rozwiązanie

36OF_W_T1-A
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
XXXVI OLIMPIADA FIZYCZNA (1986/1987). Stopień W, zadanie teoretyczne – T1-A.
Źródło:
Komitet Główny Olimpiady Fizycznej,
Fizyka w Szkole nr 3, 1987
Autor:
Waldemar Gorzowski
Nazwa zadania:
Na Księżycu
Działy:
Astronomia i grawitacja
Słowa kluczowe:
Okres obrotu Księżyca
Zadanie teoretyczne – T1-A, zawody stopnia wstępnego, XXXVI OF
Na powierzchni Księżyca, na skutek izotropowego padania na jego powierzchnię meteorytów, utworzyła się warstwa pyłu o grubości 1 m i gęstości d = 2 g/cm2. Oblicz względną
zmianę okresu obrotu Księżyca wokół jego osi, związaną z osadzeniem się pyłu przyjmując, że
promień Księżyca R wynosi 1740 km, a jego średnia gęstość d jest równa 3,35 g/cm3. Przyjmujemy, że Księżyc jest jednorodną kulą.
Rozwiązanie
Zgodnie z warunkami zadania osiadanie pyłu na Księżycu nie zmienia jego momentu pędu.
Zatem
I1ω1 = I2ω2
Gdzie I1 i I2 oznaczają momenty bezwładności Księżyca przed i po pokryciu jego powierzchni pyłem. ω1 i ω2 oznaczają odpowiednie prędkości kątowe powiązane z okresami obrotu wzorami
2π
ω1 =
,
T1
2π
T2
Warstwa pyłu jest bardzo cienka w porównaniu z promieniem Księżyca. Możemy więc warstwę pyłu traktować jako powłokę o zerowej grubości (i jednorodną, zgodnie z warunkiem zadania). Moment bezwładności I2 jest sumą momentu I1 oraz momentu bezwładności powłoki:
ω2 =
I2 = I1 + IP
Zatem
I1
2π
2π
= (I 1 + I P )
T1
T2
Stąd względna zmiana okresu wynosi
δ =
T 2 − T1
I
= P
T1
I1
Mamy
I1 =
Oprac. PDFiA US, 2008
2
M R2
5
IP =
- 1/2 -
2
m R2
3
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
36OF_W_T1-A
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
gdzie M oznacza masę Księżyca a m – masę pyłu.
Mamy:
4
M = π R3 d
3
m = 4π R2 h dP
Zatem:
δ =
Oprac. PDFiA US, 2008
5h dP
R d
(≈ 1,72 ⋅10 )
−6
- 2/2 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl