Matematyka dyskretna - wykład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją

Matematyka dyskretna - wykład
1. Relacje
Definicja 1.1
Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X×
Y , którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x ∈ X i y ∈ Y .
Uwaga 1.1
Jeśli R jest relacją w zbiorze X×X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X.
Rozważmy relację R ⊂ X ×X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:
^
(x, x) ∈ R
x∈X
symetryczną, gdy:
^
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
x,y∈X
antyzwrotną, gdy:
^
(x, x) ∈
/R
x∈X
słabo antysymetryczną, gdy:
^
((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R) ⇒ x = y)
x,y∈X
antysymetryczną, gdy:
^
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈
/R
x,y∈X
przechodnią, gdy:
^
((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R)
x,y,z∈X
spójną, gdy:
^
(x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
x,y∈X
Niech X = {x1 , . . . , xn } oraz R ⊂ X ×X. Wówczas relacji R możemy przyporządkować macierz n × n zdefiniowaną w następujący sposób:
(
MR = [rij ], gdzie rij =
0, gdy (xi , xj ) ∈
/R
1, gdy (xi , xj ) ∈ R
Definicja 1.2
Grafem skierowanym prostym nazywamy parę (V, D), gdzie V jest zbiorem
skończonym (zbiór wierzchołków), a D jest podzbiorem V ×V (zbiór krawędzi
skierowanych i łuków)
Definicja 1.3
Grafem nieskierowanym nazywamy parę (V, E), gdzie V jest zbiorem skończonym (zbiór wierzchołków), a E ⊆ P2 (V ) (zbiór krawędzi nieskierowanych).
P2 (V ) - rodzina dwuelementowych podzbiorów zbioru V .
Niech R, S będą relacjami w zbiorze X ×X. Wówczas sumą relacji R, S jest
zbiór R ∪ S, iloczynem (przekrójem) relacji R, S jest zbiór R ∩ S. Dopełnieniem relacji R jest zbiór X \ R.
Relacją odwrotną do relacji R określamy zbiór:
R−1 = {(x, y) ∈ X ×X: (y, x) ∈ R}
Uwaga 1.2
Relacja R ⊂ X ×X jest symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1 .
Lemat 1.1
Jeżeli (Rt )t∈T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przekrój
wszystkich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią.
Definicja 1.4
Przechodnim domknięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przekrój wszystkich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domknięcie
oznaczamy symbolem R∗
Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R(1) = R, R(2) = R ◦ R, R(n+1) = R ◦ R(n) .
Lemat 1.2
R∗ =
∞
[
R(n)
n=1
Dowód:
Niech Z = {S ⊂ X ×X: S jest przechodnia ∧ R ⊂ S}. Zauważmy, że:
(x, y) ∈ R ⇒
^
(x, y) ∈ S ⇒ (x, y) ∈
\
Z ⇒ R⊂
\
Z
S∈Z
Wówczas:
(x, y) ∈
∞
[
R(n) ⇔
n=1
(x, y) ∈ R(m)
_
m∈N
A więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 takie, że:
(x, v1 ) ∈ R ∧ (v1 , v2 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R
Ponieważ R jest zawarte w każdej relacji S ze zbioru Z, to:
^
(x, v1 ) ∈ S ∧ (v1 , v2 ) ∈ S ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ S
S∈Z
Ponieważ każda relacja S jest przechodnia, to:
^
(x, y) ∈ S ⇔ (x, y) ∈
\
Z
S∈Z
Ostatecznie:
∞
[
R(n) ⊆
\
Z
n=1
Zauważmy, że:
R = R(1) ⊆
∞
[
R(n)
n=1
∗
Pokażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) ∈ R∗ . Wówczas:
_
(x, y) ∈ R(m) ∧ (y, z) ∈ R(p)
m,p∈N
Więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 , u1 , . . . , up−1 takie, że:
(x, v1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R
∧
(y, u1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (up−1 , z) ∈ R
Niech y = vm . Wtedy powyższa koniunkcja oznacza, że element (x, z) należy
do (m + p)-krotnego złożenia relacji R. A więc:
(x, z) ∈ R
(m+p)
⇒ (x, z) ∈
∞
[
R(n)
n=1
∗
∗
co oznacza przechodniość relacji R . Skoro R jest relacją przechodnią i zaT
wiera relację R, to R∗ ∈ Z oraz Z ⊆ R∗ , skąd wynika dowodzona równość.
