Metoda elementów skończonych
Transkrypt
Metoda elementów skończonych
Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda elementów skończonych Wykłady: prof. dr hab. inŜ. Andrzej Milenin Pok. B5 710 E-mail: [email protected] Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Literatura • M. Pietrzyk Metody numeryczne w przeróbce plastycznej metali // AGH, Kraków, 1992 • O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor The Finite Element Method // Butterworth Heinemann, 3 vol, 5-th Edition, London, 2000 • Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej SPIS TREŚCI 1. 2. 3. 4. Główna koncepcja metody elementów skończonych Dyskretyzacja ośrodka, typy elementów skończonych Podstawy rachunku wariacyjnego Rozwiązanie stacjonarnych i niestacjonarnych zadań, w których niewiadomą jest funkcja skalarna 5. Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja wektorowa 6. Opracowanie programu do symulacji procesów przeróbki plastycznej za pomocą MES Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wstęp - Metoda elementów skończonych (MES) jest metodę rozwiązywania równań róŜniczkowych, spotykanych w fizyce i technice. - Powstanie tej metody jest związane z rozwiązywaniem zagadnień badań kosmicznych (1950 r.). - W obecnej chwili MES jest wykorzystywana praktycznie we wszystkich dziedzinach nauki (transport masy, transport ciepła, przepływ cieczy, pola napręŜeń). Po raz pierwszy metoda ta była opublikowana w pracy : Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J.Aeronavt. Sci., 1956, #23, p. 805-824. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przykład z technologii kucia matrycowego Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przykład z technologii walcowania Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1. Główna koncepcja metody elementów skończonych Główna idea MES polega na tym, Ŝe dowolną ciągłą wartość (np. temperaturę) moŜna zamienić na model dyskretny. Model ten jest oparty na ograniczonej ilości węzłów, które tworzą ograniczoną ilość elementów skończonych Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1.1. Algorytm MES 1. 2. W rozpatrywanym ośrodku bierzemy pod uwagę ograniczoną ilość punktów (węzłów). Wartości temperatury (lub innej funkcji) w kaŜdym węźle definiujemy jako parametr, który musimy wyznaczyć. 3. Strefa wyznaczenia temperatury dzieli się na ograniczoną ilość pod-stref, które nazywamy elementami skończonymi. 4. Temperaturę aproksymuje się na kaŜdym elemencie za pomocą wielomianu, który wyznaczony jest za pomocą węzłowych wartości temperatury. Wyznacza się go w taki sposób, aby zachować warunek ciągłości temperatury na granicach elementów. 5. Węzłowe wartości temperatury muszą być dobrane w taki sposób, aby zapewnić najlepsze do rzeczywistego przybliŜenie pola temperatury. Taki dobór wykonywany jest za pomocą minimalizacji funkcjonału, który odpowiada róŜniczkowemu równaniu przewodzenia ciepła. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1.2 WaŜniejsze zalety MES w porównaniu do innych metod 1. Własności materiału elementów niekoniecznie muszą być jednakowe. To daje moŜliwość wykorzystania MES do materiałów wielofazowych, jak równieŜ do materiałów, których własności są funkcją temperatury. 2. Ośrodek o skomplikowanym kształcie moŜe być zaproksymowana z duŜą dokładnością za pomocą elementów krzywoliniowych. 3. Wymiary elementów mogą być objętościowo róŜne. To daje moŜliwość powiększania lub zmniejszania wymiarów elementów w pewnych strefach rozpatrywanej objętości. 4. Za pomocą MES moŜna uwzględniać nieliniowe warunki brzegowe. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1.3. Typy rozpatrywanych zadań Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja skalarna 1. 2. 3. 4. 5. Przypływ ciepła w stanie ustalonym Niestacjonarny przepływ ciepła Dyfuzji składnika w ciałach stałych Dyfuzja w czasie krzepnięcia materiałów dwufazowych Przypływ ciepła w czasie krzepnięcia materiałów Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja wektorowa 1. 2. 3. 4. Stan napręŜeń spręŜystych w ciałach o skomplikowanym kształcie obciąŜonych siłami NapręŜenia cieplne w ciałach o skomplikowanym kształcie Zadania teorii płynów Zadania teorii plastyczności Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2. Dyskretyzacja ośrodka Główna koncepcja MES moŜe być pokazana na jednowymiarowym przykładzie aproksymacji ciągłego pola temperatury w pręcie Rozkład temperatury w jednowymiarowym pręcie Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.1 Dyskretyzacja ośrodka jednowymiarowego Rozpatrzmy ciągły rozkład temperatury t(x) na odcinku 0L wzdłuŜ osi X analizując pięć węzłowych punktów na odcinku 0L Punkty węzłowe (a) i ewentualni wartości t(x) (b). Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Rozdzielenie ośrodka na elementy •Rozdzielenie ośrodka 0L na elementy moŜna wykonać na róŜne sposoby. •Na przykład moŜna wykorzystać dwa sąsiednie węzły. •Wtedy otrzymamy cztery elementy, lub rozdzielić strefę na dwa elementy, z których kaŜdy zawiera trzy węzły. Podział ośrodka na elementy pierwszego (a) i drugiego (b) stopnia. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Aproksymacja pola temperatury Wielomian aproksymujący wyznaczamy na podstawie wartości temperatury w węzłach elementu. W przypadku rozdzielenia rozpatrywanej strefy na cztery elementy, kaŜdy element zawiera dwa węzły i funkcja aproksymująca będzie liniową względem osi X. Inny sposób rozdzielenia strefy na dwa elementy z 3 węzłami powoduje wykorzystanie wielomianu aproksymującego drugiego stopnia. W tym przypadku ostatecznym wariantem aproksymacji będzie siatka z dwóch elementów skończonych drugiego stopniu. Aproksymacja pola temperatury przez funkcję liniową i kwadratową Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.2 Dyskretyzacja ośrodka dwuwymiarowego Przy opracowaniu dwu- lub trzywymiarowego modelu dyskretnego temperatury główną koncepcję MES wykorzystuje się w sposób analogiczny. Funkcje elementów dla zadania dwuwymiarowego pokazane są na rysunku. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.3 Element jednowymiarowy Jednowymiarowy simpleks-element jest to prosty odcinek o długości L. Oznaczmy węzły literami i, j, węzłowe wartości temperatur – przez ti i tj odpowiednie. Funkcja aproksymująca dla tego elementu ma postać: t = a1 + a 2 X Współczynniki a1 i a2 moŜna wyznaczyć za pomocą warunków w punktach węzłowych: t = t i przy X = X i t = t j przy X = X j Te warunki powodują następujący układ równań: t i = a1 + a 2 X i t j = a1 + a 2 X j rozwiązanie których daje: a1 = ti X j − t j X i L a2 = t j − ti L Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcji kształtu elementu jednowymiarowego t X −t X t −t t = i j j i + j i X L L X −X t = j L X − Xi ti + t j L Funkcje liniowe od X nazywa się funkcjami kształtu. Oznaczymy ty funkcji przez N. KaŜda funkcja kształtu powinna miecz dolny indeks dla identyfikacji węzła, do którego ona naleŜę. Ni = Xj−X L Ni = Nj = Xj−X L n Nβ ∑ β =1 Nj = X − Xi L X − Xi L t = N i ti + N j t j = [N ]{t} t t j {t} = i [N ] = [N i N j ] Wykresy funkcji kształtu Ni i Nj =1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Ogólne właściwości funkcji kształtu Zarówno funkcje kształtu, otrzymane powyŜej dla dwóch typów elementów, jak i funkcje kształtu dowolnego elementu skończonego mają następujące wspólne własności: 1. Suma funkcji kształtu elementu w jego dowolnym punkcie równa jest jeden. Dla elementu jednowymiarowego tą właściwość moŜna przedstawić w postaci ogólnej: X − X X − Xi X j − Xi L Ni + N j = j + = = =1 L L L L Otrzymany wynik nie zaleŜy od X, dlatego ten warunek spełniony jest dla wszystkich punktów elementu. 2. Dowolna funkcja kształtu równa jeden w odpowiednim jej węźle i równa zeru w pozostałych węzłach tego elementu. Dla elementu jednowymiarowego ta własność jest oczywista. Na przykład, dla węzła i mamy Ni = Xj −X L = X j − Xi L = L =1 L 3. Na granicach pomiędzy elementami funkcji kształtu są ciągłe. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 1. Określić wartość temperatury w zadanym punkcie b Schemat do zadania 1. ti = 110 0C, tj = 230 0C, Xb = 4 mm (b ) = Rozwiązanie: Ni Obliczenie funkcji kształtu w punkcie b: N (jb ) = X j − Xb X j − Xi = 7−4 = 0.75; 7−3 Xb − Xi 4 −3 = = 0.25. X j − Xi 7 −3 N i + N j = 0.75 + 0.25 = 1 Kontrola wartości funkcji kształtu: Wartość temperatury w punkcie b: t b = t i N i + t j N j = 110 ⋅ 0.75 + 230 ⋅ 0.25 = 82.5 + 57.5 = 140 0C Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.4. Element dwuwymiarowy Simpleks-element dwuwymiarowy – jest to trójkąt z trzema węzłami dla aproksymacji pola temperatury (lub innej funkcji) Rozpatrzmy numerację węzłów w kierunku przeciwnym do strzałki zegara i oznaczymy je jako i, j, k. Kolejność numeracji węzłów w simpleks- elemencie dwuwymiarowym Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcji kształtu elementu dwuwymiarowego Wartości współczynników α1 α2 α3 otrzymamy wychodząc z warunków w węzłach elementu: przy X = X j , Y = Y j t = t j , ⇒ t j = a1 + a2 X j + a3Y j przy X = X k , Y = Yk t = t k , ⇒ t k = a1 + a2 X k + a3Yk przy X = X i , Y = Yi t = ti , ⇒ ti = a1 + a2 X i + a3Yi Następnie po rozwiązaniu układu równań otrzymamy wzory dla α1, α2 i α3 : [ α1 = 1 (X jYk − X kY j )ti + ( X kYi − X iYk )t j + (X iY j − X jYi )tk 2A α2 = 1 (Y j − Yk )ti + (Yk − Yi )t j + (Yi − Y j )tk 2A [ [ ] 1 (X k − X j )ti + ( X i − X k )t j + (X j − X i )tk α3 = 2A ] ] Schemat do wyznaczenia funkcji kształtu w simpleks- elemencie dwuwymiarowym 1 Xi 2A = 1 X j 1 Xk Yi Y j = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk Yk gdzie: А – pole elementu skończonego Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcji kształtu elementu dwuwymiarowego ϕ = ϕ i N i + ϕ j N j + ϕ k N k = {N }T ⋅ {ϕ } ai = X j Yk − X k Y j Ni = 1 (ai + bi X + ciY ) 2A bi = Y j − Yk ci = X k − X j a j = X k Yi − X i Yk Nj = Nk = 1 (a j + b j X + c jY ) 2A 1 (a k + bk X + ck Y ) 2A b j = Yk − Yi cj = Xi − Xk a k = X i Y j − X j Yi bk = Yi − Y j ck = X j − X i t = ti N i + t j N j + t k N k = {N } ⋅ {t} T Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 2 σi = 2 MPa Xi = 0 mm Yi = 0 mm σj = 4 MPa Xj = 4 mm Yj = 0.5 mm σk = 7 MPa Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B σ = σ i Ni + σ j N j + σ k N k ai = X jYk − X k Y j = 4 ⋅ 5 − 2 ⋅ 0.5 = 19 bi = Y j − Yk = 0.5 − 5 = −4.5 ci = X k − X j = 2 − 4 = −2 a j = X k Yi − X iYk = 2 ⋅ 0 − 0 ⋅ 5 = 0 Xk = 2 mm Yk = 5 mm b j = Yk − Yi = 5 − 0 = 5 XB=2 mm YB=1.5 mm ak = X iY j − X jYi = 0 ⋅ 0.5 − 4 ⋅ 0 = 0 σB = ? c j = X i − X k = 0 − 2 = −2 bk = Yi − Y j = 0 − 0.5 = −0.5 ck = X j − X i = 4 − 0 = 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B 1 Xi 2A = 1 X j 1 Xk Ni = Yi Y j = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk = 19 Yk 1 (ai + bi X + ciY ) = 7 2A 19 Nj = 1 7 ( a j + b j X + c jY ) = 2A 19 Nk = 1 (ak + bk X + ckY ) = 5 2A 19 Ni + N j + N k = 7 7 5 + + =1 19 19 19 σ B = σ i Ni ( B ) + σ j N j ( B ) + σ k N k ( B ) = 7 7 5 = 40 + 34 + 46 = 39.4 19 19 19 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja skalarna 1. 2. 3. 4. 5. Przypływ ciepła w stanie ustalonym Niestacjonarny przepływ ciepła Dyfuzji składnika w ciałach stałych Dyfuzja w czasie krzepnięcia materiałów dwufazowych Przypływ ciepła w czasie krzepnięcia materiałów ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u ( ) ( ) ( ) + + + − k u k u k u Q A x z =0 y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ u – stęŜenie (dyfuzja), wilgotność (zw. w atmosferze), temperatura ... ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t ( ) ( ) ( ) ρ + + + − k t k t k t Q c x z =0 y eff ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 3. Symulacja stacjonarnych procesów cieplnych za pomocą MES Zjawiska cieplne zachodzące w stanie ustalonym opisuje równanie Furiera w postaci: ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t ( ) ( ) ( ) ρ + + + − k t k t k t Q c x =0 y z eff ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ k - anizotropowe współczynniki przewodzenia ciepła (W/mK) w zaleŜności od temperatury t (K), Q – prędkość generowania ciepła (W/m3) Zadanie rozwiązania równania Furiera sprowadza się do poszukiwania minimum takiego funkcjonału, dla którego równanie Furiera jest równaniem Eulera. Według rachunku wariacyjnego funkcjonał taki będzie miał postać: k (t ) ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 J =∫ + + − Qt dV 2 ∂x ∂y ∂z V Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Warunki brzegowe Funkcja t(x,y,z) musi spełniać określone warunki brzegowe na powierzchni metalu: - na powierzchni metalu zadana jest temperatura t; - na powierzchni metalu zadany jest strumień cieplny q według prawa konwekcji: ∂t ∂t ∂t k (t ) a x + a y + a z = α konw (t − t∞ ) ∂y ∂z ∂x αkonw - współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła (W/m2 K); - na powierzchni metalu zadany jest strumień cieplny q według prawa wymiany radiacyjnej: ∂t ∂t ∂t k (t ) a x + a y + a z = σ rad t 4 − t∞4 ∂y ∂z ∂x ( ) σrad - współczynnik wymiany ciepła przez radiacje (W/m2K4). Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Warunki brzegowe w funkcjonale Bezpośrednie wprowadzenie warunków brzegowych do funkcjonału nie jest moŜliwe. W praktyce narzuca się ten warunek poprzez dodanie do funkcjonału całki w postaci: α 2 ( ) t − t ∫ 2 ∞ dS + ∫ qtdS S S gdzie: S – powierzchnia na której zadane są warunki brzegowe. W rezultacie otrzymujemy: k (t ) ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 α 2 J = ∫ + + − Qt dV + ∫ (t − t∞ ) dS + ∫ qtdS 2 ∂x ∂y ∂z 2 V S S Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie jednowymiarowe Siatka elementów Warunki brzegowi : Podstawowe równanie : d 2t k 2 =0 dx 1 ∂t J = ∫ k 2 ∂x V 2 k dt + α ( t − t∞ ) = 0 dx k dt +q=0 dx , przy X=0; , przy X=L dV + α (t − t∞ )2 dS + 1 tq dS ∫S 2 ∫S 2 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wybór typu aproksymacji i elementów skończonych. Funkcje kształtu ϕ = t = C0 + C1 X = ϕ i N i ( X ) + ϕ j N j ( X ) = [N ]⋅ {ϕ } Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcje kształtu ϕ = t = C0 + C1 X = ϕ i N i ( X ) + ϕ j N j ( X ) = [N ]⋅ {ϕ } Ni przyjmuje wartość zero w kaŜdym węźle z wyjątkiem węzła i, w którym przyjmuje wartość 1. Ni = Nj = Xj −X X j − Xi X − Xi X j − Xi ; Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zastosowanie metody elementów skończonych 2 [ ] k dt J = ∫ dV + ∫ qt + 12 α (t − t∞ ) 2 dS 2 dx V V t (1) = N1(1)t1 + N 2(1)t 2 t = ti N i + t j N j = [N ]⋅ {t} t ( 2 ) = N 2( 2 ) t 2 + N 3( 2 ) t 3 Funkcje kształtu: Ni = Xj −X ; L X − Xi . Nj = L N 2(1) = X − X2 L(1) N1(1) = X1 − X L(1) N 2( 2 ) = X2 − X L(2 ) N 3( 2 ) = X − X3 L( 2 ) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Obliczenie składowych funkcjonału 2 [ ] k dt J = ∫ dV + ∫ qt + 12 α (t − t∞ ) 2 dS 2 dx V S ∫ qt ( x )dS = qt S 1 1 s1 dt (1) (−t1 + t 2 ) = dx L(1) dt ( 2 ) ( −t 2 + t 3 ) = dx L( 2 ) ∫ α S3 ∫ ( ) dV K 2 V dt 2 dx = 2 2 [t ( x ) − t ∞ ] dS K (1) S (1) 2 L1 = αS3 ( − t1 + t2 ) + 2 2 (t 2 3 K ( 2 )S ( 2 ) 2 L2 − t 3 t ∞ + t ∞2 ) ( − t 2 + t3 ) 2 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej W rezultacie otrzymujemy funkcjonał: J= C (1) 2 qS1t1 + (t − 2t1t2 + t ) + 2 1 αS3 2 2 2 C(2) 2 (t32 − 2t3t∞ + t∞2 ) (1) (1) S K (1) C = L(1) ( 2) ( 2) S K ( 2) C = L( 2 ) ( t − 2 t 2 t3 + t ) + 2 2 2 3 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia pochodnych cząstkowych tego funkcjonału względem wartości węzłowych temperatury: ∂J = − C ( 1 ) t1 + (C ( 1 ) + C ( 2 ) )t 2 − C ( 2 ) t 3 = 0 ∂ t2 ∂J (2) (2) = − C t 2 + (C + α A )t 3 − α At ∞ = 0 ∂ t3 ∂J = C ( 1 ) t1 − C ( 1 ) t 2 + qS = 0 ∂ t1 C (1) (1) − C 0 − C (1) C (1) + C ( 2 ) − C ( 2) 0 t1 − qS − C ( 2) t 2 = 0 C ( 2 ) + α t 3 αSt ∞ [H ]{t}+ {P} = 0 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie K =75 W/cm0С, α = 10 W/cm2 0С, S = 1 cm2, L = 7.0 cm, L1 = 3.5 cm, L2 = 3.5 cm, q = -150 W/cm2, t∞ = 40 0С C(1)= 75 / 3.5 = 20 = C(2) αS(3) = 10 -qS(1) = -(-150) = 150 αS(3) t∞= 10 40 = 400 20 − 20 0 t1 150 − 20 40 − 20 t = 0 2 0 − 20 30 t3 400 t={70, 62.5 , 55} Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Symulacja stacjonarnych procesów cieplnych za pomocą MES. Ogólne zasady. Zjawiska cieplne zachodzące w stanie ustalonym opisuje równanie Furiera w postaci: ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ k x (t ) + k y (t ) + k z (t ) + Q = 0 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Zadanie rozwiązania równania Furiera sprowadza się do poszukiwania minimum funkcjonału: k (t ) ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 + + − Qt dV J = ∫ 2 ∂x ∂y ∂z V Wprowadzenie warunków brzegowych: k (t ) ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 α 2 J = ∫ + + − Qt dV + ∫ (t − t∞ ) dS + ∫ qtdS 2 ∂x ∂y ∂z 2 V S S Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja przedstawionego problemu Dyskretyzacja przedstawionego problemu polega na podzieleniu rozpatrywanej strefy na elementy i przedstawieniu temperatury wewnątrz elementu jako funkcji wartości węzłowych zgodnie z zaleŜnością: n t = ∑ N i ti = {N } {t} i =1 T ∂t ∂ {N }T {t} = ∂{N } {t} = ∂x ∂x ∂x ( ) T Wprowadzając zaleŜności t i dt/dx do funkcjonału otrzymamy: 2 2 2 T ∂{N }T ∂{N }T 2 ∂ { } ( ) k t N T + − Q{N } {t } dV + α {N }T {t}− t∞ dS + q{N }T {t}dS . { } { } { } + t t t J =∫ ∫S 2 ∫S ∂y 2 ∂x ∂z V ( ) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Minimalizacja funkcjonału Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia pochodnych cząstkowych tego funkcjonału względem wartości węzłowych temperatury, Ŝe w rezultacie prowadzi do następującego układu równań: ∂{N } ∂{N }T ∂{N } ∂{N }T ∂{N } ∂{N }T ∂J T = ∫ k (t ) + + { t}− Q{N }dV + ∫ α {N } {t} − t∞ {N }dS + ∫ q{N }dS . ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂{t} V S S ( ) Ten układ równań zapisany w postaci macierzowej ma postać: [H ]{t}+ {P} = 0 ∂{N } ∂{N }T ∂{N } ∂{N }T ∂{N } ∂{N }T T [H ] = ∫ k (t ) + + dV + ∫ α {N }{N } dS , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V S {P} = − ∫ α {N }t∞ dS − ∫ Q{N }dV . S V Minimalizacja funkcjonału moŜe być równieŜ wykonana przez bezpośredni dobór węzłowych wartości temperatury. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Symulacja niestacjonarnych procesów cieplnych za pomocą MES. Ogólne zasady. Równanie Furiera dla procesu niestacjonarnego ma postać: ∂t ∂t ∂t ∂ ∂ ∂t ∂ =0 k x (t ) + k y (t ) + k z (t ) + Q − ceff ρ ∂τ ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y W określonej chwili czasu pochodne temperatury mogą być traktowane jako funkcje tylko współrzędnych x,y,z. Wtedy rozwiązanie równania Furiera jest prowadzone analogicznie jak dla procesu stacjonarnego przyjmując całe wyraŜenie w nawiasie jako parametr Q. [H ]{t}+ {P} = 0 [H ]{t }+ [C ] ∂ {t }+ {P } = 0 ∂τ [C ] = ∫ {N }ρ c eff {N }T dV V Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Uwzględnienie czasu za pomocą metody waŜonych residuum W ogólnym przypadku wartości temperatury w węzłach {t} zaleŜą od czasu. Przyjmując, Ŝe wektor {t0} reprezentuje temperatury węzłowe w chwili τ=0, to w przedziale czasu ∆τ wektor ten będzie wyznaczony równaniem: {t0 } {t} = {N 0 , N1} {t1} W tym równaniu {N0} i {N1} są funkcjami kształtu zaleŜnymi od czasu. Przyjmując, Ŝe dla małych przedziałów ∆τ zaleŜność temperatur węzłowych od czasu jest liniowa, funkcje kształtu przyjmą postać: N0 = ∆τ − τ ∆τ N1 = τ ∆τ {t 0 } ∂ {t } ∂ N 0 ∂ N 1 {t 0 } 1 {− 1,1} = , = ∂τ ∂ τ {t 1 } ∆ τ ∂τ {t 1 } Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja czasowa PoniewaŜ wektor temperatur węzłowych jest znany, dla przeprowadzenia całkowania równania Furiera względem czasu naleŜy wprowadzić tylko jedną waŜoną residualną zgodnie z zaleŜnością: [H ]{t }+ [C ] ∂ {t }+ {P } = 0 ∂τ {t 0 } ∂ N 0 ∂ N 1 {t 0 } + { } [ ] { , } , P + C N H N N dτ = 0 0 1 ∫0 1 { } { } t t ∂ ∂ τ τ 1 1 ∆τ Wprowadzając funkcje kształtu N0 i N1 do tego równania otrzymamy: ∆τ τ ∆τ − τ τ C [ H ] { t } { t } ( { t } { t } ) { P } + − + + + dτ = 0 ∫0 ∆τ ∆τ 0 ∆τ 1 ∆τ 0 1 3 3 2[H ] + [C ]{t1}+ [H ] − [C ]{t0 }+ 3{P} = 0 ∆t ∆t Otrzymane wyraŜenie jest układem liniowych równań algebraicznych pozwalających obliczyć wartości temperatur węzłowych {t1} po czasie ∆t przy zadanych temperaturach {t2} w chwili τ=0 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zagadnienie wyznaczenia nieustalonego pola temperatury we wsadzie o przekroju okrągłym Pole temperaturowe we wsadzie o przekroju okrągłym. Schemat obliczeniowy do wyznaczenia nieustalonego pola temperatury we wsadzie o przekroju okrągłym. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Proces minimalizacji funkcjonału dla jednego elementu 2 k dt J = ∫ dV − ∫ QtdV + ∫ 12 α (t − t ∞ ) 2 dS 2 dx V V S Temperatura wewnątrz elementów zdefiniowana jest następnym wzorom: nnod t = ∑ N i ti =N1t1 + N 2 t 2 = i =1 r − r1 r2 − r t2 t1 + ∆r ∆r Ni – funkcji kształtu węzłów, t1 i t2 – temperatury w węzłach rozpatrywanego elementu. Wyznaczymy pochodną temperatury względem r: t −t ∂t ∂N1 ∂N = t1 + 2 t 2 = 2 1 ∂r ∂r ∂r ∆r Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Obliczymy całkę objętościową w funkcjonale 2 k dt J = ∫ dV − ∫ QtdV + ∫ 12 α (t − t ∞ ) 2 dS 2 dx V V S dV = 2πrLdr ∫ dS = 2πr max L S L – długość wsadu, rmax – promień wsadu 2 r 2 k dt k nnod ∂N i ∫V 2 dx dV = ∫r 2 ∑ i =1 ∂r 1 2 r 2 2 t −t t −t ti 2πrLdr = πL ∫ k 2 1 rdr =πLk 2 1 ∆r ∆r r1 2 np ∑ (r w p p det J ) p =1 gdzie: detJ – wyznacznik macierzy Jacobiego, który jest Jakobianem transformacji układu współrzędnych ( ), w – współczynniki wagi w punktach całkowania Gaussa rp Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Transformacja układu współrzędnych Dla rozpatrywanego przypadku (jednowymiarowego) transformacja wyznaczona jest następującym wzorem nnod r = ∑ N i ri =N1r1 + N 2 r2 = i =1 1 (1 − ξ )r1 + 1 (1 + ξ )r2 2 2 ξ - współrzędna lokalna nnod rp = ∑ N ip ri =N 1 p r1 + N 2 p r2 = i =1 ( ) 1 1 1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2 2 2 Wartość wyznacznika macierzy Jacobiego: 2 k dt t 2 − t1 π dV Lk = ∫V 2 dx ∆r 2 np dr ∂N ∂N r − r ∆r det J = det = 1 r1 + 2 r2 = 2 1 = 2 2 ∂ξ dξ ∂ξ (rp wp det J ) = πLk ∆2r t2∆−rt1 ∑ p =1 2 np ∑ (r w ) p p =1 p Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Całkowanie numeryczne i analityczne 2 r2 t 2 − t1 t 2 − t1 k rdr k = ∫r ∆r r ∆ 1 r2 ∫ rdr = r1 r2 ( ∫ rdr r1 ) 1 2 1 1 ⋅ r2 − r12 = ⋅ (9 − 1) = ⋅ 8 = 4; 2 2 2 2 ∫ rdr = ∑ r w p r1 2 r2 p =1 p ( ) 1 1 det J p = ∑ 1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2 w p det J p = 2 p =1 2 2 1 ((1 + 0.577 ) ⋅ 1 + (1 − 0.577 ) ⋅ 3 + (1 − 0.577) ⋅ 1 + (1 + 0.577 ) ⋅ 3) ⋅ 1 = 2 1 (1.577 + 0.433 ⋅ 3 + 0.433 + 1.577 ⋅ 3) = 1 ⋅ 8.04 = 4.02 2 2 dr ∂N r − r ∆r ∂N det J = det = 1 r1 + 2 r2 = 2 1 = 2 2 ∂ξ dξ ∂ξ nnod rp = ∑ N ip ri =N 1 p r1 + N 2 p r2 = i =1 ( ) 1 1 1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2 2 2 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja czasowa Wartość współczynnika Q moŜna wyznaczyć następująco: Q = cρ dt dτ {t 0 } 1 ∂ {t } ∂ N 0 ∂ N 1 {t 0 } {− 1,1} , = = ∂τ ∂ τ {t } ∆ τ ∂τ {t } ( {t} = N1t1 + N 2 t 2 {t 0 } = N1t10 + N 2 t 20 ) ( N t + N 2t 2 − N1t10 + N 2t 20 dt = 11 ∆τ dτ ) dt 2πcρL p N1t1 + N 2 t 2 − N 1t10 − N 2 t 20 (N 1t1 + N 2 t 2 )rp w p ∆r = ∫V QtdV = V∫ cρ dτ tdV = ∆τ ∑ p =1 n [ ( ) ] p 2πcρL 2 = ∆r ∑ (N 1t1 + N 2 t 2 ) − N 1t10 + N 2 t 20 (N 1t1 + N 2 t 2 ) rp w p , ∆τ p =1 n ( ) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja ośrodka ∫ ∫ dS = 2πrmax L α (t − t∞ ) 2 dS = πLrmaxα (t 2 − t∞ )2 S S ∆r t 2 − t1 J e = πLk 2 ∆r ∆r t 2 − t1 Je = k 2 ∆r 1 2 2 np [ ] p 2πcρL ( ) (N1t1 + N 2t2 )2 − N1t10 + N 2t20 (N1t1 + N 2t2 ) rp w p + πLrmaxα (t2 − t∞ )2 , r w − ∆ r ∑ ∑ p p ∆τ p =1 p =1 2 np n ( [ ) ] p 2cρ (rp wp ) − ∆τ ∆r ∑ (N1t1 + N 2t2 )2 − N1t10 + N 2t20 (N1t1 + N 2t2 ) rp wp + rmaxα (t2 − t∞ )2 . ∑ p =1 p =1 n ( ) Dla minimalizacji funkcjonału wykorzystamy warunek ekstremum funkcji: ∂J e =0 ∂t1 ∂J e =0 ∂t 2 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Proces minimalizacji funkcjonału Po zróŜniczkowaniu funkcjonału względem temperatury t1 w węzłach, otrzymamy: t 2 − t1 1 p 2cρ∆r p ∂J e − ∑ rp w p − = k∆r (2(N1t1 + N 2t2 )N1 − (N1t10 + N 2t20 )N1 )rp wp = 0. ∑ ∆ τ ∂t1 r ∆ r ∆ p =1 p =1 n n np np k np k np ρ ρ ∆ 4 4 c r ∆ ∂J e c r 2 = t1 ∑ rp w p − r w N N r w + − − N r w t ∑ ∑ ∑ 1 p p 2 1 2 p p+ p p ∆τ p =1 ∆τ p =1 ∂t1 ∆r p =1 ∆r p =1 2cρ∆r p + ∑ (N1t10 + N 2t20 )N1rp wp = 0. ∆τ p =1 n Analogiczne dla t2: np np k np k np ∂J e ∆ 4 c r 4 c r ∆ ρ ρ 2 = t1 − − r w N N r w t r w N r w 2 r + − + α ∑ ∑ ∑ ∑ max + 1 2 p p 2 2 p p p p p p ∂t 2 ∆ ∆ r r ∆ ∆ τ τ p =1 p =1 p =1 p =1 2cρ∆r p + ∑ (N1t10 + N 2t20 )N 2 rp wp − 2αrmaxt∞ = 0. ∆τ p =1 n Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Równania w postaci macierzowej t1 H11 t 2 H 21 2cρ∆r p 2 k p H 11 = rp w p − N 1 rp w p ∑ ∑ ∆r p =1 ∆τ p =1 n n k 2cρ∆r r w N1 N 2 rp w p − ∑ p p ∆τ ∑ ∆r p =1 p =1 np H 12 = − np H 22 2cρ∆r p 2 k p N 2 rp w p + 2αrmax = ∑ rp w p − ∆τ ∑ ∆r p =1 p =1 H 21 2cρ∆r p k p = − ∑ rp w p − ∑ N 2 N 1 rp w p ∆r p =1 ∆τ p =1 n n n n H12 P1 = H 22 P2 2cρ∆r p P2 = − ∑ (N1t10 + N 2 t 20 )N 2 rp w p + 2αrmax t ∞ ∆τ p =1 n 2cρ∆r p P1 = − ∑ (N1t10 + N 2 t 20 )N1rp w p ∆τ p =1 n Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Układ równań dla całego ośrodka W celu otrzymania układu równań dla całego ośrodka naleŜy dodawać do elementów globalnej macierzy odpowiednie elementy lokalnej macierzy wszystkich elementów: [H ] = ∑ [H ] ne e g e =1 Przystępując do budowy macierzy sztywności dla całego ośrodka naleŜy w pierwszej kolejności zmienić indeksy zgodnie z numeracją o numerach stopni swobody całego ośrodka. W tym celu konieczna jest informacja o numerach punktów węzłowych, przylegających do kaŜdego z elementów. Dla elementu numer trzy informacja taka zakodowana jest w macierzy: Schemat podziału na elementy ilustrujący globalną i lokalną numerację węzłów Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Miejsce komponentów macierzy elementu Dla ośrodka przedstawianego na rys miejsce komponentów macierzy elementu trzeciego pokazano w tabele Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przykład opracowania oprogramowania i obliczeń Rozpatrywane w poprzednim rozdziale zadanie przedstawione jest poniŜej w postaci oprogramowania TEMP1d, napisanej w języku FORTRAN 90. Program główny słuŜy jedynie do wczytywania danych do obliczeń z pliku DataInpTemp1d.txt. Wczytywane są następujące dane: Rmin - promień minimalny wsadu, m Rmax - promień maksymalny wsadu, m AlfaAir - współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła (W/m2 C) TempBegin - temperatura początkowa, C TempAir - temperatura środowiska, C TauMax - czas procesu, s C - efektywne ciepło właściwe, J/(kg*C) K - współczynnik przewodzenia ciepła, W/(mC) Ro - gęstość metalu, kg/(m3). Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dane do obliczeń testowych Dane do obliczeń testowych z pliku DataInpTemp1d.txt przedstawiony są poniŜej: ************************************************************************** 0.0 Rmin, m 0.05 Rmax , m 300 AlfaAir, W/m2 K; 100 TempBegin C; 1200 TempAir C; 700 C J/(kg*Ę); 7800 Ro kg/(m3); 25 K W/(mĘ) 1800 TauMax s; ************************************************************************** Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wyniki obliczenia procesu nagrzewania wsadu Wyniki obliczenia procesu nagrzewania wsadu o przekroju okrągłym, 1 – warstwa powierzchniowa, 2 – punkcie centralnym przekroju wsadu. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadania praktyczne Obliczyć globalną macierz układu równań dla siatki elementów, pokazanej na rys. za pomocą programu TEMP1d. Dla pierwszego elementu macierz H równa jest: Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Miejsce komponentów macierzy elementu pierwszego Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Miejsce komponentów macierzy elementu drugiego Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Macierz globalna Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja wektorowa •Teoria plastyczności •Teoria spręŜystości •Teoria płynów Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Podstawy teorii plastyczności Teoria plastycznego płynięcia metali a) ZaleŜność między prędkościami płynięcia metalu ta prędkościami odkształceń: ε&ij = 1 ( vi , j + v j ,i ) 2 b) Równania równowagi: σ ij , j = 0 c) ZaleŜność między prędkościami odkształceń i napręŜeniami: 3σ p σ ij = δ ijσ 0 + ε&ij 2ε&i d) Warunek stałej objętości: ε& 0 = 0 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Warunki brzegowi Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Warunki brzegowi • S1 v y = − v tool ; τ • S2 σ • S3 σ xy = 0; v y = 0; v x = ? • S4 σ xy = 0; v x = 0; v y = ? x =σ n fric =σ = 0;σ xy fric vx =σ vx fric = 0 ; v x = ?; v y = ? • P1 v x = 0; v y = 0;σ • P2 v x = 0 ; v y = − v tool ; σ xy =σ xy = 0 xy = 0 sign (v x ) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Teoria małych spręŜysta-plastycznych odkształceń a) ZaleŜność między przemieszczeniami metalu ta odkształceniami: ε ij = 1 ( u i , j + u j ,i ) 2 b) Równania równowagi: σ ij , j = 0 c) ZaleŜność między odkształceniami i napręŜeniami: σ ij = δ ij kε 0 + 3σ p 2ε i ε ij Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Sformułowanie zadania teorii plastyczności przez metodę wariacyjną Funkcjonał – jest określony, jeŜeli kaŜdej funkcji pewnej klasy odpowiada określona liczba. Funkcjonał – to funkcja, w której role zmiennej niezaleŜnej spełniają krzywe albo funkcje. W modelowaniu procesów plastycznej przeróbki metali energia odkształcenia plastycznego moŜna traktować jako funkcjonał zaleŜny od składowych przemieszczenia metalu ux(x,y,z), uy(x,y,z), uz(x,y,z). Zadaniem rachunku wariacyjnego jest określenie funkcji ux(x,y,z), uy(x,y,z), uz(x,y,z), dla jakich funkcjonał (energia odkształcenia plastycznego) osiąga minimum Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Energia odkształcenia plastycznego (funkcjonał) εi J = ∫ ∫ σ i (ε i )dV + ∫ kε 02 dV − ∫ τ fric uτ dS − ∫ σ n u n dS − V 0 V S1 S1 ∫ σ n u n dS − S2 − S4 J = ∫ σ i ε i dV + ∫ kε 02 dV − ∫ τ fric uτ dS ≠ 0 min → V V S1 ∫ σ τ uτ dS ≡ 0 S2 − S4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dla teorii plastycznego płynięcia metali funkcjonał ma postać: J = ∫ σ i ε&i dV + ∫ σε&0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 stac → V V S1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej W innym sformułowaniu moŜna funkcjonał przedstawisz w sposób następny: 2 & & J = ∫ σ i ε i dV + K pen ∫ ε 0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 min → V V S1 gdzie Kpen – duŜy współczynnik kary K pen → ∞ ε&0 → 0 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zalety metody wariacyjnej 1. Mniejsi stopień pochodnych w sformułowaniu zadania brzegowego; 2. Mamy nie duŜo (15) równań, a jedne (funkcjonał); 3. Wygodne zadanie warunków brzegowych; Problemy 1. Konieczność rozwiązania zadania wariacyjnego (określenie funkcji, dla jakich funkcjonał osiąga minimum). Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Ritza Rozwiązanie zadania wariacyjnego według metody Ritza sprowadza się do załoŜenia postaci funkcji opisujących składowe pola prędkości. Najwygodniej jest załoŜyć, Ŝe funkcje te są wielomianami: vx = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x 2 + ... 2 v y = b0 + b1 x + b2 y + b3 z + b4 x + ... 2 vz = c0 + c1 x + c2 y + c3 z + c4 x + ... Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wartość współczynników a, b, c w równaniach wyznacza się szukając minimum mocy odkształcenia uwzględniając, ze pole prędkości musi spełniać warunki brzegowe na obwiedni strefy odkształcenia. Sprowadza się to do wyeliminowania części parametrów wariacyjnych poprzez warunki brzegowe, a następnie do rozwiązania układu równań powstałego przez róŜniczkowanie funkcjonału mocy względem pozostałych parametrów wariacyjnych: ∂J = 0 ∂bi ∂J = 0 ∂ai ∂J = 0 ∂ci i = 1...n Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przykład 1.4.1. ε& y = 0 σ i = σ p = const τ fric = mσ p v x ( x, z ) = ? v z ( x, z ) = ? Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej J = ∫ σ i ε&i dV + K pen ∫ ε& 2 0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 min → V V S1 J = ∫ σ i ε&i dV − ∫ τ fric vτ dS min → V S h b b 0 0 0 J = σ p ∫ ∫ ε&i dzdx − mσ p ∫ v x dS = ( J 1 − J 2 ) min → Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 3z 2 x2 v x = a1 x + a2 x1 − 2 1 − 2 h 3b 3z 2 x 2 ∂v x ε&x = = a1 + a2 1 − 2 1 − 2 h b ∂x 3z 2 x 2 ε&z = −ε&x = − a1 + a2 1 − 2 1 − 2 h b Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 3z 2 x 2 vz = ∫ ε&z dz = − a1 z + a2 z 1 − 2 1 − 2 + ϕ ( x) h b (1.4.8) Przy x=z=0; vx=vz=0; ⇒ ϕ(x)=0 γ xz z 2 2x x2 6z 1 ∂vx ∂vz 1 = + = − a2 x1 − 2 2 + a2 z 1 − 2 2 = 2 ∂z ∂x 2 h b b h 3zx x 2 zx z = −a2 2 1 − 2 + a2 2 1 − 2 h b b h 2 2 (1.4.9) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2 3z 2 a1b 2 2 x2 a b 2 2 − a2 b + J 2 = mσ p ∫ a1 x + a2 x1 − 2 1 − 2 dx = mσ p 9 h 3b 2 0 b h b h b 4 2 J1 = σ p ∫ ∫ ε&i dzdx = ∫ ∫ ε&z + ε&z2 − ε&z ε&x + 3γ& xz2 dzdx = f (a1 ; a2 ) 3 0 0 0 0 ∂J ∂J1 ∂J 2 = + =0 ∂a1 ∂a1 ∂a1 ∂J ∂J1 ∂J 2 = + = 0 ∂a2 ∂a2 ∂a2 ∂J1 ∂f (a1 ; a2 ) = ; ∂a1 ∂a1 ∂J 2 b = mσ p 2 ∂a1 a1 = ∂J1 ∂f (a1 ; a2 ) = ; ∂a2 ∂a2 a2 = 2 ∂J 2 7 = mσ p − b 2 ∂a2 9 vtool h 0.416a1 2m b h b2 b2 0.213 + 0.648 2 + 0.026 2 h h Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Podstawowym mankamentem metody jest trudność w określeniu granicy strefy plastycznej w przypadku procesów o duŜej nierównomierności odkształcenia. JeŜeli zastosuje się podział na większa ilość elementów i opisze pole prędkości wielomianami niŜszego stopnia, to trudności te mogą zostać wyeliminowane. Zasada ta zrealizowana jest w metodzie elementów skończonych. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej PODSTAWY METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH -Dyskretyzacja -Wybór pryncypia wariacyjnego -Wybór typu aproksymacji i elementów skończonych -Realizacja pryncypia wariacyjnego -Uwzględnienie warunków brzegowych -Rozwiązanie układu równań algebraicznych -Obliczenie odkzstalcen i napręŜeń Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Typy elementów skończonych Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Symulacja procesów wymiany ciepła za pomocą metodą elementów skończonych Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.2. Elementy dwuwymiarowi (trójkąty) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcje kształtu: ϕ = α1 + α2Х + α3Y Przy Х=Хi , Y=Yi ϕ = ϕi , ⇒ ϕi = α1 + α2Хi + α3Yi; przy Х=Хj , Y=Yj ϕ = ϕj , ⇒ ϕj = α1 + α2Хj + α3Yj, przy Х=Хk, Y=Yk ϕ = ϕk , ⇒ ϕk = α1 + α2Хk + α3Yk α1 = [ 1 (X j Yk − X k Y j )ϕ i + ( X k Yi − X iYk )ϕ j + (X iY j − X j Yi )ϕ k 2A [ 1 (Y j − Yk )ϕ i + (Yk − Yi )ϕ j + (Yi − Y j )ϕ k α2 = 2A [ 1 (X k − X j )ϕ i + ( X i − X k )ϕ j + (X j − X i )ϕ k α3 = 2A ] ] ] 1 Xi 2A = 1 X j 1 Xk Yi Yj = Yk = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 2 Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym: εx = εy = U x = U xi N i + U xj N j + U xk N k ∂U x ∂X U y = U yi N i + U yj N j + U yk N k ∂U y ∂Y 1 ∂U ∂U y ε xy = x + 2 ∂Y ∂X εx = εy = ∂N j ∂U x ∂N i ∂N k 1 (U xi bi + U xj b j + U xk bk ) + U xj = U xi + U xk = ∂X ∂X ∂X ∂X 2A ∂U y ∂Y 1 ∂U = U yi ∂N j ∂N i ∂N k 1 (U yi ci + U yj c j + U yk ck ) + U yj = + U yk 2A ∂Y ∂Y ∂Y ∂U 1 ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N y j j = U xi i + U xj ε xy = x + + U yk k = + U xk k + U yi i + U yj ∂X ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Y 2 ∂Y ∂X 2 1 (U xi ci + U xj c j + U xk ck + U yibi + U yjb j + U yk bk ) 4A Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 4 Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym Uxi = 10 mm Uyi = -1 mm Xi = 5 mm Yi = 3 mm Uxj = 10 mm Uyj = 0 mm Xj = 5 mm Yj = 0 mm Uxk = 15 mm Uyk = -0.5 mm Xk = 10 mm Yk = 2 mm εx εy εxy = ? εx = εy = ∂N j ∂U x ∂N i ∂N k 1 (U xi bi + U xj b j + U xk bk ) + U xj = U xi + U xk = ∂X ∂X ∂X ∂X 2A ∂U y ∂Y 1 ∂U = U yi ∂N j ∂N i ∂N k 1 (U yi ci + U yj c j + U yk ck ) + U yj = + U yk 2A ∂Y ∂Y ∂Y ∂U 1 ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N y j j = U xi i + U xj + U xk k + U yi i + U yj + U yk k = ε xy = x + ∂Y ∂Y ∂Y ∂X ∂X ∂X ∂X 2 2 ∂Y 1 (U xi ci + U xj c j + U xk ck + U yibi + U yjb j + U yk bk ) 4A bi = Y j − Yk = 0 − 2 = −2 ci = X k − X j = 10 − 5 = −5 b j = Yk − Yi = 10 − 3 = 7 c j = X i − X k = 5 − 10 = −5 bk = Yi − Y j = 3 − 0 = 3 ck = X j − X i = 5 − 5 = 0 1 Xi 2A = 1 X j 1 Xk Yi Yj = Yk = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk = 15 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.3.Zastosowanie MES do modelowania procesów przeróbki plastycznej 2.3.1. Podstawowe zasady: J= 1 2 2 µ H d V + K ξ pen ∫ 0 dV − ∫ σ τ ∆Vτ dS 2 V∫ V S T p −1 ( H , Λ, t ) µ = H p −1 p ( 2 (ξx −ξy )2 + (ξy −ξz )2 + (ξz −ξx )2 + 6 ξxy2 +ξyz2 +ξzx2 3 H= τ Λ = ∫ Hdτ T= 0 σ ij = δ ijσ 0 + σp 3 H = 3ε&i 2T (H , Λ, t ) ε&ij H ) 1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2.3.2. Przykłady obliczeń (spęczanie) Dyskretyzacja ośrodka lepkoplastycznego: 1 2 2 J = ∑ J e = ∑ ∫ µ e H e dV + K pen ∫ ξ 0 e dV ie =1 ie =1 2 V V ne ne Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja ośrodka lepkoplastycznego: ne=6 nop(1,1)=1; nop(1,2)=7; nop(1,3)=3; nop(1,4)=7; nop(1,5)=7; nop(1,6)=6; nop(2,1)=7; nop(2,2)=3; nop(2,3)=7; nop(2,4)=5; nop(2,5)=6; nop(2,6)=7; nop(3,1)=2; nop(3,2)=2; nop(3,3)=4; nop(3,4)=4; nop(3,5)=5; nop(3,6)=1. nh=7 Vx(1)=0; Vy(1)=Vup; Status1 = 1 X1=-1 Y1=1 Vx(2)=0; Vy(2)=Vup; Status2 = 1 X2=1 Y2=1 Vx(3)=0; Vy(3)=0; Status3 = 0 X3=1 Y3=0 Vx(4)=0; Vy(4)=Vdown; Status4 = 1 X4=1 Y4=-1 Vx(5)=0; Vy(5)=Vdown; Status5 = 1 X5=-1 Y5=-1 Vx(6)=0; Vy(6)=0; Status6 = 0 X6=-1 Y6=0 Vx(7)=0; Vy(7)=0 ; Status7 = 0 X7=0 Y7=0 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Obliczenie funkcionalu: 1 2 2 J = ∑ J e = ∑ ∫ µ e H e dV + K pen ∫ ξ 0 e dV min → 2 ie =1 ie =1 V V (V x ,V y ) ne H= ξx = ξy = ne 2 3 (ξ ( ) ξ0 2 x − ξ y ) + (ξ y ) + (ξ x ) + 6 ξ xy 2 2 2 = ξx +ξy 2 ∂N j ∂N i ∂V x ∂N k 1 (Vxi bi + Vxj b j + Vxk bk ) + V xj = V xi = + V xk 2A ∂X ∂X ∂X ∂X ∂V y ∂Y 1 ∂V = V yi ∂N j ∂N i ∂N k 1 (V yi ci + V yj c j + V yk ck ) + V yj = + V yk 2A ∂Y ∂Y ∂Y ∂Vy 1 ∂N ∂N j ∂N ∂N ∂N j ∂N k k = Vxi i + Vxj = + V yk + Vxk + V yi i + V yj ξ xy = x + ∂X 2 ∂X ∂Y ∂Y ∂X ∂X ∂Y 2 ∂Y 1 (Vxi ci + Vxj c j + Vxk ck + Vyibi + Vyj b j + Vyk bk ) 4A Vx = Vxi Ni + Vxj N j + Vxk Nk Vy = Vyi Ni + Vyj N j + Vyk Nk Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Całkowanie funkcionalu: ne µe = 1 K pen = 1...1000 ne ( 1 2 2 J = ∑ J e = ∑ µ e H e Ae + K penξ 0 e Ae ie = 1 ie = 1 2 1 Xi 2 Ae = 1 X j 1 Xk Yi Yj = Yk = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk ) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej VAR Programna realizacja Vx : array[1..nh] of real; { Массив скорости Vx } Vy : array[1..nh] of real; { Массив скорости Vy } X : array[1..nh] of real; { Массив координат узлов X } Y : array[1..nh] of real; { Массив координат узлов Y } Ex : array[1..ne] of real; { Массив скорости деформации Ex } program MES_1; Ey : array[1..ne] of real; { Массив скорости деформации Ey } { Exy : array[1..ne] of real; { Массив скорости деформации Exy } Ei : array[1..ne] of real; { Массив интенсивности скорости деформации Ei } Sx : array[1..ne] of real; { Массив напряжений Sx } Sy : array[1..ne] of real; { Массив напряжений Sy } Учебная программа по курсу «Метод конечных элементов» Автор – профессор Миленин А.А. Sxy: array[1..ne] of real; { Массив напряжений Sxy } CopyRight 2002 S0: array[1..ne] of real; { Массив среднего напряжения S0 } [email protected] Status : array[1..nh] of integer; } nop: array[1..3,1..ne] of integer; { Массив –список узлов каждого элемента } USES Crt,Printer; Kpen,M : real; CONST Exe,Eye,Exye,Sxe,Sye,Sxye : real; nh=7; { Число узлов сетки } ne=6; { Число конечных элементов сетки } dVel=0.0001; { Малое приращение скорости } { Массив статусов узлов } { Штрафной множитель и вязкость металла } Ae,bi,ci,bj,cj,bk,ck : real; { Площадь элемента е и коэффициенты } Xi,Yi,Xj,Yj,Xk,Yk { Координаты узлов элемента е } : real; Vxi,Vyi,Vxj,Vyj,Vxk,Vyk : real; { Скорости узлов элемента е } Je,Eie,E0e,S0e : real; { Значение функционала элемента е и др. параметры} JPrev, JNext, Jsum : real; { Вспомогательные переменные } Jp : real; ie,ih : integer; Vxih,Vyih,Vtool : real; Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej BEGIN { Начало главной программы } ClrScr; InputData; REPEAT { Начало итераций по минимизации } Funkcional; Jp:=Jsum; Program główny ClrScr; { Вывод результатов