Badanie regularności w słowach

Transkrypt

Badanie regularności w słowach - przypadek
współbieżny
Łukasz Mikulski
Marcin Piątkowski
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Horyzonty Matematyki 2014
Będlewo, 19 marca 2014
Wstęp
Sformułowanie problemu
minimalne słowo nieskończone
Alfabet współbieżny
Rodzaje powtórzeń
Alfabety współbieżne rozmiaru trzy
Alfabet współbieżny θ = (Σ, dep)
Σ – skończony zbiór liter (atomowych akcji)
dep ⊆ Σ × Σ – symetryczna i zwrotna relacja zależności
ind = (Σ × Σ) \ dep – relacja niezależności
≡θ ⊂ Σ∗ × Σ∗ – relacja równoważności
Ł. Mikulski, M. Piątkowski
Badanie regularności w słowach - przypadek współbieżny
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
abdaacda ≡θ adbcaada
Σ = { a, b, c, d}
dep
a
d
ind
b
a
b
c
d
c
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Σ = { a, b, c, d}
dep
abdaacda −→ adbaacda
ind
a
b
a
b
d
c
d
c
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Σ = { a, b, c, d}
dep
ind
a
b
a
b
d
c
d
c
adbaacda −→ adbacada
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Σ = { a, b, c, d}
dep
ind
a
b
a
b
adbaacda −→ adbacada
d
c
d
c
adbacada −→ adbcaada
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Kwadraty
Faktor (podsłowo) postaci u · u.
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Kwadraty
Kwadraty przemienne (abelowe)
Faktor postaci u · v , gdzie ∀a∈Σ |u|a = |v |a .
bcbacb · bcabcb
bccacc · bbabbb
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Kwadraty
Kwadraty przemienne (abelowe)
Faktor postaci u · v , gdzie ∀a∈Σ |u|a = |v |a .
bcbacb · bcabcb
bccacc · bbabbb
Faktor u, gdzie ∀a∈Σ |u|a jest parzysta.
bccaccbbabbb → abbbcc · abbbcc
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Kwadraty częściowo-przemienne (Θ-kwadraty)
dep : c
a
b
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
Faktory postaci u · v , gdzie u ≡θ v
bcbabc · bbcacb
bcbacb · bcabcb
bcbabb · ccbacb
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
bcbabc · bbcacb
bcbacb · bcabcb
bcbabb · ccbacb
Faktory u, gdzie dla pewnego v zachodzi u ≡θ vv .
bcbabc · bbcacb
bcbabb · ccbacb
bcbacb · bcabcb
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
bcbabc · bbcacb
bcbacb · bcabcb
bcbabb · ccbacb
Faktory u, gdzie dla pewnego v zachodzi u ≡θ vv .
bcbabc · bbcacb
bcbabb · ccbacb
bcbacb · bcabcb
Kwadraty to Θ-kwadraty z pełną relacją zależności (maksymalną).
Kwadraty przemienne to Θ-kwadraty z identycznościową relacją
zależności (minimalną).
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Słowa bez kwadratów częściowo-przemiennych (Θ-bezkwadratowe)
dep : c
a
b
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
Słowa bez faktorów postaci u · v , gdzie u ≡θ v
babcac
cabcba → (cab)(cba) → (cab)(cab)
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
babcac
Słowa bez faktorów u, gdzie dla pewnego v zachodzi u ≡θ vv .
bcbabc
babcac → (bacbac) → (bac)(bac)
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