Niech MR = [rij ] oraz MS = [sij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze
skończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze:
(a) MR∪S = [ rij ∨ sij ]
(b) MR∩S = [ rij ∧ sij ]
(c) MR−1 = [ rji ]
(d) MR0 = [ ∼ rij ]
(e) MR◦S = [ cij ] gdzie: cij = (ri1 ∧ s1j ) ∨ (ri2 ∧ s2j ) ∨ . . . ∨ (rin ∧ snj ).
Definicja 1.5
Relacja R jest porządkiem w zbiorze P , gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia.
Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porządek R jest liniowy.
Zbiór P , w którym określona jest relacja porządkująca R oznaczamy symbolem (P, R) lub (P, ¬).
Definicja 1.6
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Przedziałem wyznaczonym
przez elementy a, b ∈ P nazywamy podzbiór:
[a, b] = {x ∈ P : a ¬ x ¬ b}
Zauważmy następujące wynikania:
[a, b] 6= Ø ⇒
_
x ∈ [a, b] ⇒ a ¬ x ¬ b ⇒ a ¬ b
x∈P
∼ (a ¬ b) ⇒ [a, b] = Ø
(a ¬ b) ⇒ a, b ∈ [a, b]
Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały:
(a, b] = [a, b] \ {a}
(←, b] = {x ∈ P : x ¬ b}
[a, →) = {x ∈ P : a ¬ x}
Definicja 1.7
Niech a, b ∈ P i a 6= b. Element a nazywamy poprzednikiem elementu b
(element b nazywamy następnikiem elementu a), jeśli |[a, b]| = 2, czyli gdy
[a, b] = {a, b}.
Definicja 1.8
Diagramem Hassego zbioru uporządkowanego nazywamy graf relacji następnika.
Definicja 1.9
Niech (X, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Element a ∈ X nazywamy
maksymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X:
∼
_
(a ¬ x ∧ a 6= x)
x∈X
Element a ∈ X nazywamy największym, jeśli spełniony jest warunek:
^
x¬a
x∈X
Element a ∈ X nazywamy minimalnym, jeśli nie poprzedza go żaden element
zbioru X:
_
∼
(x ¬ a ∧ x 6= a)
x∈X
Element a ∈ X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warunek:
^
a¬x
x∈X
Definicja 1.10
Niech A ⊂ X, będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ¬). Element
a ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek:
^
x¬a
x∈A
Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi
warunek:
^
a¬x
x∈A
Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy,
to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A.
Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element największy,
to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A.
Definicja 1.11
Zbiór uporządkowany (P, ¬) nazywamy kratą, jeśli każdy dwuelementowy
podzbiór zbioru P ma kres górny i kres dolny w zbiorze P .
Definujemy działania ∨ oraz ∧ w następujący sposód:
a ∨ b = c ⇔ sup{a, b} = c oraz a ∧ b = c ⇔ inf{a, b} = c
Uwaga 1.3
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b, c ∈ P . Jeśli c jest
kresem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:
^
(d ¬ a ∧ d ¬ b) ⇔ d ¬ c
d∈P
Jeśli c jest kresem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:
^
(a ¬ d ∧ b ¬ d) ⇔ c ¬ d
d∈P
Twierdzenie 1.1
W zbiorze uporządkowanym (P. ¬) działania ∨ oraz ∧ są przemienne, łączne
i spełniają warunki pochłaniania, tzn.:
^
(a ∨ b) ∧ a = a
^
i
a,b∈P
(a ∧ b) ∨ b = b
a,b∈P
Twierdzenie 1.2
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b ∈ P . Wówczas:
a ¬ b ⇔ ((a ∨ b = b)
∧
(a ∧ b = a))
Twierdzenie 1.3
Każda krata skończona ma element największy i element najmniejszy.
