tuluzie, po czym, w drugiej połowie lat 20. XVII w.
przeniósł się do Bordeaux. Tam rozpoczął pierwsze poważniejsze badania matematyczne,
które doprowadziły później do wielu rozwiązań w dziedzinie geometrii analitycznej. Pierwszy
owoc swych rozważań w postaci „odnowionych” „Plane loci” (prace o miejscach
geometrycznych) Apoloniusza (będącego jego pierwszym starożytnym „idolemmatematykiem”) przekazał w 1629 roku jednemu z lokalnych matematyków. W tym czasie,
mieszkając w Bordeaux, nawiązał Fermat pierwsze kontakty z przedstawicielami
francuskiego środowiska matematycznego, m.in. z Beaugrand’em.
Prowadził także prace nad znajdowaniem maksimów i minimów funkcji algebraicznych,
których wyniki przekazał później swojemu przyjacielowi, dzielącemu z nim zainteresowania
matematyczne Etienne d’Espagnet. Ostatecznie metodę tę opracował Fermat w roku 1638.
Następnie przeniósł się z Bordeaux do Orleanu, gdzie kontynuował studia prawnicze na
tamtejszym uniwersytecie. Po zakończeniu studiów i otrzymaniu tytułu nabył urząd radcy
prawnego Parlamentu miejskiego w Tuluzie. Będąc mieszczaninem z pochodzenia, z racji
sprawowanego urzędu został nobilitowany, co wiązało się ze zmianą nazwiska na de Fermat.
W Tuluzie mieszkał do końca życia, choć pracował także w swym rodzinnym Beaumont- deLomagne oraz w pobliskim Castres. Od awansu z 1631 roku Fermat był członkiem i
pracownikiem niższej izby Parlamentu (pełniącego m.in. funkcje sądownicze). Następnie, w
roku 1638 został przeniesiony do izby wyższej Parlamentu (przeniesienie do wyższej
instancji). Zaś w 1652 został promowany na najwyższy stopień w sądzie kryminalnym. Ten
awans nie był jednak powodowany osiągnięciem przez Fermata większego doświadczenia
zawodowego lub większej specjalizacji jako prawnika (awans nadawano bowiem biorąc pod
uwagę głównie wiek, a w rejonie Tuluzy większość starszych, mniej odpornych ludzi zmarła
w wyniku zarazy panującej tam we wczesnych latach 50.).
Przy krótkiej charakterystyce jego kariery zawodowej należy wyraźnie zaznaczyć, że praca
jako prawnika była jego głównym zajęciem, matematyce i swym rozważaniom poświęcał
natomiast jedynie czas wolny. Nazywany jest dlatego „księciem amatorów”, niejako w
porównaniu z Gaussem określanym często „Księciem matematyków”.
Wspomniana epidemia zbierała w rejonie Tuluzy szczególnie obfite żniwo, Fermat także
zachorował i wśród wielu ofiar zarazy został nawet w 1653 roku omyłkowo uznany za
zmarłego. Fałszywa informacja o jego zgonie została następnie sprostowana w liście jednego
z jego przyjaciół do środowisk naukowych Paryża:
„Informowałem wcześniej o śmierci Fermata. Żyje, ma się dobrze i nie mamy już więcej
obaw o jego zdrowie, mimo że niedawno zaliczaliśmy go omyłkowo do zmarłych.”
W tym czasie Fermat był już postacią stosunkowo znaną, sporządzono nawet na jego temat
trafnie go określający raport dla Colberta, ministra finansów Ludwika XIV:
„Fermat, człowiek o wielkiej erudycji ma wszędzie kontakty ze środowiskami naukowymi.
Jest jednak, nazbyt zajęty, nie ewidencjonuje należycie spraw i sprawia wrażenie
zakłopotanego.”
Oczywiste, że przyczyną zbytniego zapracowania Fermata były jego matematyczne
zainteresowania. Utrzymywał swą dawną przyjaźń z dzielącym jego fascynacje
matematyczne Beaugrand’em także po przeprowadzce do Tuluzy, gdzie nawiązał kolejną
„matematyczną” znajomość z Carcavim. Carcavi był także radcą prawnym i podobnie jak
Fermat interesował się matematyką. Fermat podzielił się z nim swymi matematycznymi
spostrzeżeniami i odkryciami, które wzbudziły wielkie zainteresowanie Carcaviego.
Carcavi, będąc zarazem królewskim bibliotekarzem udał się w 1636 do Paryża, gdzie
nawiązał kontakt z Mersenne’m i jego grupą matematyków. Wielkie zainteresowanie
Fermatem wzbudziły u Mersenne’go opisy odkryć Fermata dotyczących spadania ciał
przedstawione przez Carcaviego. Mersenne napisał do amatora z Tuluzy, chcąc dowiedzieć
się więcej o jego odkryciach. W odpowiedzi z dnia 26 kwietna 1636 roku Fermat przedstawił
obszar swych zainteresowań, nadmieniając jednocześnie o błędach jakie odnalazł w opisie
swobodnego opadania ciał Galileusza oraz o „odnowionych” i uzupełnionych „Plane loci”
Apoloniusza. Opisując swe prace pisał Fermat w swym pierwszym liście:
„Odnalazłem także wiele dowodów i własności dotyczących różnych zagadnień, zarówno
arytmetycznych, jak i geometrycznych, dla których niewystarczające są rozwiązania
zaproponowane przez Viète’a. Podzielę się chętnie mymi spostrzeżeniami jeżeli tylko taka
będzie Pańska wola i uczynię to bez żadnych ambicji, jestem bowiem człowiekiem
najbardziej chyba na świecie pozbawionym chęci sławy”.
Ciekawy jest fakt, iż powodem do pierwszego kontaktu Fermata z Mersenne’m były jego
spostrzeżenia dotyczące swobodnego opadania ciał, podczas, gdy nie interesował się on
szczególnie fizyką, ani fizycznymi zastosowaniami swych matematycznych odkryć. Nie był
także Fermat zainteresowany praktycznym wykorzystywaniem swych twierdzeń z dziedziny
geometrii i ich związkiem z rzeczywistością.
W pierwszym liście przedstawił także Mersenne’mu dwie kwestie związane z maksimami i
poprosił o ich przedstawienie na paryskim forum matematycznym. Było to charakterystyczne
dla Fermata, że mając już rozwiązanie jakiegoś problemu, chciał by inni po przedstawieniu im
problemu niezależnie doszli do takich samych wniosków, co byłoby najlepszym
potwierdzeniem jego twierdzeń i dowodów. Roberval i Mersenne uznali problemy
przedstawione przez Fermata za niezwykle trudne do rozwiązania przy użyciu ówcześnie
znanych technik matematycznych. Poprosili go zatem o przedstawienie metody, którą
posłużył się w swoich pracach. Fermat przysłał im więc swoją „Metodę znajdowania
maksimów, minimów i tangensów linii krzywych” oraz pełny tekst swojego uzupełnionego
opracowania „Plane loci”.
Rozgłos jaki zdobył wśród matematyków i opinia wiodącego umysłu pozwoliłyby już za
życia Fermata na wydanie drukiem. Do tego jednak nie doszło, głównie zresztą za sprawą
samego „Księcia amatorów”. Nie lubił Fermat upowszechniać i publikować swoich prac,
które krążyły po siedemnastowiecznym świecie nauki głównie w formie korespondencji
największych umysłów tego czasu. Przy tak szerokich zainteresowaniach nie dążył nigdy do
ujednolicenia owoców swej pracy i zamknięcia ich w jednej, klarownej formie. Przy całym
swym geniuszu był, można powiedzieć, leniwy w dowodzeniu swych twierdzeń i nie dbał o
ich stosowną dokumentację, co jest w zgodzie z opinią na jego temat zawartą w wyżej już
przeze mnie cytowanym raporcie dla Colberta. Z drugiej jednak strony postępowanie takie
mogło wynikać z rzeczywistej skromności wielkiego matematyka. Faktem pewnym jest
natomiast, że wskutek takiego działania sławę zdobyli ci, którzy doszli do wniosków lub
zastosowali rozwiązania znane Fermatowi dużo wcześniej – chociażby prostokątny układ
współrzędnych, za którego twórcę uważa się Kartezjusza – został zastosowany przez Fermata
już w 1636 roku w jednej z wielu nieopublikowanych prac. Co więcej – Fermat z
powodzeniem stosował przesunięcia i obroty układu współrzędnych, co pozwalało na
uzyskanie najprostszych, kanonicznych równań linii.
Mimo to część prac Fermata została wydana – Hérigone na przykład dodał uzupełnienie
zawierające fermatowską metodę wyznaczania ekstremów funkcji do swego dzieła Cursus
mathematicus.
Prace Fermata nie znalazły jednak powszechnego uznania, Frenicle de Bessy w pisał w
jednym ze swych listów do Fermata z wielkim oburzeniem o niedorzeczności kwestii i
problemów stawianych przez „Księcia amatorów”, otrzymane natomiast w odpowiedzi
szczegóły prac i dowodów uznał za kpiny ze swojej osoby.