babcac
bcbabc
Słowa w takie, że żadne słowo x ≡θ w nie zawiera faktorów
postaci u · u.
bcbabc
bcbabc → bbcabc → (b)(b)cabc
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
dep : c
a
b
babcac
bcbabc
Słowa w takie, że żadne słowo x ≡θ w nie zawiera faktorów
postaci u · u.
bcbabc
bcbabc → bbcabc → (b)(b)cabc
Wstęp
Rodzaje powtórzeń
Wstęp
1o
Rodzaje powtórzeń
θ1 = (Σ, dep1 )
dep1
a
ind1
b
a
b
Σ = {a, b, c}
c
c
Mamy 117 słów θ1 -bezkwadratowych (do siedmioliterowych)
θ1 -bezkwadratowość
=
bezkwadratowość przemienna
Wstęp
2o
Rodzaje powtórzeń
θ2 = (Σ, dep2 )
dep2
a
ind2
b
a
b
Σ = {a, b, c}
c
c
Mamy 289 słów θ2 -bezkwadratowych (do piętnastoliterowych)
Wstęp
3o
Rodzaje powtórzeń
θ3 = (Σ, dep3 )
dep3
a
ind3
b
a
b
Σ = {a, b, c}
c
c
Liczba słów θ3 -bezkwadratowych jest nieskończona
Artykuł On the number of partially abelian square-free words
over three-letter alphabet
Wstęp
4o
Rodzaje powtórzeń
θ4 = (Σ, dep4 )
dep4
a
ind4
b
a
b
Σ = {a, b, c}
c
c
Liczba słów θ4 -bezkwadratowych jest nieskończona
θ4 -bezkwadratowość
=
bezkwadratowość
Przykład słowa nieskończonego - na bazie słowa Thue-Morse’a
Wstęp
Problem
Warunki θ-bezkwadratowości
Struktura języka słów θ-bezkwadratowych
Wstęp
Problem
θ3 = θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Wstęp
Problem
θ3 = θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Problem
Skonstruować v ∞ – nieskończone słowo θ-bezkwadratowe nad
alfabetem współbieżnym θ = (Σ, dep) z jedną parą niezależnych
liter.
Wstęp
Problem
θ3 = θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Problem
Skonstruować v ∞ – nieskończone słowo θ-bezkwadratowe nad
alfabetem współbieżnym θ = (Σ, dep) z jedną parą niezależnych
liter.
Artykuł Partially abelian square-free words
Wstęp
Problem
Lemat (Cori, Formisano 1990)
Każde słowo θ-bezkwardatowe jest zbudowane z faktorów 6 typów:
ab, ac, abcb, acbc, acb, abc.
Wstęp
Problem
Wstęp
Problem
Warunek F (Cori, Formisano 1990)
Słowo w ∈ Σ∗ spełnia warunek (F) jeśli ani abca ani acba nie są
faktorami w , gdzie a, b, c ∈ θ = (Σ, dep).
Wstęp
Problem
Warunek F (Cori, Formisano 1990)
Słowo w ∈ Σ∗ spełnia warunek (F) jeśli ani abca ani acba nie są
faktorami w , gdzie a, b, c ∈ θ = (Σ, dep).
Twierdzenie (Cori, Formisano 1990)
Każde nieskończone słowo bezkwadratowe w ∈ Σ∗ które zaczyna
się literą a i spełnia warunek (F) jest θ-bezkwadratowe.
Wstęp
Problem
Wstęp
Problem
θ3 = θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Wstęp
Problem
θ3 = θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Problem
Skonstruować v ∞ – leksykograficznie minimalne nieskończone
słowo θ-bezkwadratowe nad alfabetem współbieżnym θ = (Σ, dep)
z jedną parą niezależnych liter.
Wstęp
Problem
θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Wstęp
Problem
θ = (Σ, dep)
a
Σ = {a, b, c}
b
dep :
c
Wstęp
Problem
Wstęp
Język słów bezkwadratowych
Język słów θ-bezkwadratowych
Minimalne leksykograficznie słowo θ-bezkwadratowe
Definicja
M =


