analiza elementów konstrukcyjnych wykonanych ze

analiza elementów konstrukcyjnych wykonanych ze

MARIUSZ RUCHWA
Politechnika Koszalińska
ANALIZA ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH
WYKONANYCH ZE SPIENIONYCH METALI
1. WPROWADZENIE
Na wzór rozwiązań natury, człowiek wykorzystuje w swojej działalności wiele
rodzajów materiałów porowatych. Znajdują one zastosowanie równieŜ w budownictwie,
są to m.in. pianobeton, beton komórkowy (gazobeton), róŜne rodzaje pianek i gąbek z
tworzyw sztucznych. Wśród tych materiałów szczególną i dosyć mało
rozpowszechnioną grupę stanowią piany metaliczne.
Spienione metale wykazują wiele korzystnych cech w stosunku do metali
wyjściowych, wśród których moŜna wymienić: niską gęstość, korzystny stosunek
sztywności do gęstości, niską przewodność cieplną, wysoką odporność na szoki cieplne
i odporność poŜarową, korzystny poziom pochłaniania energii mechanicznej oraz
akustycznej, łatwą obróbkę oraz moŜliwość recyclingu [7]. Porównanie podstawowych
właściwości metalu wyjściowego oraz piany pokazano w tabeli 1., na przykładzie stopu
aluminium AW-5754 H111 i wytwarzanej z tego samego materiału piany o gęstości
wynoszącej 8% gęstości stopu.
Tabela 1. Podstawowe właściwości stopu AW-5754 H111 i spienionego aluminium
Table 1. Basic properties of aluminum alloy AW-5754 H111 and aluminum foam
Właściwości
materiału
gęstość [kg/m3]
moduł Younga [GPa]
moduł Kirchhoffa [GPa]
wytrzymałość na rozciąganie [MPa]
granica plastyczności [MPa]
współczynnik rozszerzalności cieplnej [1/K]
przewodność cieplna [W/(m×K)]
aluminium
AW-5754 H111
2660
68
26
215
80
0,000024
147
piana
aluminiowa
250
0,70
0,30
1,60
1,50
0,0000234
9,7
Mimo wielu zalet, piany metaliczne bardzo wolno wkraczają w obszar zastosowań
w budownictwie. Najczęściej moŜna się spotkać z zastosowaniem pian metalicznych
jako materiałów wykończeniowych, detali architektonicznych i dekoracyjnych, chociaŜ
wytwarzane są równieŜ lekkie elementy konstrukcyjne w postaci płyt warstwowych
oraz prętów cienkościennych z pianowym wypełnieniem. Elementy takie mogą być
wykorzystane m.in. do podwyŜszenia sztywności konstrukcji naraŜonych na utratę
stateczności oraz jako struktury zabezpieczające przed obciąŜeniami udarowymi, w
szczególności jako elementy zabezpieczeń drogowych [6, 7].
2. OPIS MATEMATYCZNY WŁAŚCIWOŚCI SPIENIONYCH METALI
Konstrukcyjne zastosowanie spienionych metali jest związane z koniecznością
prawidłowego modelowania matematycznego właściwości mechanicznych tych
materiałów. Z uwagi na sposób deformacji materiału, wymagany jest nieliniowy opis
konstytutywny w przestrzeni duŜych przemieszczeń oraz duŜych odkształceń. Na
rysunku 1. przedstawiono zaleŜność pomiędzy odkształceniem i napręŜeniem,
dotyczącą jednoosiowego testu ściskania aluminiowej piany (jak w tabeli 1.).
2,4E+07
2,0E+07
1,6E+07
σ [Pa]
1,2E+07
8,0E+06
4,0E+06
0,0E+00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
ε
1,00
1,20
1,40
pl
Rys. 1. Wykres zaleŜności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem plastycznym i
napręŜeniem Cauchy’ego, w przypadku jednoosiowego ściskania spienionego
aluminium (aproksymacja wyników doświadczalnych)
Fig. 1. True plastic strain – Cauchy stress relationship, for uniaxial compression aluminum
foam (approximation of experimental data).
Istnieje wiele modeli matematycznych materiałów piankowych, a w szczególności
spienionych metali [1, 4, 5], jednak z inŜynierskiego punktu widzenia szczególnie
uzasadnione jest stosowanie makroskopowego opisu spręŜysto-plastycznego. Nie
oznacza to jednak moŜliwości stosowania klasycznego ujęcia dotyczącego
plastyczności metali, lecz dostosowanego do specyficznych cech materiału, związanych
z jego ściśliwością, duŜym zakresem odkształceń oraz zagęszczaniem materiału.
Dobrym przykładem modelu materiałowego, który moŜe być stosowany w analizie
spienionych metali jest model opracowany przez V.S. Deshpande i N.A. Fleck [3], w
którym zastosowano, w fazie spręŜystej – typowy, liniowy opis, natomiast w fazie
plastycznej zmienione równanie powierzchni płynięcia, niestowarzyszone prawo
płynięcia oraz dwa warianty wzmocnienia plastycznego. Równanie powierzchni
płynięcia (Rys. 2.) i jednocześnie warunek płynięcia jest opisany jako
F = q 2 + α 2 p2 − α pc = 0 ,
(1)
gdzie:
α – współczynnik kształtu powierzchni płynięcia na płaszczyźnie p-q,
p – napręŜenie hydrostatyczne,
pC – napręŜenie hydrostatyczne plastycznego płynięcia podczas
hydrostatycznego ściskania,
q – napręŜenie zastępcze Hubera-Misesa-Hencky’ego.
Współczynnik kształtu powierzchni płynięcia (α) jest określony przez zaleŜności
α=
3k
9 − k2
, k=
σ 0c
p 0c
,
(2)
w których σ 0c i p 0c oznaczają odpowiednio wartości początkowe napręŜeń plastycznych
przy ściskaniu jednoosiowym i trójosiowym.
Rys. 2. Powierzchnie płynięcia oraz potencjał plastyczny modelu kruchej piany z
izotropowym wzmocnieniem na płaszczyźnie napręŜeń p-q.
Fig. 2. Yield surface and flow potential of crushable foam model in the p-q stress plane.
Funkcja potencjału plastycznego jest przedstawiona w postaci równania
G = q 2 + β2 p 2 ,
(3)
natomiast współczynnik β określający kształt elipsy potencjału plastycznego na
płaszczyźnie p-q jest zaleŜny od plastycznego współczynnika Poissona (νP)
β=
3
1 − 2 νp
2
1 + νp
.
(4)
1,2E+07
1,0E+07
8,0E+06
q [Pa]
6,0E+06
4,0E+06
2,0E+06
0,0E+00
0
0,2
0,4
0,6
0,8
ε
1
1,2
1,4
Rys. 3. Wykres zaleŜności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem i napręŜeniem
Cauchy’ego uzyskany w analizie MES jednoosiowego ściskania spienionego
aluminium
Fig. 3. True strain – Cauchy stress relationship, for uniaxial compression of aluminum foam
(FEM analysis).
2,0E+06
1,6E+06
1,2E+06
q [Pa]
8,0E+05
4,0E+05
0,0E+00
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
ε
Rys. 4. Wykres zaleŜności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem i napręŜeniem
Cauchy’ego uzyskany w analizie MES jednoosiowego rozciągania spienionego
aluminium
Fig. 4. True strain – Cauchy stress relationship, for uniaxial tension of aluminum foam
(FEM analysis).
Uzupełniającym elementem modelu jest opis wzmocnienia, uwzględniający
ewolucję przedstawionej równaniem 1. powierzchni płynięcia. Wzmocnienie moŜe być
zastosowane w wariancie objętościowym, dobrze opisującym zachowanie pian
syntetycznych, lub izotropowym, analogicznym do opisu wzmocnienia w metalach i
właściwym w opisie umocnienia pian metalicznych.