Niebawem wdał się Fermat w spór z matematykiem niewątpliwie większego niż Frenicle de
Bessy formatu, mianowicie z Kartezjuszem. Otrzymawszy kopię La Dioptrique Kartezjusza
nie zainteresował się zbytnio tym dziełem, był bowiem w trakcie ożywionej korespondencji z
Robervalem i Etienne Pascalem na temat metod integracji i ich użycia do wyznaczania środka
ciężkości. Poproszony przez Mersenne’go o opinię na temat La Dioptrique nazwał dzieło
„chodzeniem po omacku wśród cieni”. Pisał także o błędach popełnionych przez francuskiego
filozofa. Kartezjusz był oburzony takim postępowaniem Fermata, lecz powodem do jeszcze
większej złości stała się lektura fermatowskiego dzieła o wyznaczaniu ekstremów funkcji, w
którym Fermat, zdaniem Kartezjusza, znacznie umniejszył wagę „Geometrii”, dzieła, z
którego filozof najbardziej był dumny. Kartezjusz zaatakował stanowczo metodę
wyznaczania ekstremów. Dało to początek ostremu sporowi, do którego włączyli się także
Roberval, Etienne Pascal oraz Desargues. Ostatecznie, po przedstawieniu przez Fermata
niepodważalnego dowodu na słuszność jego metody, Kartezjusz przyznał mu rację, pisząc w
jednym z listów:
„zapoznawszy się z Twą ostatnią metodą nie mogę odpowiedzieć na nią w żaden inny sposób,
jak tylko, że jest ona bardzo dobra i że gdybyś od początku dowodził jej w ten sposób – nigdy
bym nie przeczył jej słuszności”.
Mimo jednak tak pochlebnych słów, Kartezjusz nie zapomniał Fermatowi krytyki swoich prac
i, wykorzystując swą wielką popularność w świecie nauki, starał się oczernić matematykaamatora, pisząc m.in. w listach do Mersenne’go o rzekomych błędach popełnionych przez
Fermata w innych pracach, choć miał świadomość ich słuszności i poprawności.
W okresie 1643-1654 zerwał Fermat swe kontakty z paryskimi kręgami matematyków.
Przyczyn ku temu było wiele, m.in. liczne obowiązki w Parlamencie, Fronda (wojna domowa,
która poważnie dotknęła Tuluzę w 1648 roku), ostatecznie wspominana już przeze mnie
zaraza z roku 1651. Niezależnie jednak od tych wszystkich utrudnień, właśnie wtedy
pracował Fermat nad teorią liczb, dziedziną budzącą w XVII wieku wielkie zainteresowanie.
Owocem rozważań nad teorią liczb było twierdzenie, które dało Fermatowi miejsce w historii
nauk ścisłych i które spędzało sen z powiek matematycznego świata przez 350 lat.
Wielkie Twierdzenie Fermata
Fermat traktował czytanie książek i traktatów matematycznych, szczególnie starożytnych, za
swego rodzaju rozrywkę, miał także zwyczaj notowania swoich wniosków na marginesach.
Podawał często twierdzenia, bez dowodów. Z jednej strony, nie będąc „zawodowym”
matematykiem nie czuł się do tego zobligowany, z drugiej strony przyczyną tego mogło być
jego zwykłe, ludzkie lenistwo. Słuszność jego twierdzeń była dla niego oczywista, nie widział
więc potrzeby ich udowadniania.
Tak było też z Wielkim Twierdzeniem. Na marginesie jednej z książek („Arytmetyki”
Diofantosa, wydanej później w 1670 staraniem syna Fermata, Samuela wraz z glosami
sporządzonymi przez ojca) zapisał, że prosta równość opisująca liczby pitagorejskie, triady
liczb całkowitych x,y,z i mająca postać x2+y2=z2 nie ma rozwiązań dla wykładnika n>2.
Dodał także:
„znalazłem zadziwiający dowód tego twierdzenia, za długi jednak, by mógł się zmieścić na
tym marginesie”.
Ponieważ nieznany był dowód jaki Fermat odnalazł dla poparcia takiego stwierdzenia, przez
350 lat usiłowano dowód ten przeprowadzić. Bardzo prawdopodobne, że Fermat miał na
myśli dowód niekompletny, dla konkretnych n i był daleko od dowodu ogólnego. Niemniej
jednak budziło wielką frustrację w świecie matematyków, że od lat najtęższe umysły głowią
się nad dowodem, który już dużo wcześniej znany mógł być Fermatowi.
Historia wszystkich prób dowiedzenia słuszności Wielkiego Twierdzenia Fermata jest
niezwykle ciekawa. Jak już pisałem, głowili się nad tym najwięksi matematycy,
bezskutecznie. Zmarły w 1907 roku Paweł Wolfskehl, matematyk i lekarz zapisał Królewskiej
Akademii Nauk w Getyndze 100 tys. Marek i polecił rozpisanie konkursu na dowód
Wielkiego Twierdzenia. I choć przez lata wszystkie wysiłki nie dały ostatecznie
zadowalającego wyniku, to prace mające na celu podanie dowodu zaowocowały wieloma
poważnymi teoriami z teorii liczb. W latach 70. XX wieku do rozwiązania problemu użyto
komputerów, które potwierdziły słuszność fermatowskiej idei dla ponad 100 000
wykładników. Nie był to jednak dowód ogólny.