Definicja 1.13
Jeśli krata ma element największy i element najmniejszy, to element b nazywamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a ∨ b = 1 oraz a ∧ b = 0
Definicja 1.14
Mówimy, że krata jest rozdzielna jeśli dla każdych elementów a, b, c prawdziwe są równości:
(a) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
(b) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Definicja 1.15
Algebrą Boole’a nazywamy kratę rozdzielną zawierającą element największy
i element najmniejszy, w której każdy element ma swoje uzupełnienie.
Definicja 1.16
Niech (P, ¬1 ) i (Q, ¬2 ) będą zbiorami uporządkowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządkowanych nazywamy każde odwzorowanie odwracalne ψ: P → Q
takie, że:
^
(a ¬1 b ⇔ ψ(a) ¬2 ψ(b))
a,b∈P
Definicja 1.17
Niech ¬1 i ¬2 będą porządkami w zbiorze P . Mówimy, że ¬2 jest rozszerzeniem ¬1 , gdy:
^
(a ¬1 b ⇒ a ¬2 b
a,b∈P
Przykład 1.1
Zwykły porządek ¬ w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządku
| wyznaczonego przez relację podzielności.
^
(a|b ⇒ a ¬ b)
a,b∈N
Definicja 1.18
Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami uporządkowanymi. Utwórzmy zbiór
P = P1 ×. . .×Pn i zdefiniujmy nowy porządek w zbiorze P .
Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P , wówczas:
(a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔ a1 ¬1 b1 ∧ . . . ∧ an ¬n bn
Tak określony porządek nazywamy produktowym.
Definicja 1.19
Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech
P = P1 ×. . .×Pn . Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P . Określmy następujący
porządek:
(
(a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn )
ai ¬ bi , gdzie: i = min{t: at ¬ bt }
Tak zdefiniowany porządek nazywamy leksykograficznym.
2. Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach
Niech danych będzie n pudełek i k przedmiotów. Załóżmy, że w każdym
pudełku mieści się co najwyżej jeden przedmiot.
1◦
Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas
opisem rozmieszczenia jest funkcja różnowartościowa ze zbioru przedmiotów
w zbiór pudełek (wariacja bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi:
n!
(n − k)!
2◦
Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.
3◦
Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest k-elementowy podzbiór zbioru pudełek (kombinacje bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi:
n!
k!(n − k)!
4◦
Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.
Niech teraz w każdym pudełku można umieścić dowolną ilość przedmiotów.
1◦
Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas
jest to wariacja z powtórzeniami. Ilość rozmieszczeń wynosi: nk .
2◦
Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział zbioru pudełek.
3◦
Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest multizbiór pudełek.
4◦
Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział liczby k na co najwyżej n składników.
Takie podziały nazywamy partycjami liczby k.
3. Kombinacje
Definicja 3.1
Niech dany będzie zbiór X, taki że |X| = n. Każdy k-elementowy podzbiór
zbioru X nazywamy k-elementową kombinacją zbioru X.
Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznaczamy: nk
Twierdzenie 3.1
Prawdziwe są następujące równości:
n
X
(a)
k=0
!
(c)
!
!
n
= 2n
k
n
n
=
k
n−k
(b)
!
!
!
!
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
(d)
!
n
n n−1
=
k
k k−1
Dowód:
(b)
Niech Pk (X) oznacza rodzinę wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru X, a Pn−k (X) - rodzinę wszystkich (n − k)-elementowych podzbiorów
zbioru X. Zdefinujemy bijekcję Pk (X) ←→ Pn−k (X) w ten sposób, że jeśli
A ∈ Pk (X) to podzbiorowi A przyporządkujemy zbiór X \ A ∈ Pn−k (X).