расчета } WriteLn(' Velosity in nodes of FE grid, mm/s'); WriteLn(' =========================='); for ih:=1 to nh do begin { Начало цикла по узлам } if (Status[ih]=0) then begin { Проверка статуса } Vxih := Vx[ih]; Vyih := Vy[ih]; Funkcional; { Расчет функционала (4.75) } Jprev := Jsum; Vx[ih] := Vxih + dVel; { Приращение скорости } Funkcional; { Расчет функционала (4.75) } if (Jprev<Jsum) then Vx[ih] := Vxih - dVel; { Проверка – возрастает или убывает функционал } Funkcional; Jprev := Jsum; Vy[ih] := Vyih + dVel; Funkcional; if (Jprev<Jsum) then Vy[ih] := Vyih - dVel; end; end; Funkcional; GoToXY(30,10); WriteLn('Funkcional = ', Jp:10:6, ' MPa*m2 '); UNTIL (abs(Jp-Jsum)<=0.000001); WriteLn(' I i I Vx I Vy I'); for ih:=1 to nh do begin WriteLn(' I ' ,ih, ' I ', Vx[ih]:7:4, ' I ',Vy[ih]:7:4,' I '); end; WriteLn(' =========================='); ReadLn; ClrScr; WriteLn(' Strains in finite elements 1/s); WriteLn(' ========================='); WriteLn(' I ie I Ex I Ey I'); for ie:=1 to ne do begin WriteLn(' I ',ie,' I ', Ex[ie]:6:4, ' I ',Ey[ie]:6:4,' I '); end; WriteLn(' ========================='); ReadLn; ClrScr; WriteLn(' Stress in finite elements, MPa'); WriteLn(' =========================='); WriteLn(' I ie I Sx I Sy I'); for ie:=1 to ne do begin WriteLn(' I ',ie,' I ', Sx[ie]:7:4, ' I ',Sy[ie]:7:4,' I '); end; WriteLn(' =========================='); ReadLn; END. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Program InputData PROCEDURE InputData; { Процедура ввода исходных данных } BEGIN M:= 1; Kpen := 100; Vup:= - 0.1; Vdown:= 0.1; X[1] :=-1; Y[1] := 1; Status[1]:=1; Vx[1]:=0; Vy[1]:= Vup; X[2] := 1; Y[2] := 1; Status[2]:=1; Vx[2]:=0; Vy[2]:= Vup; X[3] := 1; Y[3] := 0; Status[3]:=0; Vx[3]:=0; Vy[3]:=0; X[4] := 1; Y[4] :=-1; Status[4]:=1; Vx[4]:=0; Vy[4]:= Vdown; X[5] :=-1; Y[5] :=-1; Status[5]:=1; Vx[5]:=0; Vy[5]:= Vdown; X[6] :=-1; Y[6] := 0; Status[6]:=0; Vx[6]:=0; Vy[6]:=0; X[7] := 0; Y[7] := 0; Status[7]:=0; Vx[7]:=0; Vy[7]:=0; nop[1,1]:=1; nop[2,1]:=7; nop[3,1]:=2; nop[1,2]:=7; nop[2,2]:=3; nop[3,2]:=2; nop[1,3]:=3; nop[2,3]:=7; nop[3,3]:=4; nop[1,4]:=7; nop[2,4]:=5; nop[3,4]:=4; nop[1,5]:=7; nop[2,5]:=6; nop[3,5]:=5; nop[1,6]:=6; nop[2,6]:=7; nop[3,6]:=1; END; Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej PROCEDURE Funkcional; Ae := Xj*Yk + Xi*Yj + Yi*Xk - Yi*Xj - Yj*Xk - Xi*Yk; BEGIN Exe := (bi*Vxi + bj*Vxj + bk*Vxk)/(2*Ae); Jsum:=0; Eye := (ci*Vyi + cj*Vyj + ck*Vyk)/(2*Ae); for ie:=1 to ne do begin Exye:=(bi*Vyi + bj*Vyj + bk*Vyk + ci*Vxi + cj*Vxj + ck*Vxk )/(4*Ae); Eie:=(2.0/3.0) * sqrt( Exe*Exe + Eye*Eye - 2*Exe*Eye + 6*Exye*Exye ); Xi := X[ nop[1,ie] ]; E0e := 0.5*(Exe+Eye); Yi := Y[ nop[1,ie] ]; S0e := E0e*K; Xj := X[ nop[2,ie] ]; Sxe := S0e + 1.5*Gs*(Exe-E0e); Yj := Y[ nop[2,ie] ]; Sye := S0e + 1.5*Gs*(Eye-E0e); Xk := X[ nop[3,ie] ]; Sxye := 1.5*Gs*Exye; Yk := Y[ nop[3,ie] ]; Je := 0.5*M*Eie*Eie*abs(Ae) + Kpen*E0e*E0e*abs(Ae); Vxi := Vx[ nop[1,ie] ]; { Расчет функционала по формулам (4.75) } Vyi := Vy[ nop[1,ie] ]; Jsum := Jsum + Je; Vxj := Vx[ nop[2,ie] ]; Ex[ie]:=Exe; Vyj := Vy[ nop[2,ie] ]; Vxk := Vx[ nop[3,ie] ]; Ey[ie]:=Eye; Vyk := Vy[ nop[3,ie] ]; Exy[ie]:=Exye; bi:=Yj-Yk; Ei[ie]:=Eie; Sx[ie]:=Sxe; ci:=Xk-Xj; Sy[ie]:=Sye; bj:=Yk-Yi; Sxy[ie]:=Sxye; cj:=Xi-Xk; S0[ie]:=S0e; bk:=Yi-Yj; ck:=Xj-Xi; end; END; Program Funkcional Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wyniki symulacji µe = 1 K pen = 1000 Vx(1)=0; Vx(2)=0; Vx(3)= 0.0967; Vx(4)=0; Vx(5)=0; Vx(6)= -0.0967; Vx(7)=0; Vy(1)= -0.1000; Vy(2)= -0.1000; Vy(3)= -0.0001; Vy(4)= 0.1000; Vy(5)= -0.0001; Vy(6)=0; Vy(7)=0. Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Wyniki symulacji prezes inne oprogramowanie Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Adaptacja siatki elementów Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Elementy wyŜszego stopnia ∆S j ∆S = ∑ ∆S j Nj 1. Błąd aproksymacji 2. Błąd róŜnickowanja 3σ p σx =σ + ε&x ; 2ε&i ε&x = ∂Vx ∂x DOF = 2*10+7=27 3. Locking Ncond = ne = 30 DOF<Ncond Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Element czworokąty ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy ϕ1 = α1 + α 2 x1 + α 3 y1 + α 4 x1 y1 ϕ 2 = α1 + α 2 x2 + α3 y2 + α 4 x2 y2 ϕ 3 = α1 + α 2 x3 + α 3 y3 + α 4 x3 y3 ∂ϕ ≠ const ∂x ∂ϕ ≠ const ∂y ϕ 4 = α1 + α 2 x4 + α 3 y4 + α 4 x4 y4 Funkcje kształtu ? ϕ = N1ϕ1 + N 2ϕ 2 + N 3ϕ 3 + N 4ϕ 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcje kształtu: ϕ = α1 + α2Х + α3Y Przy Х=Хi , Y=Yi ϕ = ϕi , ⇒ ϕi = α1 + α2Хi + α3Yi; przy Х=Хj , Y=Yj ϕ = ϕj , ⇒ ϕj = α1 + α2Хj + α3Yj, przy Х=Хk, Y=Yk ϕ = ϕk , ⇒ ϕk = α1 + α2Хk + α3Yk [ α1 = 1 (X j Yk − X k Y j )ϕ i + ( X k Yi − X iYk )ϕ j + (X iY j − X j Yi )ϕ k 2A α2 = 1 (Y j − Yk )ϕ i + (Yk − Yi )ϕ j + (Yi − Y j )ϕ k 2A α3 = 1 (X k − X j )ϕ i + ( X i − X k )ϕ j + (X j − X i )ϕ k 2A [ [ ] ] ] 1 Xi 2A = 1 X j 1 Xk Yi Yj = Yk = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Element prostokątny ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy α1 = ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 4 − ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 − ϕ 4 α2 = 4b − ϕ1 − ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 α3 = 4a ϕ1 − ϕ 2 + ϕ 3 − ϕ 4 α4 = 4ab Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy Funkcje kształtu ϕ = N1ϕ1 + N 2ϕ 2 + N 3ϕ 3 + N 4ϕ 4 1 (b − x )(a − y ) 4ab 1 (b + x )(a − y ) N2 = 4ab 1 (b + x )(a + y ) N3 = 4ab N1 = N4 = N1 = 1 (b − x )(a − y ) 4ab 1 (b − x )(a + y ) 4ab Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Funkcje kształtu 1 1 x y 1 ( )( ) N1 = b − x a − y = 1 − 1 − = (1 − ξ )(1 −η ) 4ab 4 b a 4 1 1 x y 1 ( )( ) N2 = b + x a − y = 1 + 1 − = (1 + ξ )(1 −η) 4ab 4 b a 4 1 1 x y 1 ( )( ) N3 = b + x a + y = 1 + 1 + = (1 + ξ )(1 +η ) 4ab 4 b a 4 1 1 x y 1 ( )( ) N4 = b − x a + y = 1 − 1 + = (1 − ξ )(1 +η) 4ab 4 b a 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Odbicie (przekształcenie) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Formuły przekształcenia : x = r cosθ y = r sinθ Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Obliczenie pochodnych: ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂ξ ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η 1 1 ∫ dxdy= ∫ ∫ det Jdξdη S −1 −1 ∂Ni ∂Ni ∂ξ ∂x ∂N = J ∂N i i ∂η ∂y ∂x ∂y ∂ξ ∂ξ J = x y ∂ ∂ ∂η ∂η ∂Ni ∂Ni ∂x −1 ∂ξ ∂N = J ∂N i i ∂η ∂y ∂y ∂y − 1 ∂η ∂ξ −1 J = det J − ∂x ∂x ∂η ∂ξ Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przekształcenie izoparametriczne (1-go stopnia) 1 N1 = (1− ξ )(1−η) 4 1 N2 = (1+ ξ )(1−η ) 4 x= Nnodes ∑N x = N x +N x i i 1 1 2 2 + N3 x3 + N4 x4 1 N3 = (1+ ξ )(1+η) 4 + N3 y3 + N4 y4 1 N4 = (1− ξ )(1+η) 4 i =1 y= Nnodes ∑N y = N y +N y i i i =1 1 1 2 2 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 1 X1 = 1 mm Y1 = 1 mm X2 = 3 mm Y2 = 1 mm X3 = 4 mm Y3 = 4 mm N1 = 1 (1−ξ )(1−η) = 1 16 4 X4 = 0.5 mm Y4 = 4 mm N2 = 1 (1+ ξ )(1−η) = 1 (1+ 0.5)(1− 0.5) = 3 4 4 16 ξB=0.5 ηB=0.5 N3 = 1 (1+ξ )(1+η) = 1 (1+ 0.5)(1+ 0.5) = 9 4 4 16 XB, YB = ? 