W przypadku zastosowania modelu Deshpande-Fleck do opisu właściwości
aluminiowej piany o parametrach według tabeli 1., z uwzględnieniem izotropowego
wzmocnienia o przebiegu zgodnym z rysunkiem 1., otrzymamy, stosując implementację
modelu do nieliniowej analizy Metodą Elementów Skończonych (MES) [2], zaleŜność
pomiędzy odkształceniem i napręŜeniem zilustrowaną wykresem przedstawionym na
rysunku 3. (przy ściskaniu) oraz w postaci zaprezentowanej na rysunku 4. (przy
rozciąganiu). Uzyskane przebiegi zaleŜności odkształcenie - napręŜenie są zgodne z
wynikami doświadczalnymi zamieszczonymi w pracy [3].
W wielu praktycznych analizach model Deshpande-Fleck moŜe wymagać
uzupełnienia o dodatkowy opis uwzględniający zniszczenie materiałowe, bądź w
przypadku analiz dynamicznego oddziaływania o uwzględnienie wpływu prędkości
odkształcenia na zmianę właściwości materiału.
Model konstytutywny Deshpande-Fleck stanowi element biblioteki materiałowej
w znanym programie analizy MES - ABAQUS [1], w którym występuje pod nazwą
Crushable foam plasticity model. Analogicznym modelem w programie LS-DYNA [4],
o podobnym opisie matematycznym, jest model Bilkhu/Dubois Foam (oznaczony w
bibliotece programu jako Material Model 75) [4, 5].
3. PRZYKŁADY ANALIZ NUMERYCZNYCH
Przedstawione przykłady analiz numerycznych dotyczą piany aluminiowej
wytwarzanej na bazie stopu aluminium AW-5754 H111 o gęstości wynoszącej 8%
gęstości stopu, modelowanej przy pomocy opisu Deshpande-Fleck z izotropowym
wzmocnieniem plastycznym (Rys. 1.).
Analizy wykonano Metodą Elementów Skończonych, stosując strategię obliczeń
typu quasi-static [2], z uwagi na silnie nieliniowy charakter procesu deformacji
materiału, przy zastosowaniu programu ABAQUS/Explicit [1].
3.1. ŚCISKANIE SZEŚCIENNEJ PRÓBKI MATERIAŁU
Przykład dotyczy symulacji numerycznej jednego z podstawowych testów
doświadczalnych, jakim jest ściskanie osiowe sześciennej próbki materiału. Przyjęto
model fizyczny próbki przedstawiony na rysunku 5., w którym próbka jest ściskana
przez nieodkształcalne płyty w zakresie obciąŜeń od 0 do 7,0 MPa. W modelu
numerycznym wykorzystano symetrię i ograniczono się do analizy 1/8 modelu, co
równieŜ jest uwidocznione na rysunku 5. Podczas ściskania zostało uwzględnione tarcie
materiału o płyty oraz dwa warianty opisu właściwości materiałowych – model kruchej
pianki (Deshpande-Fleck) oraz klasyczny model spręŜysto-plastyczny, stosowany do
opisu właściwości metali, ale o parametrach takich samych jak w przypadku
aluminiowej pianki (łącznie z wartościami opisu izotropowego wzmocnienia).
Na rysunku 5. zostały pokazane rozkłady napręŜeń zastępczych Hubera-MisesaHencky’ego w obu wariantach modeli materiałowych na zdeformowanych siatkach
elementów skończonych (z zachowaniem proporcji obliczonych przemieszczeń).
Rys. 5. Rozkład napręŜeń zastępczych w analizie ściskania sześciennej próbki. Wyniki w
Pa, dotyczące modelu materiałowego kruchej pianki (po lewej) oraz modelu
spręŜysto-plastycznego (po prawej), obciąŜenie 2 MPa. W środku widok modelu
próbki i analizowanej części.
Fig. 5. Distribution of equivalent stress for compression of cubic sample. Results expressed
in Pa. On the left - for crushable foam, on the right - for elasto-plastic material
model (load 2 MPa). In the middle - the view of sample model and its analyzed part.
ε
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
model kruchej piany
0,2
0,0
0,0
model spręŜysto-plastyczny
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
obciąŜenie [MPa]
Rys. 6. Uzyskana zmiana wartości uśrednionego logarytmicznego odkształcenia w
zaleŜności od wartości obciąŜenia
Fig. 6. The variation of average true strain in the function of load.
energia [J]
500
400
300
200
model kruchej piany
100
model spręŜysto-plastyczny
0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
obciąŜenie [MPa]
Rys. 7. Wyznaczony przebieg funkcji energii dyssypowanej
plastycznych w zaleŜności od wartości obciąŜenia
na
odkształceniach
Fig. 7. The energy dissipated due to plastic strains in the function of load.