Tak zdefiniowana funkcja jest różnowartościowa i przekształca zbiór Pk (X)
na zbiór Pn−k (X). A więc |Pk (X)| = |Pn−k (X)|. Ponieważ |Pk (X)| = nk
n
n
oraz |Pn−k (X)| = n−k
, stąd nk = n−k
.
(c)
Niech X = {1, . . . , n} i niech Pk (X) będzie rodziną k-elementowych podzbiorów zbioru X. Przedstawmy zbiór Pk (X) w postaci sumy rozłącznych
zbiorów A i B. Niech A będzie rodziną wszystkich k-elementowych podzbiorów zawierających element n i niech B = Pk (X) \ A.
Utwórzmy bijekcję A ←→ Pk−1 (Y ), gdzie Y = {1, . . . , n − 1}, w ten sposób,
że dowolnemu zbiorowi Z ∈ A przyporządkujemy zbiór Z \ {n}. Taka funkcja jest ”1 − 1” i ”na” co oznacza, że rodzina A jest równoliczna ze zbiorem
Pk−1 (Y ).
Rozpatrzmy teraz zbiór B = Pk (Y ) (bo podzbiory zbioru B są k-elementowe
i nie zawierają elementu n). Mamy więc:
!
!
!
n
n−1
n−1
= |Pk (X)| = |A| + |B| = Pk−1 (Y ) + Pk (Y ) =
+
k
k−1
k
(d)
Rozpatrzmy zbiór par Z = {(A, x): A ∈ Pk (X) ∧ x ∈ A}. Elementy zbioru Z
mogą być dobrane na dwa sposoby. Możemy najpierw wybrać k-elementowy
podzbiór A ⊂ X i potem ze zbioru A wybrać element x ∈ A.
Otrzymujemy, że: |Z| = nk · k.
Możemy odwrócić ten proces i najpierw wybrać element x ∈ X i do niego
dobrać taki podzbiór A ⊂ X, że
x ∈ A.
n−1
Otrzymujemy: |Z| = n · k−1 , gdyż podzbiór A możemy traktować jako
(k − 1)-elementowy podzbiór zbioru (n − 1)-elementowego.
Z powyższych rozważań wynika równość (d).
Uwaga 3.1
!
n
n!
=
k
k!(n − k)!
Definicja 3.2
Silnią dolną nazywamy wielomian: [x]k = x(x − 1) · . . . · (x − k + 1)
Silnią górną nazywamy wielomian: [x]k = x(x + 1) · . . . · (x + k − 1)
4. Multizbiory (kombinacje z powtórzeniami)
1◦
Niech ϕn (X) będzie rodziną wszystkich n-elementowych ciągów elementów
zbioru X. Zdefiniujmy w tym zbiorze relację róznoważności ∼ w następujący
sposób: (x1 , . . . , xn ) ∼ (y1 , . . . , yn ), gdy istnieje permutacja σ zbioru wszystkich wskaźników {1, . . . , n}, taka że yi = xσ(i) , i = 1, . . . , n
Tak zdefiniowana relacja dzieli zbiór ϕn (X) na klasy abstrakcji. Każdą taką
klasę abstrakcji nazywamy multizbiorem.
2◦
Niech dana będzie funkcja charakterystyczna χ: X → N0 , taka że jeśli x ∈ X,
to χ(x) oznacza liczbę wystąpień elementu x w multizbiorze wyznaczonym
przez funkcję χ. Liczba wszystkich elementów wyznaczonych przez χ wynosi:
X
χ(x)
x∈X
3◦
Niech X = {1, . . . , n}. Wówczas każdy k-elementowy podzbiór zbioru X
można utożsamiać z ciągiem silnie rosnącym elementów tego zbioru. Każdy kelementowy multizbiór można utożsamiać z ciągiem niemalejącym o długości
k utworzonym z elementów zbioru X.
