Zestaw 05

Ćwiczenia do wykładu Zjawiska falowe
Grupa 2, poniedziałek g. 14-16
Grupa 3, czwartek g. 8-10
Zestaw 5
Zadanie 1
Wykaż, że rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego
1 ∂ 2 u(x, t)
∂ 2 u(x, t)
= 2
2
∂x
v
∂t2
jest dowolna kombinacja liniowa typu c1 f1 (x − vt) + c2 f2 (x + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) są dwukrotnie
różniczkowalne. Jaki jest sens fizyczny obu składników?
Zadanie 2
Równanie falowe w trzech wymiarach ma następującą postać:
∆u(~x, t) =
1 ∂ 2 u(x, t)
.
v2
∂t2
Jaki musi być związek między wielkościami ω, ~k i v, by u(~x, t) = f (~k·~x −ωt) , (~k 6= 0) było rozwiązaniem tego
równania? Zakładamy, że funkcja jednej zmiennej f (z) jest dwukrotnie różniczkowalna. Operator Laplace’a
∂2
∂2
∂2
(laplasjan) ma postać ∆ = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2 .
Zadanie 3
W niektórych zagadnieniach rozważany układ charakteryzuje się jakimś rodzajem symetrii. W szczególności może to być symetria sferyczna. Wygodniej jest wtedy rozważać równanie falowe we współrzędnych
sferycznych. Zatem, wyrażając laplasjan we współrzędnych sferycznych

 x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ ,

z = r cos θ
gdzie r ­ 0, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π, otrzymujemy
∂
∂2u
1 ∂
1
∂u
1
2 ∂u
∆u = 2
.
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
Stąd lewa strona naszego trójwymiarowego równania falowego będzie miała powyższą postać, prawa strona
pozostaje bez zmian.
Wykaż, że możemy niezależne od θ i φ, czyli sferycznie symetryczne, rozwiązania równania falowego
zapisać w postaci c1 1r f1 (r − vt) + c2 1r f2 (r + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) są dwukrotnie różniczkowalne.
Jaki jest sens fizyczny obu składników?
Zadanie 4
Innym rodzajem symetrii jest symetria walcowa, gdy w odróżnieniu od sytuacji rozważanej w poprzednim
zadaniu istnieje jakiś wyróżniony kierunek. Wtedy, korzystne jest stosowanie współrzędnych walcowych.
Laplasjan we współrzędnych walcowych (cylindrycznych)

 x = ρ cos φ
y = ρ sin φ ,

z = z0
gdzie ρ ­ 0, 0 < φ < 2 π, z 0 ∈ R, ma postać
1 ∂
∆u =
ρ ∂ρ
∂u
1 ∂2u
∂2u
ρ
+ 2
+
.
∂ρ
ρ ∂φ2
∂z 0 2
Rozważmy następującą funkcję niezależną od φ i z 0
A
w(ρ, t) = √ sin(kρ − ωt),
ρ
gdzie A jest wielkością stałą. Czy w(ρ, t) spełnia równanie falowe
∆w −
1 ∂2w
= 0?
v 2 ∂t2
Zadanie 5
Rozważmy interferencję dwóch skalarnych fal harmonicznych o równych częstościach
f1 (~r, t) = A1 cos ~k1 · ~r − ωt + 1
f2 (~r, t) = A2 cos ~k2 · ~r − ωt + 2
Wylicz średnią po okresie T (T =
2π
ω )
1
I(x, y, z) ≡
T
ZT
(f1 + f2 )2 dt.
0
Przyjmując, że A1 =2, A2 =1, ~k1 = (1, 2, 1), ~k2 = (0, 1, 3), 1 =0, 2 =
dla x ∈ [−4, 4] i y ∈ [−4, 4].
π
3
proszę narysować I(x, y, z = 0)
Zadanie 6
Rozważmy interferencję dwóch wektorowych fal harmonicznych o równych częstościach
~ 1 cos ~k1 · ~r − ωt + 1
f~1 (~r, t) = A
~ 2 cos ~k2 · ~r − ωt + 2
f~2 (~r, t) = A
Wylicz średnią po okresie T (T =
2π
ω )
1
I(x, y, z) ≡
T
ZT f~1 + f~2
2
dt.
0
Piotr Cyganik
Jakub S. Prauzner-Bechcicki