Page 1 ĆWICZENIA nr 9 Cel zajęć: Przedstawienie wybranych

ĆWICZENIA nr 9
Cel zajęć: Przedstawienie wybranych testów statystycznych, zasad wyboru właściwego testu,
przeprowadzenia go oraz interpretacji wyników.
Wprowadzenie teoretyczne
Testy χ2 (testy chi – kwadrat) służą do sprawdzania hipotezy o jednakowym rozkładzie
zmiennych losowych typu dyskretnego. Ze względu na ilość kryteriów klasyfikacji danych wyróżnia się
test χ2 dla klasyfikacji jednoczynnikowej oraz test χ2 dla klasyfikacji dwuczynnikowej. Analizowane
dane są najczęściej w postaci częstości wystąpień obserwacji należącej do danej kategorii.
Test χ2 dla klasyfikacji jednoczynnikowej odnosi się do danych podzielonych ze względu na
jeden czynnik. Hipoteza zerowa jest postaci H0: częstości wystąpień badanej cechy są takie same we
wszystkich grupach (podzielonych ze względu na jeden czynnik), hipoteza alternatywna H1:
przynajmniej w jednej parze grup częstotliwości wystąpienia badanej cechy różnią się między sobą.
Statystyka testowa jest postaci
k
(ni − n )2
i =1
n
χ =∑
2
,
gdzie k jest liczbą grup, ni jest liczbą elementów i-tej grupy, ݊ത jest średnią liczbą elementów
wszystkich grup. Przy prawdziwości hipotezy zerowej, statystyka testowa ma rozkład χ2 o k-1
stopniach swobody. Obszar odrzucenia jest postaci
{
}
K = t : t > χ k2−1,1−α ,
2
gdzie α jest poziomem istotności, χ k −1,1−α jest kwantylem rzędu 1- α rozkładu χ2 o k-1 stopniach
swobody.
Test χ2 dla klasyfikacji dwuczynnikowej odnosi się do danych podzielonych ze względu na
dwa czynniki. Hipoteza zerowa jest postaci H0: częstości wystąpień badanej cechy są takie same we
wszystkich grupach (podzielonych ze względu na dwa czynniki), hipoteza alternatywna H1:
przynajmniej w jednej parze grup częstotliwości wystąpienia badanej cechy różnią się między sobą.
Statystyka testowa jest postaci
k
m
χ 2 = ∑∑
i =1 j =1
k
m

n

∑
i . ∑ n. j
i =1
j =1

 nij −
n


k
m
i =1
j =1
2





 ,
∑ n i . ∑ n. j
n
gdzie k jest liczbą grup otrzymanych przez klasyfikację ze względu na pierwszy czynnik, m jest liczbą
grup otrzymanych przez klasyfikację ze względu na drugi czynnik, nij jest liczbą elementów i-tej i j-tej
grupy. Przy prawdziwości hipotezy zerowej, statystyka testowa ma rozkład χ2 o k-1,m-1 stopniach
swobody. Obszar odrzucenia jest postaci
{
}
K = t : t > χ k2−1,m −1,1−α ,
2
gdzie α jest poziomem istotności, χ k −1,m−1,1−α jest kwantylem rzędu 1- α rozkładu χ2 o k-1,m-1
stopniach swobody.
Zadania do rozwiązania
1. W celu rozstrzygnięcia kwestii, czy leczenie bydła nowym lekiem przynosi pozytywne efekty,
wylosowano próbę złożoną z 200 krów, u których wystąpiło pewne schorzenie. 80 krów
poddano leczeniu lekiem tradycyjnym, a 120 krowom podano nowy lek. Wyróżniono dwa
stany po leczeniu: brak poprawy, wyraźna poprawa. Wyniki eksperymentu zawiera poniższa
tabela. Czy można stwierdzić, że nowa terapia przynosi lepsze rezultaty, niż terapia
tradycyjna? Przyjąć α = 0.01.
stan zdrowia
rodzaj leku
tradycyjny
nowy
brak poprawy wyraźna poprawa
60
40
20
80
2. W 500 rzutach monetą 238 razy wypadł orzeł. Czy nie stoi to w sprzeczności z teoretycznym
założeniem, że moneta powinna tyle samo razy pokazać orła, co i reszkę? Przyjąć α = 0.05.
3. Obserwowano wylęg z partii jaj. Wylęgło się 31 kurek i 18 kogutków. Czy liczebności te
można pogodzić z oczekiwaniem, że powinno się uzyskać tyle samo piskląt każdej z płci?
4. W eksperymencie genetycznym do rozrodu wykorzystano białe kurczaki z małymi
grzebieniami i wyhodowano 190 potomków o fenotypach opisanych w poniższej tabeli. Czy
te dane mogą być zgodne z przewidywanymi przez prawa Mendla proporcjami 9:3:3:1.
biały ciemny
mały grzebień 111
34
duży grzebień
37
8
5. Wysunięto przypuszczenie, że rośliny cebuli wyhodowane z większych cebulek dymki
wyrastają częściej w pędy kwiatostanowe. W celu sprawdzenia słuszności tego
przypuszczenia przeprowadzono badania, których wyniki zawiera poniższa tabela.
Zweryfikować słuszność wysuniętego przypuszczenia, przyjąć α = 0.01.
dymki
małe
duże
roślina miała pęd kwiatostanowy
tak
nie
8
152
188
52
6. W zakładach przemysłu tytoniowego POLTYT postanowiono sprawdzić pogląd, że kobiety
pracujące przy automatach papierosowych wytwarzają mniej braków, niż mężczyźni. Celem
sprawdzenia tej hipotezy wylosowano 100 kobiet i 100 mężczyzn, po czym obserwowano ich
produkcję w ciągu zmiany. Rezultaty tych obserwacji zawiera poniższa tabela. Zweryfikować
hipotezę o niezależności obu cech. Przyjąć α = 0.01.
liczba wybrakowanych paczek w ciągu jednej zmiany
[0,20)
[20,40)
[40,100]
kobiety
60
20
20
mężczyźni
20
40
40
płeć
Źródła:
Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M. „Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach – część II: Statystyka matematyczna”, PWN, Warszawa 2004
Kukuła K. „Elementy statystyki w zadaniach”, PWN, Warszawa 2003
Łomnicki A. „Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników”, PWN, Warszawa 2007
Magiera R. „Modele i metody statystyki matematycznej”, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
Żuk B. „Biometria stosowana”, PWN, Warszawa 1989