Twierdzenie 4.1
Liczba k-elementowych
multizbiorów utworzonych ze zbioru n-elementowego
n+k−1
jest równa
k
Dowód:
Niech X = {1, . . . , n} i niech Mk (X) oznacza rodzinę wszystkich k-elementowych
multizbiorów utworzonych ze zbioru X. Załóżmy, że {x1 , . . . , xk } ∈ Mk (X),
przy czym x1 ¬ . . . ¬ xk . Utwórzmy z tego ciągu nowy ciąg {x1 , x2 +
1 . . . , xk + k − 1} = {y1 , . . . , yk }, gdzie yi = xi + i − 1.
Zauważmy, że ciąg {y1 , . . . , yk } jest ciągiem rosnącym:
yi+1 − yi = (xi+1 + i) − (xi + i − 1) = xi+1 − xi + 1 > 0
Ponadto gdyby xk = n, to yk = n + k − 1, niech zatem Y = {1, . . . , n + k − 1}.
Zatem każdy ciąg niemalejący {x1 , . . . , xk } można rozszerzyć do ciągu rosnącego {y1 , . . . , yk }, gdzie y1 < . . . < yk . Postępowanie odwrotne jest także możliwe. Z każdego ciągu {y1 , . . . , yk } można utworzyć ciąg niemalejący
{y1 , y2 − 1, . . . , yk − k + 1} = {x1 , . . . , xk }, gdzie xi = yi − i + 1.
Zdefiniowaliśmy więc bijekcję Mk (X) ←→
Pk (Y
), a więc oba te zbiory są
n+k−1
równoliczne, czyli: |Mk (X)| = |Pk (Y )| =
k
Uwaga 4.1
n+k−1
[n]k
=
k
k!
!
5. Liczby Stirlinga I rodzaju
Definicja 5.1
Liczby Stirlinga I rodzaju to współczynniki wielomianu, który powstaje przez
rozwinięcie silni dolnej:
[x]n = x(x−1) . . . (x−n+1) = s(n, 0)+s(n, 1)x+. . .+s(n, n)xn =
n
X
k=0
s(n, k)xk
Twierdzenie 5.1
Liczby Stirlinga I rodzaju spełniają następujące własności:
(a) s(n, n) = 1, n ­ 0
(b) s(n, 0) = s(0, k) = 0, n, k > 0
(c) s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k)
Dowód: (c)
n
X
s(n, k)xk = x(x − 1) . . . (x − n + 2)(x − n + 1) = [x]n−1 (x − n + 1) =
k=0
=
n−1
X
!
s(n − 1, k)x
k
(x − (n − 1)) =
k=0
=
n−1
X
s(n − 1, k)xk+1 −
k=0
=
n
X
n−1
X
(n − 1)s(n − 1, k)xk ) =
k=0
k
s(n − 1, k − 1)x −
k=1
n−1
X
(n − 1)s(n − 1, k)xk ) =
k=0
= s(n − 1, n − 1)xn +
n−1
X
s(n − 1, k − 1)xk −
k=1
−
n−1
X
(n − 1)s(n − 1, k)xk ) − (n − 1)s(n − 1, 0)x0 =
k=1
n
= s(n, n)x +
n−1
X
(s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k))xk
k=1
Ostatecznie otrzymujemy, że:
s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k), 1 ¬ k ¬ n − 1 (0 < k < n)
gdyż równość wielomianów jest równoważna równości ciągów ich współczynników.
6. Podziały zbioru
Definicja 6.1
Podziałem zbioru X nazywamy rodzinę podzbiorów π = {B1 , . . . , Bk } tego
zbioru spełniającą warunki:
(a) Bi 6= Ø, i = 1, . . . , k
(b) Bi ∩ Bj = Ø, gdy i 6= j
(c) B1 ∪ . . . ∪ Bk = X
Zbiory Bi , i = 1, . . . , k nazywamy blokami podziału.
