Ćwiczenia IV - 17.10.2007 - E-SGH

Ćwiczenia IV - 17.10.2007
1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji
MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε
2. Na podstawie danych kwartalnych od 1 kwartału 1970 r. do 4 kwartału 1992 r. oszacowano model objaśniający konsumpcję ludności Polski wybierając podpróbę od 1
kwartału 1970 r. do 4 kwartału 1990 r. Wyniki podane są na wydruku komputerowym.
1
Estymacja MNK
****************************************************************************************
Zmienną zależną jest
KONSUM
Do estymacji wykorzystano 84 obserwacje od 70Q1 do 90Q4
****************************************************************************************
Zmienna
Ocena
Błąd
Statystyka t-Studenta
objaśniająca
parametru
standardowy
[Prawdopodobieństwo]
DOCHODY
0,76123
0,012161
62,5959[0,000]
STALA
-22,2942
254,6298
-0,0876[0,930]
****************************************************************************************
R2
0,97950
Statystyka F
F( 1, 82) = 3918,3[0,000]
Statystyka Durbina-Watsona DW = 2,2527
Odpowiedz tak lub nie i podaj uzasadnienie.
(a) Oszacowany model jest modelem przyczynowo-skutkowym.
(b) Jakość oszacowanego modelu jest dobra.
(c) Zmienne objaśniajace uwzględnione w modelu są nieistotne.
(d) Ocena parametru przy zmiennej objaśniającej DOCHOD ma wartość zgodną z
intuicją ekonomiczną.
(e) w modelu nie występuje autokorelacja składnika losowego
(f) model należy oszacować za pomocą Uogólnionej MNK.
3. Poniższy wydruk przedstawia wyniki estymacji modelu autoregresyjnego dla zwrotów
z japońskich obligacji. Odpowiedz na pytania i uzasadnij.
EQ( 3) Modelling BONDJP by OLS (using mills_obligacje.xls)
The present sample is: 7 to 960
Variable
Constant
BONDJP_1
BONDJP_2
BONDJP_3
BONDJP_4
BONDJP_5
BONDJP_6
Coefficient
0.0094062
1.0618
0.15837
-0.15675
-0.035340
0.056423
-0.086478
Std.Error
0.0092556
0.032372
0.047275
0.047540
0.047462
0.047126
0.032364
t-value
1.016
32.801
3.350
-3.297
-0.745
1.197
-2.672
t-prob PartR^2
0.3098 0.0011
0.0000 0.5319
0.0008 0.0117
0.0010 0.0113
0.4567 0.0006
0.2315 0.0015
0.0077 0.0075
R^2 = 0.996269 F(6,947) = 42146 [0.0000] $\sigma$ = 0.0376928
RSS = 1.345445925 for 7 variables and 954 observations
• Które zmienne modelu są statystycznie istotne?
• Co mówi nam statystyka Walda?
• Czy w modelu występuje autokorelacja składnika losowego?
• Czy składnik losowy w modelu jest homoskedastyczny?
2
DW = 2.00
• Czy jest to model przyczynowo-skutkowy?
4. Na podstawie obserwacji rocznych z lat 1981-95 oszacowano następujący jednorównaniowy model ekonometryczny:
ŷt =
30 − 2 xt + 1, 5 xt−1 + 2, 0 xt + 1, 5 zt−1 + 0, 2 zt−2
(10)
(1)
(0, 7)
(0, 5)
(0, 31)
(0, 2)
gdzie:
y - produkcja,
z - inwestycje sektora prywatnego,
x - wielkość zaciągniętych w danym roku kredytów,
Pod równaniem podane są średnie błędy szacunku odpowiednich parametrów. Sprawdzono, że składnik losowy ma rozkład normalny. Przyjąć liczebność próby równą
długości badanego okresu. Odpowiedz tak lub nie i uzasadnij.
(a) Średnie względne błędy szacunku wszystkich parametrów są większe od 30
(b) Przy poziomie istotności a = 0,05 można wykluczyć wpływ wielkości inwestycji
sprzed dwóch lat na bieżącą produkcję.
(c) Przy poziomie istotności a=0,01 można uznać, że w modelu nie występuje wyraz
wolny.
(d) Przy poziomie istotności a=0,1 wpływ opóźnionej wielkości kredytów na produkcję jest istotny, a przy poziomie istotności a=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy o nieistotności wpływu.
(e) Na podstawie statystyki Durbina-Watsona równej 2,06 obliczonej na podstawie
reszt tego modelu można stwierdzić, że nie występuje autokorelacja dodatnia
składnika losowego.
