Mechanika

Mechanika
Energia potencjalna. Zasada zachowania energii.
1. Wahadło matematyczne o długości l i masie m odchylono o kąt 90o i puszczono
swobodnie. Napisz definicję pracy i uzasadnij, że praca siły grawitacyjnej nad
wahadłem na drodze od położenia początkowego do punktu równowagi wahadła
jest równa +mgl. Nie używaj pojęcia energii potencjalnej.
2. Na rysunku przedstawiono kamień o masie 8 kg spoczywający na ustawionej
pionowo sprężynie. Sprężyna jest ściśnięta o 10 cm.
(a) Ile wynosi stała sprężystości tej sprężyny? (b) Naciskając na kamień,
przemieszczamy go w dół o dalsze 30 cm, po czym zwalniamy nacisk. Ile
wynosi energia potencjalna sprężystości ściśniętej w ten sposób sprężyny tuż
przed zwolnieniem nacisku? (c) Ile wynosi zmiana grawitacyjnej energii
potencjalnej układu kamień–Ziemia w czasie ruchu kamienia, od punktu
zwolnienia nacisku do punktu jego największego wzniesienia? (d) Na jaką
największą wysokość – licząc od punktu zwolnienia nacisku – wzniesie się
kamień?
3. Pionowo w górę wyrzucono kamień o masie 1 kg, nadając mu szybkość
początkową v0 = 20 m/s. Oblicz:
a) wysokość na jaką wzniesie się kamień
b) energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą mechaniczną w połowie
największej wysokości
c) prędkość z jaką kamień powróci do poziomu wyrzucenia
d) czas wznoszenia i czas spadania do poziomu wyrzucenia
4. Skoczek na linie bungee ma masę 61 kg i stoi na moście o wysokości 45 m nad
wodą. Długość nieodkształconej sprężystej liny wynosi L = 25 m. Przyjmij, że
odkształcenie liny spełnia prawo Hooke’a, a stała sprężystości liny jest równa
160 N/m. W czasie skoku na linie skoczek nie wpada do wody. Wyznacz
wysokość h stóp skoczka nad wodą, gdy znajduje się on najbliżej wody.
5. Nieduże ciało ześlizguje się bez tarcia po powierzchni półkuli o promieniu r. Na
jakiej wysokości ciało oderwie się od powierzchni półkuli?
6. Ciało o ciężarze 44 N pchnięto w górę po równi pochyłej, nachylonej do
poziomu pod kątem 30 stopni, z prędkością początkową 5 m/s. Okazało się, że
ciało przebyło drogę 1,5 m, zatrzymało się i ześliznęło w dół. Obliczyć siłę
tarcia (zakładając, że siła ta ma wartość stałą) oraz prędkość v ciała przy
podstawie równi.
7. Sprawdzić czy siła jest zachowawcza (wsk. Należy policzyć rot F):
8. Energia potencjalna, odpowiadająca pewnemu dwuwymiarowemu polu sił,
wyraża sie wzorem:
U(x, y) =1/2 k (x2 + y2)
(a) Wyznaczyć Fx i Fy oraz przedstawić wektor siły w każdym punkcie przy
pomocy współrzędnych x i y.
(b) Znaleźć Fr oraz Fθ oraz przedstawić wektor siły w każdym punkcie przy
pomocy współrzędnych biegunowych r i θ tego punktu.