Definicja 6.2
0
Jeżeli π = {B1 , . . . , Bk } oraz π 0 = {B10 , . . . , Bm
} są podziałami zbioru X, to
mówimy, że podział π jest drobniejszy od podziału π 0 (co zapisujemy π π 0 ),
gdy
^
_
Bi ⊆ Bj0
i∈{1,...,k} j∈{1,...,m}
Relacja zdefiniowana w zbiorze podziałów zbioru X jest relacją porządkującą. Zbiór wszystkich podziałów zbioru X oznaczamy symbolem Π(X).
A więc zbiór (Π(X), ) jest zbiorem uporządkowanym.
Uwaga 6.1
Niech X = {x1 , . . . , xn }. Podziałem najdrobniejszym zbioru X jest podział
π = {{x1 }, . . . , {xn }}. Podziałem ”najgrubszym” jest podział π = {X}.
Niech dana będzie relacja równoważności ∼. Wówczas zbiór wszystkich klas
abstrakcji oznaczamy symbolem X/∼ . Zauważmy, że dla klas abstrakcji zachodzą warunki:
(a) dla każdego x ∈ X: x ∈ [x]
(b) ([x] ∩ [y] 6= Ø) ⇒ ([x] = [y])
a więc zbiór klas abstrakcji relacji ∼ jest podziałem zbioru X.
Uwaga 6.2
Podział π = {B1 , . . . , Bk } zbioru X wyznacza relację równoważności ∼. Relację tę definiujemy:
x∼y ⇔
_
i∈{1,...,k}
x, y ∈ Bi
Twierdzenie 6.1
Jeśli R, R0 są relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π 0 ,
to π π 0 ⇔ R ⊆ R0 .
Dowód: ( ⇒ )
Załóżmy, że π π 0 , π = {B1 , . . . , Bk }, π 0 = {B1 , . . . , Bm }. Należy pokazać,
że R ⊆ R0 .
(x, y) ∈ R ⇒
_
i∈{1,...,k}
x, y ∈ Bi ⇒
_
x, y ∈ Bi ⊆ Bj ⇒ (x, y) ∈ R0
j∈{1,...,m}
Dowód implikacji w przeciwną stronę przebiega podobnie.
Uwaga 6.3
Niech π, π 0 będą podziałami zbioru X. Zdefiniujmy podział π 00 następująco:
π 00 = {Bi ∩ Bj0 : Bi ∈ π ∧ Bj ∈ π 0 } \ {Ø}
Tak zdefiniowany podział jest drobniejszy od podziałów π i π 0 . Ponadto π 00
jest kresem dolnym pary (π, π 0 ).
Niech teraz relacje R, R0 będą relacjami równoważności wyznaczonymi przez
podziały π, π 0 i niech R∗ będzie przechodnim domknięciem relacji R ∪ R0 .
Wówczas kresem górnym pary (π, π 0 ) jest podział odpowiadający relacji R∗ .
7. Liczby Stirlinga II rodzaju
Definicja 7.1
Liczby podziałów zbioru n-elementowego na k bloków nazywamy liczbami
Stirlinga II rodzaju i oznaczamy symbole S(n, k)
Defincja 7.2
Niech dany będzie zbiór uporządkowany (P, ¬). Rangą elementu a ∈ P nazywamy największą długość łańcucha zawartego w zbiorze {x ∈ P : x ¬ a}
Uwaga 7.1
Niech Π(X) oznacza zbiór wszystkich podziałów zbioru X. Wówczas S(n, k)
jest liczbą elementów rangi n − k w zbiorze Π(X).
Twierdzenie 7.1
Liczby Stirlinga drugiego rodzaju spełniają następujące zależności:
(a) S(n, n) = 1, dla n ­ 0
(b) S(n, 0) = S(0, k) = 0, dla n, k > 0
(c) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k), dla 0 < k < n
Dowód:
Niech X = {x1 , . . . , xn }.
(a)
S(n, n) oznacza podział n-elementowego zbioru X na n bloków. Jest jeden
taki podział: π = {{x1 }, . . . , {xn }}.