Na rysunku 6. pokazano zmiany wartości, uśrednionego w stosunku do całej
próbki, logarytmicznego odkształcenia w zaleŜności od wartości obciąŜenia.
Rysunek 7. ilustruje przebieg funkcji energii dyssypowanej na odkształceniach
plastycznych całej próbki w zaleŜności od wartości obciąŜenia.
Uzyskane w przykładzie wyniki jednoznacznie wskazują na brak zgodności
rozwiązań i słabość rozwiązania uzyskanego przy zastosowaniu klasycznego modelu
spręŜysto-plastycznego. Mimo uwzględnienia wszystkich podstawowych parametrów
modelu, liczbowo zgodnych z właściwościami analizowanej pianki, niedostosowany
warunek plastyczności oraz odmienny potencjał plastyczny powodują, Ŝe obliczane
przemieszczenia oraz odkształcenia są zdecydowanie zaniŜone w stosunku
prawidłowego rezultatu.
3.2. MIEJSCOWE ZGNIATANIE PŁYTY WARSTWOWEJ
Symulacji numerycznej podlegał proces zgniatania płyty warstwowej, ułoŜonej na
nieodkształcalnym podłoŜu. Konstrukcja płyty składa się z dwóch okładzin
zewnętrznych wykonanych ze stopu aluminium AW-5754 H111, o takiej samej
grubości (analizowano trzy warianty okładzin o grubościach 1, 2 i 3 mm), oraz
wypełnienia aluminiową pianą o grubości 28 mm. Kwadratowa płyta o szerokości 0,4 m
była zgniatana w centralnej części, na obszarze 0,1 m × 0,1 m, obciąŜeniem
zmieniającym się od 0 do 10,0 MPa. W celach porównawczych analizowano równieŜ
płytę z piany bez okładzin. Model płyty z zaznaczonym, analizowanym numerycznie po
uwzględnieniu symetrii, obszarem 1/4 płyty przedstawiono na rysunku 8. We
wszystkich wariantach obliczeń stosowano wyłącznie model kruchej pianki do opisu
wypełnienia płyty oraz model spręŜysto-plastyczny do opisu właściwości okładzin.
Przykładowe rozkłady napręŜeń zastępczych w środkowej warstwie okładziny
zewnętrznej oraz w obszarze piany aluminiowej przedstawiono na rysunku 8. Natomiast
na rysunku 9. przedstawiono jak zmienia się grubość piany aluminiowej w środku płyty
w zaleŜności od wartości obciąŜenia zgniatającego.
Uzyskane rezultaty wskazują na prawidłowy charakter przebiegu procesu
zgniatania i pozwalają m.in. na ocenę wyboru zastosowanego wariantu grubości
okładzin.
Rys. 8. Rozkład napręŜeń zastępczych w analizie miejscowego zgniatania płyty. Od góry:
widok płyty i analizowanej części, rozkład napręŜeń w środkowej warstwie
okładziny zewnętrznej o grubości 2 mm oraz rozkład napręŜeń w obszarze
aluminiowej piany. Wyniki w Pa.
Fig. 8. Distribution of equivalent stress in the analysis of local crushing of the plate. From
the top: an overall view of the plate and its analyzed part, distribution of stresses in
the middle layer of external cover (2 mm thick), distribution of stresses in aluminum
foam. Results expressed in Pa.
grubość [mm]
28
bez pokrycia blachą
24
z blachą o gr. 1 mm
20
z blachą o gr. 2 mm
z blachą o gr. 3 mm
16
12
8
4
0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
obciaŜenie [MPa]
Rys. 9. Grubość warstwy piany aluminiowej w środku płyty w zaleŜności od wartości
obciąŜenia
Rys. 9. Thickness of aluminum foam layer for the plate center in the function of load
intensity.