Dowód udało się stworzyć dopiero w naszych czasach. Amerykanin, matematyk z
Uniwersytetu w Princeton Andrew Wiles przedstawił latem 1993 roku, przy wykorzystaniu
zaawansowanych, współczesnych teorii matematycznych kompletny i ogólny dowód, który
powszechnie za poprawny uznany został w 1994 roku. A może Fermat znał ten dowód 350 lat
wcześniej?
Małe Twierdzenie Fermata
Znacznie krótszy czas potrzebny był na rozwiązanie innego zadania, jakie zadał swoim
następcom Fermat. Wiąże się ono z popularną w czasach wielkiego amatora kwestią
podzielności liczb i poszukiwaniem liczb doskonałych, czyli równych sumie swych
dzielników, z wyłączeniem, rzecz jasna, samej liczby jako swego dzielnika (np.6=1+2+3).
Treść twierdzenia brzmi następująco:
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, natomiast a - dowolną liczbą całkowitą niepodzielną przez p, to
wyrażenie
ap-1-1;
a dowolna liczba całkowita
jest podzielne przez p.
Twierdzenie to podane zostało w liście do przyjaciela, bez dowodu w roku 1640 i
udowodnione sto lat później przez matematyka szwajcarskiego Eulera. Podobny do
eulerowskiego, lecz nieopublikowany dowód podał Leibniz już przed 1684 rokiem. Kolejny
dowód dla Małego Twierdzenia został podany przez Cauchy'ego i oparty był o zasadę
indukcji matematycznej oraz dwumian Newtona.
Kolejnym twierdzeniem podanym przez Fermata bez dowodu i udowodnionym przez Eulera
było twierdzenie o przedstawieniu w sposób jednoznaczny liczby pierwszej danej w formie
4n + 1, n – liczba całkowita. Znalezienie dowodu tego twierdzenia zajęło Eulerowi podobno
aż siedem lat.
Fermat wznowił swą korespondencję z paryskimi środowiskami naukowymi w roku 1654,
kiedy to Błażej Pascal, syn Etienne Pascala napisał doń z prośbą o potwierdzenie swoich idei
dotyczących prawdopodobieństwa. Krótka wymiana opinii dotyczących prawdopodobieństwa
zaowocowała teorią prawdopodobieństwa, dlatego Fermat uważany jest za współtwórcę
rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo było także przedmiotem rozpoczętej w
1656 roku korespondencji Fermata z Huygensem.
Trzeba jednak zaznaczyć, że nie wszystkie hipotezy Fermata okazały się słuszne (sądził np. iż
każda liczba postaci 22 do n-tej +1 jest liczba pierwszą). Stwierdzenie to prawdziwe jest tylko
dla n = 0,1,2,3,4. Liczby te określane są liczbami pierwszymi Fermata.
Przysłużył się jednak nauce nie tylko jako matematyk, lecz również jako fizyk. Niezwykle
istotna jest bowiem jego ogólna zasada optyki geometrycznej, która mówi, iż w ośrodku
niejednorodnym światło wybiera zawsze tę drogę, na której przebycie potrzeba najmniej
czasu.
W zakresie matematyki nie zajmował się tylko jedną kwestią, lecz wieloma, często od siebie
odległymi. Jego dorobek naukowy jest tak bogaty i niejednolity, że wszystkie jego dzieła
zebrane, uporządkowane i wydane zostały dopiero w latach 1896-1912 (cztery tomy).
Fermat jest postacią niezwykle ciekawą, z jednej strony dla swej niechęci do sławy i rozgłosu
wokół własnej osoby, z drugiej zaś dla swej wielkiej, jak na matematyka, niedbałości w
przedstawianiu dowodów, która stała się przyczyną wielkich dyskusji i wątpliwości
trwających przez trzy i pół wieku, tworząc jednocześnie intelektualną więź pomiędzy XVII i
końcem XX wieku.
Wojciech Włoskowicz
Poprawił Przemysław Murawski
Bibliografia (niekompletna)
Poczet wielkich matematyków, WNT
Encyklopedia matematyki, PWN
Wielki słownik matematyczny, WNT
5.
http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/node8.htm
BIBLIOGRAFIA
1.
,,Poczet wielkich matematyków’’ WNT
2.
,,Encyklopedia matematyki’’ PWN
3.
,,Wielki słownik matematyczny’’ WNT
4.
5.
http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/Mathematicians/Fermat.html
http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/node8.htm