Wykład 5

Wykład 5
2.3.3 Ruch po okręgu
2.3.4 Ruch harmoniczny
04.10.19
Reinhard Kulessa
1
2.3.3 Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego.
Początek układu współrzędnych wybieramy w środku koła, po
którym odbywa się ruch. Położenie punktu na na kole możemy
podać jednoznacznie przez podanie kąta biegunowego ϕ.
y
Ruch ciała określony jest przez
funkcję ϕ = ϕ(t), definiująca tzw.
drogę kątową.
r
ϕ s
Jeśli przez s oznaczymy drogę,
x
którą ciało przebyło po okręgu w
czasie gdy przebyło ono drogę
kątową ϕ, to
. (2.15)
s =ϕ ⋅ r
Różniczkując to równanie obustronnie, otrzymujemy;
04.10.19
Reinhard Kulessa
2
ds dϕ
=
⋅r
.
dt dt
v =ω ⋅r
(2.16)
v oznacza prędkość liniową(transwersalną), a ω prędkość
kątową. Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa ω=const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując równanie (2.16) po czasie, otrzymujemy;
dv dω
=
⋅r
dt
dt
at = α ⋅ r
.
(2.17)
Pamiętamy, że at jest liniowym przyśpieszeniem stycznym, a
α nazywamy przyśpieszeniem kątowym.
04.10.19
Reinhard Kulessa
3
Przypomnijmy sobie rysunek, na którym przedstawiliśmy
rozłożenie przyśpieszenia na dwie składowe, styczną i
normalną do toru.
W oparciu o wzór
^i
at
(1.16), wiedząc, że nasz
t
ruch jest ruchem po okręgu
^in
o promieniu r, z prędkością
liniową v, możemy na
przyśpieszenie normalne
a
an
napisać wyrażenie:
G v2 ˆ
an = in = ω 2 r iˆn . (2.18)
r
Przyspieszenie to nazywamy przyśpieszeniem
dośrodkowym i posiada ono wartość liczbową równą
an = ω2 r.
04.10.19
Reinhard Kulessa
4
Prędkość kątową możemy traktować jako wektor ω
skierowany prostopadle do płaszczyzny zataczanego okręgu.
Zwrot tego wektora jest dany przez regułę śruby prawej tak,
G G G .
że zachodzi związek:
(2.19)
v =ω×r
z
ω
y
r
x
v
Korzystając ze wzoru (2.19)
policzmy przyśpieszenie a.
G
G
G
G dv dω G G dr
a=
=
×r +ω ×
(2.20)
dt
dt
dt
G G G
a = at + a n
Pochodną po czasie prędkości kątowej jest przyśpieszeniem
G
kątowym α.
G dω
α=
04.10.19
Reinhard Kulessa
dt
5
Występującą we wzorze (2.19) prędkość kątową możemy
zdefiniować przez drogę kątową dϕ.
Obrotowi o kąt dϕ przypisujemy wektor
dϕ o kierunku zgodnym z regułą śruby
prawoskrętnej.
ω0
dϕ
Z wzoru (2.16) mamy, że
dϕ
ϕ
r
dr=d ϕ x r
dϕ
ω =
dt
G dϕ G
ω =
ω0
dt
Wektor prędkości kątowej jest pseudowektorem (wektorem
osiowym) . Zmienia on zwrot przy odbiciu. Pseudowektory nie
mają punktu zaczepienia. Przy ich dodawaniu nie spełnia się
zasada przemienności.
04.10.19
Reinhard Kulessa
6
Wektor przyśpieszenia kątowego jest równoległy do
prędkości kątowej.
W górnej linijce wzoru (2.20) mamy dwie składowe. Pierwsza z
nich przedstawia przyśpieszenie styczne, a druga przyspieszenie
normalne.
G
G dω G G G
(2.21)
×r =α ×r
a =
t
dt
Wartość liczbową przyśpieszenia stycznego podaliśmy we
wzorze (2.17).
α
ω
at
r
v
04.10.19
Drugi składnik we wzorze
(2.20) oznaczający
przyśpieszenie normalne jest
⊥ do ω i v.
Reinhard Kulessa
7
Jest to znane nam już przyśpieszenie dośrodkowe.
G
G
G dr G G
an = ω ×
=ω×v
dt
(2.22)
Jest ono skierowane do środka koła wzdłuż promienia r.
α
ω
an
r
v
Policzmy wartość tego przyśpieszenia korzystając ze wzoru
(2.19). Mamy wtedy
G
G G G .
an = ω × (ω × r )
04.10.19
Reinhard Kulessa
(2.23)
8
Wykorzystując tożsamość dotyczącą potrójnego iloczynu
wektorowego, otrzymujemy:
G G G G G G G G G
2G .
(2.23a)
ω ×(ω × r ) = ω (ω ⋅ r ) − r (ω ⋅ω) = −ω r
0
Widać więc wyraźnie, że przyśpieszenie normalne jest
skierowane do środka okręgu, czyli słusznie nazywa się
przyśpieszeniem dośrodkowym.