4. PODSUMOWANIE
Analiza konstrukcji zawierających elementy ze spienionych metali wymaga
zastosowania szczególnego modelu materiałowego. Konieczne jest dostosowanie cech
modelu konstytutywnego, w postaci: warunku plastyczności, potencjału plastycznego
oraz opisu wzmocnienia, do specyficznych cech materiału związanych z moŜliwością
powstawania duŜych odkształceń plastycznych oraz zagęszczania materiału podczas
ściskania.
Nie jest moŜliwe zastąpienie opisu właściwości piany metalicznej klasycznym
opisem spręŜysto-plastycznym metali, poniewaŜ róŜnice w załoŜeniach modeli, a w
szczególności róŜnice w warunku plastyczności prowadzą do uzyskania niepoprawnych
rezultatów. Miarodajnym modelem konstytutywnym spienionych metali jest model
Deshpande-Fleck’a.
Z uwagi na wymagane uwzględnienie podczas analizy wpływu nieliniowości
materiałowych oraz geometrycznych, korzystne jest stosowanie Metody Elementów
Skończonych, jednak w wielu przypadkach konieczne jest stosowanie analiz typu quasistatic.
Praca została zrealizowana w ramach projektu 457/N-COST/2009/0 "Analiza
stateczności i integralności budynków wielokondygnacyjnych poddanych obciąŜeniom
wyjątkowym".
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Abaqus Analysis User's Manual. Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence
2009.
Belytschko T., Liu W.K., Moran B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and
Structures. John Wiley & Sons 2000.
Deshpande V.S., Fleck N.A.: Isotropic constitutive models for metallic foams.
Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 48 (2000), 1253-1283.
Hallquist J.O.: LS-DYNA Theory Manual. Livermore Software Technology Corp.,
Livermore 2006.
Hanssen A.G., Hopperstad O.S., Langseth M., Ilstad H.: Validation of constitutive
models applicable to aluminium foams. International Journal of Mechanical
Sciences, 44 (2002), 359-406.
Ruchwa M.: Ocena odporności konstrukcji Ŝelbetowej na działanie wybuchu.
Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej, Vol. LIX, 4 (660), 2010, 269-280.
Sobczak J.: Kompendium wiedzy o metalowych strukturach komórkowych
stosowanych w nowoczesnym projektowaniu technicznym. Wyd. Instytutu
Odlewnictwa, Kraków 1998.
ANALIZA ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH
WYKONANYCH ZE SPIENIONYCH METALI
Streszczenie
W publikacji zwrócono uwagę na specyfikę materiału jakim jest spieniony metal i
konieczność odpowiedniego opisu matematycznego jego właściwości mechanicznych.
Przedstawiono model konstytutywny kruchej piany metalicznej oraz wyniki dwóch
analiz numerycznych przeprowadzonych Metodą Elementów Skończonych. Przykłady,
w których zastosowano pianę aluminiową, dotyczyły ściskania próbki materiału oraz
miejscowego zgniatania płyty trójwarstwowej o wypełnieniu w postaci piany.
ANALYSIS OF STRUCTURAL ELEMENTS
MADE OF METALIC FOAMS
Summary
The analysis of characteristics of metal foams and the necessity of its adequate
mathematical description were the main scope of this study. The constitutive material
model for crushable metallic foam has been presented as well as the results of two
numerical analyses performed with Finite Element Method. Examples of application of
aluminum foam concern the compression test of material sample and the local crushing
of three-layer plate filled with foam.
Na podstawie porozumienia pomiędzy Wydawnictwem Uczelnianym
Uniwersytetu
Technologiczno-Przyrodniczego
w
Bydgoszczy,
Wydawnictwem Czasopisma „Materiały Budowlane” oraz Autorem, w
opracowaniu "Budownictwo Ogólne. Zagadnienia konstrukcyjne,
materiałowe i cieplno-wilgotnościowe w budownictwie" (red. Prusiński J.),
Bydgoszcz 2011, wydrukowano pełen tekst artykułu, który w skróconej
wersji został zatwierdzony do druku w numerze 10/2011 czasopisma
„Materiały Budowlane”.
Document from http://www.eng.kmb.tu.koszalin.pl/publications