5. Dla 20 typów radioodbiorników oszacowano zależność ceny radioodbiornika od cech
opisujących jego jakość. Przyjęto model liniowy postaci:
yt = a0 + a1 x1t + a2 x2t + a3 x3t + et
yt - cena radioodbiornika typu t, t=1,...20
x1t - liczba zakresów fal, x1t ∈ {2, 3, 4}
x2t - liczba lamp, x2t ∈ {3, 4, 5, 6}
x3t - rodzaj skrzynki; x3t = 1 gdy skrzynka drewniana, x3t = 0 gdy z tworzywa
sztucznego
Oszacowanie parametrów otrzymane MNK jest następujące:
ŷt = −1639 + 314x1t + 449x2t + 364x3t
Podać interpretację parametrów modelu.
3
6. Poniższy wydruk przedstawia statystyki reszt pewnego modelu. Zweryfikuj hipotezę
o normalności rozkładu składnika losowego w tym modelu.
Normality test for RESIDUALS
Sample size 159: 1953 (1) to 1992 (3)
Mean
0.000000
Std.Devn.
10.973910 (using T-1:
Skewness
-0.202523
Excess Kurtosis
-0.979040
11.008583)
7. Oszacowano model trendu opisujący wielkość sprzedaży samochodów dostawczych
(w setkach sztuk) w kolejnych 15 miesiącach: Ŷt = 0.651 + 0.7t − 0.031t2 . Jaka jest
spodziewana wielkość sprzedaży tych samochodów w 16 i 17 miesiącu ?
8. Liczba kin na terenie pewnego województwa w latach 1980 – 1990 kształtowała się
następująco (brak danych dla 1985 roku):
Rok 1980 1981 1982 1983 1984 1986 1987 1988 1989 1990
Kina 185 203 215 221 231 225 223 209 193 175
Przyjęto, że zmienna czasowa t ma wartość 0 dla roku 1985, a jej przyrosty z roku
na rok są jednostkowe. Oszacowano model trendu postaci:
ŷt = 230 – t – 2 t2
Sporządź prognozę liczby kin w 1993 roku. Dla jakich lat prognozy uzyskane z tego
modelu są formalnie sensowne ?
9. Na podstawie 5 obserwacji dotyczących zmiennej y oszacowano model tendencji rozwojowej tej zmiennej otrzymując ŷt = 2 + 3t, t = 1, 2, ..., 5. Na jaki najdalszy okres
τ > 5 można prognozować
wartość y, jeżeli średni błąd prognozy ex ante nie może
√
przekroczyć wartości 2, 8 ? Wiadomo, że oszacowana wariancja składnika losowego
jest równa 1.
10. Na podstawie danych kwartalnych (I kwartał 1990 - IV kwartał 1997) oszacowano
następujący model:
P̂t = −5.20 + 0.47Pt−1 + 0.95Ct−1
gdzie Pt - dochód narodowy brutto, Ct - zagregowana konsumpcja. Macierz zmiennych
objaśniających X tego modelu składa się z kolumn [ 1 Pt−1 Ct−1 ]. Dla kolejnych
kwartałów roku 1998 zmienne przyjmowały następujące wartości:
Pt
Ct
116,36 119,00 123,09 133,95
76,85 77,06 78,47 76,37
4
(a) Przeciętny względny błąd prognozy ex post dla kwartałów III - IV 1998 r. wynosi
0,37.
(b) Średni absolutny błąd predykcji ex post dla kwartałów III - IV 1998 r. wynosi
3,8.
(c) Wektor wartości zmiennych egzogenicznych dla prognozy na II kwartał 1998 r.
jest wektorem o składowych [1 119,00 77,06]T .
(d) Średni błąd predykcji ex post obliczany jest na podstawie wartości prognozy
oraz rzeczywistych wartości prognozowanych zmiennych.
(e) Absolutny błąd predykcji ex post dla prognozy dla trzeciego kwartału 1998 r.
wynosi -0,85.
(f) Stabilność parametrów modelu możemy zbadać za pomocą m.in. testu Chowa
11. Oszacowano 2 konkurencyjne modele - model A i model B, kształtowania się wartości
y. Poniższa tabela podaje prognozy zmiennej y w wariantach A i B oraz zaobserwowane później wartości tej zmiennej.
τ
A
B
Y
7
8
9
10
9,5 11,0 12,3 2,5
10,7 11,8 13,0 14,1
10,0 11,0 12,5 13,0
Porównaj dokładność predykcji ex post za pomocą miar ME, MAE, RMSE oraz
MAPE.
12. Dane jest oszacowanie modelu trendu Ẑt = 4 + 3t, t = 1,...,7 . Obliczyć błąd prognozy ex ante zmiennej Z na okres t=15 gdy wiadomo, ze suma kwadratów wartosści
zmiennej objaśnianej z siedmiu okresów obserwacji jest równa 2124. Jak zmienia się
wartość średniego błędu prognozy ex ante w czasie?
5