Dla ruchu po okręgu ważne są wszystkie zależności otrzymane
do tej pory dla ruchu jednostajnie zmiennego. Musimy jednak
zastąpić prędkość liniową prędkością kątową, a drogę liniową,
drogą kątową.
x
ϕ =
r
04.10.19
Reinhard Kulessa
9
Wyrażenia na prędkość liniową i prędkość kątową są następujące:
v ( t ) = v 0 + at
rω (t ) = rω 0 + rα t .
ω (t ) = ω 0 + α t
(2.24)
Wyrażenia na drogę i drogę kątową są następujące:
1
x ( t ) = x 0 + v 0 t + at 2
2
1
ϕ (t ) = ϕ 0 + ω 0t + α t 2
2
.
(2.25)
Wyrażenia na kwadrat prędkości liniowej i kątowej sa następujące:
v 2 = v02 + 2a( x − x0 )
r 2ω 2 = r 2ω02 + 2rα (rϕ − rϕ0 ) .
ω 2 = ω02 + 2α (ϕ − ϕ0 )
04.10.19
Reinhard Kulessa
10
Zdefiniujmy sobie jeszcze ruch jednostajny po okręgu. Dla
takiego ruchu
ω = const , α = 0, at = 0
a = an
Podczas ruchu zmienia się kierunek prędkości, ale wartość
prędkości pozostaje stała.
Okresem ruchu po okręgu w ruchu jednostajnym nazywamy
czas potrzebny na przebycie drogi ϕ = 2π.
2π
ω=
T
.
(2.26)
Odwrotność okresu nazywamy częstością:
ν = 1 → ω = 2π ν
T
04.10.19
Reinhard Kulessa
.
(2.27)
11
W ruchu jednostajnie przyśpieszonym po okręgu mamy
α = dω
dt
= const
G G
→ at = α × r = const ,
a przyśpieszenie normalne
an = ω 2 r = α 2 r t 2 .
(2.28)
Przykład zastosowania ruchu obrotowego:
Pomiar prędkości pocisku:
α
ω
L
04.10.19
v = L/∆t
ω = α/∆t
Reinhard Kulessa

L·ω
v=
α
12
2.3.4 Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny jest szczególnym przykładem ruchów
periodycznych. Są nimi przykładowo:
• huśtawka dziecinna
• przypływy i odpływy
• cykliczne powtarzanie się
nocy i dnia
ϕ : przemieszczenie kątowe
ω : prędkość kątowa
t : czas
ϕ = ωt
r : promień koła,
amplituda
y(t) = r sin(α) =r sin(ωt)
Rozważmy animację
przedstawiającą ruch
punktu po okręgu i rzut tego
ruchu na jedną z osi.
04.10.19
Reinhard Kulessa
13
W podobny sposób można rozważać rzut punktu
poruszającego się po okręgu na os x.
Można również powiedzieć, że ruch po okręgu jest
złożeniem dwóch prostoliniowych ruchów w kierunku osi x i
osi y.
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
y
r
ϕ
x
Wiemy, że ω = ϕ/t, czyli ϕ = ωt.
x = r cos ω t
y = r sin ω t
Widać więc, że:
04.10.19
Reinhard Kulessa
x +y =r
2
2
2
.
14
Każdy z tych dwóch ruchów, czyli w kierunku x i w
kierunku y nazywamy drganiem harmonicznym.
W pierwszym przybliżeniu można powiedzieć, że ruchy
następujących ciał są również ruchami harmonicznymi.
04.10.19
Reinhard Kulessa
15
Minimum
Amplituda
Amplituda
04.10.19
Reinhard Kulessa
16
Słynny most w TACOMA
1940
1950
04.10.19
Reinhard Kulessa
17
Wróćmy do opisu matematycznego ruchu harmonicznego.
Równanie ruchu harmonicznego wygląda w
następujący sposób:
x(t ) = A cos(ω t + ϕ 0 ) . (2.29)
Prędkość wynosi:
dx(t )
= − Aω sin(ω t + ϕ 0 ) .
dt
Przyśpieszenie wynosi:
d 2 x(t)
2
2
A
t
x.
=
−
ω
ω
+
ϕ
=
−
ω
cos(
)
0
2
dt
04.10.19
Reinhard Kulessa
18
Amplituda ruchu harmonicznego jest rozwiązaniem
następującego równania różniczkowego;
d 2 x (t )
2
+
ω
x=0
2
dt
.
2
x + ω x = 0
(2.30)
W oparciu o ostatnie równanie możemy powiedzieć, że
ruch w którym przyśpieszenie jest proporcjonalne do
wychylenia nazywamy ruchem harmonicznym.
Zastanówmy się w jaki sposób prędkość zależy do
wychylenia.
dx
v = = −Aω sin(ω t +ϕ) = −Aω 1− cos2 (ω t +ϕ) =
dt
= −ω A2 − A2 cos2 (ω t +ϕ) = −ω A2 − x2 .
04.10.19
Reinhard Kulessa
19
Poniższy rysunek przedstawia zależność
prędkości od wychylenia.
v
+A/ω x
A·ω
04.10.19
Reinhard Kulessa
20