A


 B




−→
−→
C −→
D −→
ab
ac
abcb
acbc
Wstęp
Definicja
M =


A


 B




−→
−→
C −→
D −→
ab
ac
abcb
acbc
a b |{z}
a c a| b{zc b} |{z}
a c |{z}
a b a| c{zb c} |{z}
a b |{z}
a c a| b{zc b} a| c{zb c} a| b{zc b} . . .
|{z}
A
B
C
B
A
D
A
B
C
D
C
Wstęp
Definicja


A −→ BCB


 B −→ ADA
m =

C −→ BCDCB



(
xi =
D −→ ADCDA
AB
for i = 1
A · m(xi−1 ) · B for i > 1
Wstęp
Definicja


A −→ BCB


 B −→ ADA
m =

C −→ BCDCB



(
xi =
D −→ ADCDA
AB
for i = 1
A · m(xi−1 ) · B for i > 1
x1 = AB
x2 = ABCBADAB
x3 = ABCBADABCDCBADABCBADCDABCBADAB
x4 =
ABCBADABCDCBADABCBADCDABCBADABCDCBAD . . .
..
.
Wstęp
Twierdzenie
Język Lx = {xi : i > 0} zawiera tylko słowa bezkwadratowe.
Wstęp
Twierdzenie
Idea dowodu
xk = α · u · u · β
(najkrótsze możliwe)
Wstęp
Twierdzenie
Idea dowodu
xk = α · u · u · β
1o
yn−1
α
y1
α
yj
u
yn−1
γ
yj+1
γ
β
yn
u
β
Wstęp
Twierdzenie
Idea dowodu
xk = α · u · u · β
1o
yn−1
α
y1
yj
α
2o
yj+1
u
γ2
α
β
yn
β
γ1
γ2
yj
u
γ
u
γ1
y1
α
yn−1
γ
β
yn
u
β
Wstęp
Twierdzenie
Język Ldep = {M(xi ) : i > 0} zawiera wyłącznie słowa
θ-bezkwadratowe.
Wstęp
Twierdzenie
θ-bezkwadratowe.
Idea dowodu
Niech w ∈ Ldep . Wówczas:
w jest bezkwadratowe – z definicji Ldep i bezkwadratowości Lx
Wstęp
Twierdzenie
θ-bezkwadratowe.
Idea dowodu
w rozpoczyna się literą a – z definicji Lx oraz M
Wstęp
Twierdzenie
θ-bezkwadratowe.
Idea dowodu
w spełnia warunek (F) – z definicji M
Wstęp
Twierdzenie
θ-bezkwadratowe.
Idea dowodu
w spełnia warunek (F) – z definicji M
Stąd w jest θ-bezkwadratowe.
■
Wstęp
Twierdzenie
Nieskończone słowo w ∈ Σ∗ które rozpoczyna się literą a, ale nie
rozpoczyna się prefiksem abca ani acba, jest θ-bezkwadratowe
wtedy i tylko wtedy, gdy jest słowem bezkwadratowe oraz składa
się tylko z faktorów 4 typów:
ab, ac, abcb, acbc.
Wstęp
Twierdzenie
Nieskończone słowo w ∈ Σ∗ które rozpoczyna się literą a, ale nie
rozpoczyna się prefiksem abca ani acba, jest θ-bezkwadratowe
wtedy i tylko wtedy, gdy jest słowem bezkwadratowe oraz składa
się tylko z faktorów 4 typów:
ab, ac, abcb, acbc.
Twierdzenie
Jeśli M(m(M −1 (w ))) jest słowem θ-bezkwadratowym, to w
również jest słowem θ-bezkwadratowym.
Wstęp
Lista metafaktorów zabronionych wewnątrz słów bezkwadratowych
ABA
Wstęp
ABA
(AB)(AB)
ABAD → (abac)(abac)dc
Wstęp
ABA
BAB
Wstęp
ABA
BAB
CBC
(CB)(CB)
CBCD → (abcbac)(abcbac)dc
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
DADCB
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
DADCB
ABADCB
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
DADCB
ABADCB
CBADCBC
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
DADCB
ABADCB
CBADCBC
CBADC BAB
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
DADCB
ABADCB
CBADCBC
CBADC BAB
(CBAD)(CBAD)
Wstęp
ABA
BAB
CBC
DAD
ADCB
BCDA
Wstęp
Lemat
Niech u, v ∈ Ldep . Wówczas albo u jest prefiksem v albo v jest
prefiksem u.
Wstęp
Lemat
prefiksem u.
abac
abacabcbacabacbcabac
abacabcbacabacbcabacabcbacbcabcbacabacbcabacabcbacabacbc . . .
..
.
Wstęp
Lemat
prefiksem u.
Lemat
Dla każdego n > 0 istnieje słowo v ∈ Ldep takie, że |v | > n.
abac
..
.
Wstęp
Lemat
prefiksem u.
Lemat
Dla każdego n > 0 istnieje słowo v ∈ Ldep takie, że |v | > n.
Definicja
Zdefiniujmy nieskończone słowo v ∞ = lim(Ldep ).
abac
..
.
Wstęp
Zadanie
Słowo v ∞ jest minimalnym leksykograficznie θ-bezkwadratowym
słowem nieskończonym.
Dziękuję
za uwagę

Badanie regularności w słowach

Transkrypt

Podobne dokumenty

rider_AFTER_PARTY

Piosenka o moim króliku! (tekst)

Parametry techniczne dla zamawianego sprzętu

Magia cienia(tekst)

Sąd Rejonowy w Garwolinie Dostawa oprogramowania Newton

AFRYKA. PODRÓ ¯ WZD£ U¯ NILU

Wakacyjne warsztaty fotograficzne dla młodzieży