6. Twierdzenie Eulera
Transkrypt
6. Twierdzenie Eulera
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 26 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29 9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon 34 10 Kongruencje wy»szych stopni 38 11 Liczby pseudopierwsze 44 12 Pierwiastki pierwotne 49 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53 14 Logarytm dyskretny 58 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2 Wykªad 6 Twierdzenie Eulera Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz¡dkowuje ka»dej liczbie naturalnej n, ilo±¢ dodatnich i niewi¦kszych od n liczb odwracalnych modulo n nazywamy funkcj¡ Eulera. Zatem ϕ(n) = # {0 < x ≤ n : NWD(x, n) = 1} . 6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4, poniewa» tylko liczby nieparzyste s¡ wzgl¦dnie pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb¡ pierwsz¡, to ϕ(p) = p − 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest wzgl¦dnie pierwsza z p. Je»eli pr jest pot¦g¡ liczby pierwszej, to jedynymi liczbami, które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z pr , s¡ wielokrotno±ci p, czyli liczby p, 2p, 3p, . . . , (pr−1 − 1)p. Tych liczb jest w sumie pr−1 − 1, zatem r r ϕ(p ) = p − 1 − (p r−1 r − 1) = p − p r−1 =p r 1 1− p . (6.1) Poka»emy, »e przy pewnym zaªo»eniu, ϕ jest funkcj¡ multyplikatywn¡. Pozwoli nam to wyprowadzi¢ do±¢ por¦czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj¡cy (6.1). 6.2 Twierdzenie. (m, n) = 1, Je±li NWD to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Zauwa»my najpierw, »e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y¢, »e m > 1 i n > 1. Wypiszmy Dowód. 23 wszystkie liczby niewi¦ksze od mn w nast¦puj¡cy sposób: 1, 2, n + 1, n + 2, 2n + 1, 2n + 2, . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . ., (m − 1)n + 1, (m − 1)n + 2, ..., r, ..., n + r, ..., 2n + r, ..., ............ , . . . , (m − 1)n + r, ..., n, . . . , 2n, . . . , 3n, ..., ..., . . . , mn. (6.2) Zauwa»my, »e liczby ka»dej z kolumn tablicy (6.2) ró»ni¡ si¦ modulo m od liczb 1, 2, . . . , m − 1 tylko porz¡dkiem. Istotnie, je±li istniej¡ liczby q1 , q2 , oraz r, takie »e q1 n + r ≡ q2 n + r (mod m), to poniewa» m i n s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c z ostatniej kongruencji wynika q1 ≡ q2 (mod m) (tw. 3.1). Ale poniewa» q1 i q2 s¡ nieujemnymi liczbami mniejszymi od m, wi¦c q1 = q2 . Znacznie ªatwiej jest zauwa»y¢, »e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy liczby przystaj¡ce modulo n, odpowiednio, do 1, 2, . . . , n − 1, 0. Tak wi¦c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl¦dnie pierwszych z n, a w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl¦dnie pierwszych z m. Co wi¦cej, zauwa»my, »e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb¦, która nie jest wzgl¦dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl¦dnie pierwsza z mn, to jest ona wzgl¦dnie pierwsza z m i wzgl¦dnie pierwsza z n. Wykre±lmy zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z mn. Wówczas w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy caªe kolumny. Pozostanie wi¦c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich. Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m). Q k αi Rozwa»my liczb¦ n = i=1 pi . Poniewa» wszystkie czynniki w tym iloczynie s¡ parami wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c po zastosowaniu twierdzenia 6.2, dostajemy ϕ(n) = k Y i=1 k Y ϕ (pαi i ) 1 = 1− pi i=1 k Y 1 =n 1− pi i=1 pαi i Udowodnili±my wi¦c nast¦puj¡cy wniosek. 