zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

1. Zasada szufladkowa
Z. 1. Uzasadnij, że wśród dowolnych 14 liczb naturalnych znajdziemy dwie, które przy dzieleniu przez
13 dają tę samą resztę.
Z. 2. Kabel długości 100cm tniemy dowolnie na 6 części. Zakładamy przy tym, że długości wyrażają
się są całkowitą liczbą centymetrów.
a) Uzasadnić, że zawsze któraś z części będzie miała przynajmniej 17 cm.
b) Czy zawsze musi powstać część dłuższa niż 17 cm ?
Z. 3. Pokazać, że dwa dowolne prostopadłościany można ułożyć jeden na drugim tak, aby nic nie
wystawało.
Z. 4. Uzasadnć, że wśród pięciu punktów
wybranych wewnątrz kwadratu wielkości 2 × 2 zawsze są
√
dwa punkty odległe o nie więcej niż 2.
Z. 5. Pokaż, że wśród 10 punktów rzuconych na trójkąt równoboczny o boku 1 znajdziemy dwa w
odległości nie większej niż 1/3.
Z. 6. Pokazać, że wśród 21 studentów zdających egzamin zawsze znajdziemy sześciu, którzy otrzymali
tę samą ocenę. (Skala ocen: 2,3,4,5.)
Z. 7. Studenci zdają 3 egzaminy. Możliwe oceny to 3,4,5. Ilu musi być studentów, abyśmy mieli
pewność, że przynajmniej 10 studentów zaliczy egzaminy z takimi samymi „zestawami” ocen ? Proszę
to zrobić w dwóch wersjach: ważne jest/nie jest ważne z jakiego egzaminu pochodzą oceny.
Z. 8. Maszyna generuje ciągi binarne długości d w sposób, którego nie znamy. Ile ciągów trzeba
wygenerować, aby mieć pewność, że wśród nich będą przynajmniej trzy takie same ? Po znalezieniu
odpowiedniej liczby prosze uzasadnić, że mniejsza nie wystarcza.
Z. 9. Mamy cztery gatunki kwiatów: róże, tulipany, żonkile i frezje. Z kwiatów tych robimy bukiety.
Ile co najmniej kwiatów w musi być w bukiecie, aby mieć pewność, że są w nim przynajmniej trzy
kwiaty tego samego gatunku?
Z. 10. W bębnie maszyny losującej znajdują się liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe. Ile przynajmniej
liczb musimy wylosować, aby mieć pewność, że wylosujemy co najmniej trzy liczby o tej samej liczbie
cyfr?
Z. 11. W zawodach bierze udział n drużyn. Mecze rozgrywane są przez kilka dni, o różnych porach.
Uzasadnij, że w każdym momencie zawodów znajdą się dwie drużyny, które rozegrały do tej pory tę
samą liczbę meczy.
Z. 12. Udowodnić, że wybierając n + 1 liczb spośród 1, 2, 3, . . . , 2n, wśród wybranych liczb zawsze
znajdziemy dwie, z których jedna dzieli drugą.
Z. 13. Wybierzmy dowolnie 10 różnych liczb naturalnych a1 , a2 , . . . , a10 spośród 1, 2, 3, . . . , 100. Pokazać, że w zbiorze {a1 , a2 , . . . , a10 } można wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę.
Z. 14. Udowodnić, że po dowolnym rozłożeniu n kulek do k szuflad znajdziemy szufladę, w której jest
przynajmniej dn/ke kulek.
Z. 15. Udowodnić, że w każdej szufladzie, w której jest 20 sztućców, znajdziemy 7 łyżek, lub 10 noży,
lub 5 widelców.
Z. 16. Znaleźć najmniejszą liczbę połączeń między 8 komputerami i 4 drukarkami, gwarantującą,
że każda czwórka komputerów będzie miała bezpośredni dostęp do czterech różnych drukarek (bez
konfliktu dostępu).
Z. 17. Znaleźć najdłuższy podciąg rosnący i najdłuższy podciąg malejący w ciągu 22, 5, 7, 2, 23, 10,
15, 21, 2, 17.
Z. 18. Ustawić wszystkie liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4} w taki ciąg, w którym nie ma podciągu malejącego
ani rosnącego długości 3. Czy jest to mozliwe dla 5 liczb ?
Z. 19. Ustawić wszystkie liczby ze zbioru {1, . . . , 9}, w taki ciąg, w którym nie ma podciągu malejącego
ani rosnącego długości 4.
Z. 20. Pokazć, że spośród dowolnych n4 +1 klocków (prostopadłościanów) można wybrać n+1 i ułożyć
z nich „monotoniczną” wieżę, tzn. wieże, która prześwietlona od góry daje obraz zagnieżdżających się
prostokątów.
1
2
Z. 21. a) Czy wśród pięciu osób zawsze znajdzie się trójka znajomych (tzn. każdy zna każdego) lub
trójka nieznajomych ?
b)(∗) a wśród sześciu ?
Z. 22. (∗) Wewnątrz kwadratu o boku 1 umieszczono 51 punktów. Uzasadnij, że znajdziemy wśród
nich trzy różne, które leżą w kole o promieniu 1/7.
Z. 23. (∗) Każdy punkt okregu malujemy na biało lub czarno.
a) Czy zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta równobocznego ?
b) Pokaż, że zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego ?
Z. 24. (∗) W turnieju szachowym bierze udział 10 zawodników. Rozgrywki toczą się w miastach A
i B. Zawodnicy grają partie każdy z każdym. Udowodnij, że na końcu turnieju na pewno znajdziemy
trzy osoby, które rozegrały wszystkie partie między sobą w mieście A lub cztery osoby, które rozegrały
wszystkie partie między sobą w mieście B.