1 1 3 N4 = (1−ξ )(1+η) = (1− 0.5)(1+ 0.5) = 4 4 16 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1 3 9 3 N1 + N 2 + N 3 + N 4 = + + + = 1 16 16 16 16 xB = N nodes ∑ Ni xi = N1x1 +N 2 x2 + N3 x3 + N 4 x4 = i =1 yB = N nodes 1 3 9 3 1 + 3 + 4 + 0.5 = 2.59375 16 16 16 16 ∑ N i yi = N1 y1 +N 2 y2 + N 3 y3 + N 4 y 4 = i =1 1 3 9 3 1 + 1 + 4 + 4 = 3.25 16 16 16 16 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 2 σ1 = 40 MPa X1 = 1 mm Y1 = 1 mm σ2 = 34 MPa X2 = 3 mm Y2 = 1 mm σ3 = 46 MPa X3 = 4 mm Y3 = 4 mm σ4 = 32 MPa X4 = 0.5 mm Y4 = 4 mm ξB=0.5 ηB=0.5 σB , XB, YB = ? Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B N1 = 1 (1−ξ )(1−η) = 1 16 4 N2 = 1 (1+ ξ )(1−η) = 1 (1+ 0.5)(1− 0.5) = 3 4 4 16 N3 = 1 (1+ξ )(1+η) = 1 (1+ 0.5)(1+ 0.5) = 9 4 4 16 3 1 1 N4 = (1−ξ )(1+η) = (1− 0.5)(1+ 0.5) = 16 4 4 σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4 = 40 3 9 3 1 + 34 + 46 + 32 = 40.75 16 16 16 16 xB = Nnodes ∑ Ni xi = N1x1 +N2 x2 + N3x3 + N4 x4 = 3 9 3 1 1+ 3 + 4 + 0.5 = 2.59375 16 16 16 16 Nnodes 3 9 3 1 1+ 1+ 4 + 4 = 3.25 16 16 16 16 i =1 yB = ∑Ni yi = N1y1 +N2 y2 + N3 y3 + N4 y4 = i =1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Zadanie 3 σ1 = 40 MPa X1 = 1 mm Y1 = 1 mm σ2 = 34 MPa X2 = 3 mm Y2 = 1 mm σ3 = 46 MPa X3 = 4 mm Y3 = 4 mm σ4 = 32 MPa X4 = 0.5 mm Y4 = 4 mm XB=2.5 YB=3.25 σB , ξ B, η B = ? Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4 N1 = 1 (1−ξ )(1−η) 4 N2 = 1 (1+ ξ )(1−η) 4 N3 = 1 (1+ξ )(1+η) 4 N4 = 1 (1−ξ )(1+η) 4 xB = Nnodes ∑ N x = N x +N x i i 1 1 2 2 + N3 x3 + N4 x4 = 2.5 i =1 yB = Nnodes ∑N y = N y +N y + N y + N y i i i=1 1 1 2 2 3 3 4 4 = 3.25 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej xB = Nnodes ∑ Ni xi = N1x1 +N2 x2 + N3x3 + N4 x4 = i =1 = 1 [x1 + x2 + x3 + x4 +ηB (− x1 − x2 + x3 + x4 ) + ξB (− x1 + x2 + x3 − x4 ) + ξBηB (x1 − x2 + x3 − x4 )] 4 yB = Nnodes ∑N y = N y +N y + N y + N y i i i=1 = 1 (1−ξB )(1−ηB )x1 + 1 (1+ ξB )(1−ηB )x2 + 1 (1+ ξB )(1+ηB )x3 + 1 (1−ξB )(1+ηB )x4 = 4 4 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 = (1−ξB )(1−ηB ) y1 + (1+ξB )(1−ηB ) y2 + (1+ξB )(1+ηB ) y3 + (1−ξB )(1+ηB ) y4 = 4 4 4 4 1 [y1 + y2 + y3 + y4 +ηB (− y1 − y2 + y3 + y4 ) +ξB (− y1 + y2 + y3 − y4 ) +ξBηB ( y1 − y2 + y3 − y4 )] 4 1 1 2.5 = [1+ 3 + 4 + 0.5 +ηB (−1− 3 + 4 + 0.5) + ξ B (−1+ 3 + 4 − 0.5) + ξ BηB (1− 3 + 4 − 0.5)] = [8.5 +ηB (0.5) + ξB (5.5) + ξBηB (1.5)] 4 4 3.25 = 1 [1+1+ 4 + 4 +ηB (−1−1+ 4 + 4) + ξB (−1+1+ 4 − 4) + ξBηB (1−1+ 4 − 4)] = 1 [10 + 6ηB + 0ξB + 0ξBηB ] 4 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 3.25 = ηB = 1 [1+1+ 4 + 4 +ηB (−1−1+ 4 + 4) + ξB (−1+1+ 4 − 4) + ξBηB (1−1+ 4 − 4)] = 1 [10 + 6ηB + 0ξB + 0ξBηB ] 4 4 4 ⋅ 3.25 −10 = 0.5 6 1 1 2.5 = [1+ 3 + 4 + 0.5 +ηB (−1− 3 + 4 + 0.5) + ξ B (−1+ 3 + 4 − 0.5) + ξ BηB (1− 3 + 4 − 0.5)] = [8.5 +ηB (0.5) + ξ B (5.5) + ξBηB (1.5)] 4 4 1 2.5 = [8.5 + 0.25 + ξB 2.75 + ξB 0.75] 4 ξB = 4 ⋅ 2.5 − 8.75 = 0.357 3.5 σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Typy elementów skończonych (2-go stopnia) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Typy elementów skończonych (2-go stopnia) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Typy elementów skończonych (2-go stopnia) 1 N1 = − (1 − ξ )(1 −η )(ξ +η + 1) 4 1 N2 = (1 − ξ 2 )(1 −η ) 2 1 N3 = (1 + ξ )(1 −η )(ξ −η − 1) 4 1 N4 = (1 −η2 )(1 + ξ ) 2 1 (1 + ξ )(1 +η)(ξ +η −1) 4 1 N6 = (1 − ξ 2 )(1 +η) 2 1 N7 = − (1 − ξ )(1 +η )(ξ −η + 1) 4 1 N8 = (1 −η2 )(1 − ξ ) 2 N5 = Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1 N1 = − (1 − ξ )(1 −η)(ξ +η + 1) 4 1 N2 = (1 − ξ 2 )(1 −η ) 2 1 N3 = (1 + ξ )(1 −η )(ξ −η − 1) 4 1 N4 = (1 −η2 )(1 + ξ ) 2 1 (1 + ξ )(1 +η)(ξ +η −1) 4 1 N6 = (1 − ξ 2 )(1 +η ) 2 1 N7 = − (1 − ξ )(1 +η )(ξ −η + 1) 4 1 N8 = (1 −η2 )(1 − ξ ) 2 N5 = Przekształcenie izoparametriczne (2-go stopnia) x= Nnodes ∑N x i i i =1 y= Nnodes ∑N y i i i =1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Dyskretyzacja ośrodka za dopomogę przekształcenia 2-go stopnia: Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Określić pole elementu 1 1 X1 = 1 mm Y1 = 1 mm S = ∫ dxdy = X2 = 3 mm Y2 = 1 mm ∂x ∂y ∂ξ ∂ξ J = x y ∂ ∂ ∂η ∂η S X3 = 4 mm Y3 = 4 mm X4 = 0.5 mm Y4 = 4 mm N1 = 1 (1−ξ )(1−η) 4 1 N2 = (1+ ξ )(1−η) 4 1 N3 = (1+ ξ )(1+η) 4 1 N4 = (1−ξ )(1+η) 4 x= Nnodes ∑Ni xi i =1 y= Nnodes ∑N y i i i =1 ∫ ∫ det Jd ξ d η −1 −1 ∂x ∂y ∂y ∂x det J = − ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Określić pole elementu ∂x ∂y ∂y ∂x det J = − ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η x= Nnodes ∑N x = N x + N x i i 1 1 2 2 + N3 x3 + N4 x4 i =1 ∂x x1 1 x2 1 = (1− ξ )(1−η ) + (1+ ξ )(1−η ) + ∂ξ ∂ξ 4 ∂ξ 4 x3 1 x4 1 + (1+ ξ )(1+η ) + (1−ξ )(1+η ) = ∂ξ 4 ∂ξ 4 1 1 1 = x1 − (1−η ) + x2 (1−η ) + x3 (1+η ) + 4 4 4 1 + x4 − (1+η ) 4 N1 = 1 (1−ξ )(1−η) 4 N2 = 1 (1+ ξ )(1−η) 4 N3 = 1 (1+ξ )(1+η) 4 N4 = 1 (1−ξ )(1+η) 4 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Całkowanie numeryczne funkcjonału: 2 2 1 1 N nodes N nodes ∂ U ∂ ∂Ni ∂ 1 U L N y 2 x i U xi + ∑ U yi det Jdξdη ∫V ε 0 dV = 2 L∫S ∂x + ∂y dS = 2 −∫1 −∫1 ∑ i =1 ∂x i =1 ∂y ∂x ∂y ∂ξ ∂ξ J = x y ∂ ∂ ∂η ∂η x= Nnodes ∑N x i i i =1 y= Nnodes ∑N y i i i =1 ∂x ∂y ∂y ∂x det J = − ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Całkowanie numeryczne : 2 2 1 1 N nodes N nodes U ∂ U N ∂ ∂ ∂Ni 1 L y 2 x i U xi + ∑ U yi det Jdξdη ∫V ε 0 dV = 4 L∫S ∂x + ∂y dS = 4 −∫1−∫1 ∑ i =1 ∂x i =1 ∂y ∂Ni ∂Ni ∂x −1 ∂ξ ∂N = J ∂N i i ∂η ∂y 1 ∂N i ∂y ∂N i ∂y ∂N i = − ∂x det J ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂y ∂y − 1 ∂η ∂ξ −1 J = det J − ∂x ∂x ∂η ∂ξ 1 ∂N i = ∂y det J ∂N i ∂x ∂N i ∂x − ∂ξ ∂η + ∂η ∂ξ Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 2 2 1 1 Nnodes Nnodes U ∂ 1 U L N ∂ ∂Ni ∂ y 2 i x U xi + ∑ U yi det Jdξdη = ∫V ε0 dV = 4 L∫S ∂x + ∂y dS = 4 −∫1−∫1 ∑ i =1 ∂x i =1 ∂y 1 1 Np Np −1 −1 i =1 j =1 = ∫ ∫ f (ξ ,η)dηdξ = ∑Wi ∑Wj f (ξi ,η j ) Całkowanie numeryczne Gaussa: W1 =W2 = 1 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Całkowanie numeryczne Gaussa: 5 W1 = W3 = 9 8 W2 = 9 Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej Przykład wykorzystania MES do optymalizacji technologii Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 1 etap technologji 20 MN Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 50 MN (a) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 50 MN (b) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 100 MN Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 20 MN Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 50 MN (b) Metoda Elementów Skończonych Milenin Andrzej 100 MN