(b)
S(n, 0) oznacza liczbę podziałów zbioru n-elemetowego na 0 bloków, zaś
S(0, k) - liczbę podziałów zbioru pustego na k bloków.
(c)
Niech Πk (X) będzie rodziną podziałów zbioru X na k bloków oraz niech
X = {1, . . . , n} oraz Y = {1, . . . , n − 1}.
Przedstawmy zbiór Πk (X) w postaci sumy zbiorów A ∪ B.
Niech A będzie rodziną wszystkich podziałów na k bloków, takich że liczba
n tworzy oddzielny blok i niech B = Πk (X) \ A.
Jeśli podział π = {B1 , . . . , Bk−1 , n} ∈ A to przyporządkujemy mu podział
π 0 = {B1 , . . . , Bk−1 } ∈ Πk−1 (Y ).
Ten proces jest odwracalny, gdyż jeśli π = {B1 , . . . , Bk−1 } ∈ Πk−1 (Y ), to
podziałowi π przyporządkujemy podział π 0 = {B1 , . . . , Bk−1 , n} ∈ A.
Stąd |A| = |Πk−1 (Y )|.
Rozpatrzmy teraz zbiór B. Załóżmy, że π ∈ B, a więc π = {B1 , . . . , Bk }.
Załóżmy, że n ∈ Bk .
Podziałowi π przyporządkujemy podział π 0 = {B1 , . . . , Bk−1 , Bk \ {n}}.
A więc π 0 jest podziałem na k bloków zbioru (n − 1)-elementowego, czyli
π 0 ∈ Πk (Y ).
Spróbujmy odrócić to postępowanie. Niech π ∈ Πk (Y ). Podziałowi π przyporządkujemy podział postaci πi0 = {B1 , . . . , Bi ∪ {n}, . . . , Bk }. Takiego przyporządkowania można dokonać na k sposobów. A więc |B| = |Πk (Y )| · k.
Ostatecznie
S(n, k) = |Πk (X)| = |A| + |B| = |Πk−1 (Y )| + |Πk (Y )| · k =
= S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k)
Twierdzenie 7.2
Niech |X| = n, |Y | = m|, n ­ m. Liczba wszystkich funkcji odwzorowujących
zbiór X na zbiór Y jest równa m!S(n, m).
Dowód:
Rozważmy dowolną funkcję f : X → Y . Zdefinujmy zbiory Dy = f −1 ({y}) =
{x ∈ X: f (x) = y}.
Ponieważ funkcja f jest ”na”, to każdy zbiór Dy jest niepusty. Ponadto:
(Dy ∩ Dz 6= Ø) ⇒ Dy = Dz
czyli
[
Dy = X
y∈Y
Dochodzimy do wniosku, że zbiory Dy są podziałem zbioru X na m bloków.
Niech teraz X = {B1 , . . . , Bm } i Y = {y1 , . . . , ym }. Zdefiniujmy funkcję
g: X → Y w następujący sposób: jeśli istnieje takie i ∈ {1, . . . , m}, że x ∈ Bi ,
to g(x) = yi .
Konstrukcja funkcji g pozwala wnioskować, że wszystkich funkcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest m!S(n, m).
Definicja 7.2
Liczbą Bella nazywamy liczbę wszystkich podziałów zbioru n-elementowego:
B(n) =
n
X
S(n, k)
k=0
8. Podziały liczb
Definicja 8.1
Podziałem liczby naturalnej n nazywamy układ n1 , . . . , nk , taki że:
n = n1 + . . . + nk . Podział liczby nazywamy partycją.
Twierdzenie 8.1
Ilość podziałów liczby n na składniki nie przekraczające r jest równa ilości
podziałów tej liczby na co najwyżej r składników.
Twierdzenie 8.2
Niech P (n) oznacza ilość wszystkich podziałów liczby n. Wówczas:
!
P (n) =
1
√ + Θ(1) ·
4 3
q
exp(π 2n/3)
n
gdzie Θ(1) oznacza ciąg zbieżny do zera, gdy n → ∞.