24 6.3 Wniosek. Je±li n= Qk αi i=1 pi , to ϕ(n) = n Qk i=1 1 − 1 pi . U»ywaj¡c wniosku 6.3, dostajemy ϕ(29 · 52 ) = (29 − 1)(25 − 5) = 560. Poniewa» ró»nica pk − pk−1 jest liczb¡ parzyst¡, z wyj¡tkiem przypadku gdy p = 2 oraz k = 1, wi¦c jedyn¡ nieparzyst¡ warto±ci¡ funkcji ϕ jest 1, która jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi¦kszych od 3, funkcja Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi¦cej, je±li w rozkªadzie liczby n wyst¦puje dokªadnie k pot¦g liczb pierwszych, to 2k−1 | ϕ(n). 6.4 Przykªad. Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W tym celu rozwa»ymy kilka przypadków. • n = pα . Zatem 6 = pα−1 (p − 1). Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze, zauwa»amy, »e n = 32 = 9, lub n = 7. • n = pα q β . Wówczas 6 = (pα − pα−1 )(q β − q β−1 ). Zauwa»my, »e ró»nica dwóch kolejnych pot¦g »adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi¦c jedna z liczb pα − pα−1 , q β − q β−1 musi by¢ równa 1, czyli p = 2, a druga 6. Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q , otrzymujemy n = 2 · 32 = 18 lub n = 2 · 7 = 14. • Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika, »e n nie mo»e by¢ iloczynem wi¦cej ni» dwóch pot¦g liczb pierwszych. U»ywaj¡c funkcji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Maªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym, »e je±li NWD(a, n) 6= 1, to ak 6≡ 1 (mod n) dla »adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby dzielnikiem ak −1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka »e xn+a·ak−1 = 1. Z lematu 3.4 wynika zatem, »e NWD(a, n) = 1, sk¡d sprzeczno±¢. Tak wi¦c, aby otrzyma¢ kongruencj¦, w której pot¦ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a¢ tylko te liczby a, które s¡ wzgl¦dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to sprowadza si¦ to do liczb, które nie s¡ podzielne przez n, st¡d zaªo»enia drugiej cz¦±ci MTF. Zauwa»my, »e owa druga cz¦±¢ MTF jest zawarta w nast¦puj¡cym twierdzeniu. 6.5 Twierdzenie witej a oraz n > 2. (Eulera ). (a, n) = 1 Przypu±¢my, »e NWD dla liczby caªko- Wówczas aϕ(n) ≡ 1 25 (mod n) (6.3) Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s¡ dodatnie i mniejsze od n. S¡ to r1 , r2 . . . , rϕ(n) . Skoro a jest odwracalna modulo n, wi¦c tak»e elementy ar1 , ar2 . . . , arϕ(n) s¡ odwracalne modulo n, oraz »adne dwa z nich nie s¡ równe. Zatem Dowód. r1 r2 . . . rϕ(n) ≡ ar1 ar2 . . . arϕ(n) (mod n). Korzystaj¡c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy aϕ(n) (r1 r2 . . . rϕ(n) ) ≡ (r1 r2 . . . rϕ(n) ) (mod n). Ostatnia kongruencja implikuje (6.3). Dla przykªadu, znajdziemy ostatni¡ cyfr¦ liczby 31234 w ukªadzie szestnastkowym. Mamy tu ϕ(16) = 8, a 1234 ≡ 2 (mod 8). Zatem 31234 ≡ 9 (mod 16) i ostatni¡ cyfr¡ jest 9. Okazuje si¦, »e najni»sza pot¦ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz¦sto mniejsza ni» ϕ(n). Na przykªad ϕ(105) = 48, ale dla a wzgl¦dnie pierwszych ze 105 mamy a12 ≡ 1 (mod 105). Istotnie, 105 = 3 · 5 · 7 oraz a6 − 1 | a12 − 1 a4 | a12 − 1 a2 − 1 | a12 − 1, wi¦c z Maªego Twierdzenia Fermata, 105 | a12 − 1. Poni»sze twierdzenie pokazuje jak ulepszy¢ pot¦g¦ a. 6.6 Twierdzenie. m = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k , gdzie wszystkie liczby αi jest najwi¦ksz¡ poteg¡ liczby pi , która dzieli m. pierwsze pi s¡ ró»ne i pi αk α1 α2 n Niech n = NWW(ϕ (p1 ) , ϕ (p2 ) , . . . , ϕ (pk )). Wtedy mamy a ≡ 1 (mod m) dla ka»dego a Przypu±¢my, »e wzgl¦dnie pierwszego z m. αi Z twierdzenia Eulera wynika aϕ(pi ) ≡ 1 (mod pαi i ) dla ka»dego i ∈ {1, 2, . . . , k}. Mno»¡c t¦ kongruencj¦ stronami przez siebie n/ϕ(pαi i ) razy otrzymujemy an ≡ 1 (mod pαi i ) dla ka»dego i. St¡d bezpo±rednio wynika, »e dla dowolnego i mamy pαi i | an − 1. Zatem i m | an − 1, a to nam daje tez¦. Dowód. Wracaj¡c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my, »e 105 = 3 · 5 · 7 oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6). 26