LISTA 2
Transkrypt
LISTA 2
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4 POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 2 – Równania i nierówności Zad.1 Dane jest równanie kwadratowe x2 + kx + 2k − 3 = 0, gdzie k ∈ R. Dla jakich wartości parametru k równanie to ma dwa różne pierwiastki ujemne? Zad.2 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y takich, że |x| = 6 |y|, prawdziwa jest nierówność (x−y)(x3 +y 3 ) (x+y)(x3 −y 3 ) > 31 . Zad.3 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie k 2 x − 1 = x(3k − 2) − k ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych. Zad.4 Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: |x+5|+|x−2| > 7. Zad.5 Określ liczbę rozwiązań równania mx2 + mx − 1 − 2m = 0, gdzie x ∈ h−2, 2i, w zależności od wartości parametru m ∈ R. Zad.6 Rozwiąż równanie: (x2 − 3x)(x2 − 3x + 2) + 1 = 0. Zad.7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 − 4mx − m3 + 6m2 + m − 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że (x1 − x2 )2 < 8(m + 1). Zad.8 Wykaż, że wśród rozwiązań równania |x + 2| − |x − 4| = 6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną. Zad.9 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W (x) = x3 + ax2 + bx + 1 wiedząc, że W (2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez (x − 3) jest równa 10. Zad.10 Rozwiąż nierówność 1 x(x+1) + 1 (x+1)(x+2) + 1 (x+2)(x+3) 60 Zad.11 Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych x i y spełniających równanie: xy − 3y = 3. Zad.12 Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 15. Pierwsza cyfra jest o 5 mniejsza od drugiej cyfry, która jest o 4 większa od trzeciej. Wyznacz tę liczbę. Zad.13 Określ liczbę rozwiązań równania m2 − 2x = 1 + kx w zależności od parametrów m i k. Zad.14 Bezwzględna wartość różnicy dwóch liczb jest równa 2. Suma kwadratów tych liczb jest o 26 większa od ich sumy. Wyznacz te liczby. Zad.15 Rozwiąż nierówność: x2 4+9x2 6 1 . 12 Zad.16 Dwie cyfry, wstawione w tej samej kolejności między cyfry licznika i między cyfry mianownika ułamka 34 , 67 nie zmieniły wartości tego ułamka. Wyznacz te cyfry. Zad.17 Rozwiąż nierówność: |x − 1| + x > 2. ( |x| + 1 = y Zad.18 Rozwiąż układ równań: x − 2y = −5. Zad.19 Niech x1 , x2 oznaczają miejsca zerowe trójmianu kwadratowego f (x) = ax2 + bx + c. Określ znaki współczynników tego trójmianu wiedząc, że: f (0) = 3, x1 > 0, x2 > 0. Zad.20 Ułóż równanie kwadratowe takie, aby suma pierwiastków równania była równa 2 oraz, aby suma kwadratów pierwiastków była równa 16.