Wzory dla szeregu szczegółowego:
Transkrypt
Wzory dla szeregu szczegółowego:
Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: Wzory dla szeregu szczegółowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) (1) ->Średnia harmoniczna (6) ->Średnia harmoniczna (2) ->Średnia geometryczna ->Średnia geometryczna (7) (3) ->Mediana (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak w przypadku szeregu szczegółowego. -> W przypadku szeregów szczegółowych kwartyle pierwszy i trzeci Wzory dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: wyznacza się korzystając ze wzoru na medianą. Zbiorowość dzieli się na dwie równe części (pierwszą - której jednostki przyjmują ->Średnia arytmetyczna ważona wartości nie większe od mediany, drugą - złożoną z pozostałych (8) jednostek). Dla każdej z tych części można wyznaczyć medianę. Dla pierwszej części wartość j e j mediany odpowiada kwartylowi dolnemu, dla drugiej części - kwartylowi górnemu. ->Średnia harmoniczna (9) bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą medianą. ->Średnia geometryczna (10) -> Kwartyl górny (13) ->Kwartyl dolny gdzie (11) gdzie dolna granica przedziału zawierającego kwartyl górny, rozpiętość przedziału klasowego, liczebność klasy zawierającej kwartyl górny, - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl dolny, rozpiętość przedziału klasowego, - suma liczebności klas od pierwszej do t e j , która - liczebność klasy zawierającej kwartyl dolny, bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą kwartyl górny. - suma liczebności klas od pierwszej do t e j , która bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą kwartyl dolny ->Moda (14) -> Mediana gdzie (12) gdzie - dolna granica przedziału zawierającego medianę, rozpiętość przedziału klasowego, - liczebność klasy zawierającej medianę, dolna granica przedziału zawierającego modę, rozpiętość przedziału klasowego, liczebność klasy zawierającej modę, liczebność klasy poprzedzającej klasę zawierającą modę, liczebność klasy następującej po klasie zawierającej modę. 3.3. Miary zmienności Miary zmienności (zróżnicowania, dla szeregu szczegółowego rozproszenia, dyspersji) (16) charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod dla szeregu rozdzielczego punktowego względem badanej cechy. Podstawowe miary zmienności to: rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, (17) odchylenie ćwiartkowe. Rozstęp (R) charakteryzuje empiryczny obszar dla szeregu rozdzielczego przedziałowego zmienności badanej cechy. Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów poszczególnych wartości cechy od ich wartości średniej. Dla oznaczenia wariancji w próbie stosuje się s2, -> Odchylenie standardowe (19) natomiast dla ->Typowy klasyczny obszar zmienności cechy oznaczenia wariancji w populacji generalnej Współczynnik zmienności (18) odchyleń (20) (V) - jest wielkością niemianowaną Przyjmuje się, że jeśli V<10%, to cechy wykazują zróżnicowanie ->Współczynnik zmienności (21) statystycznie nieistotne. Duże wartości współczynnika zmienności świadczą o zróżnicowaniu, a więc niejednorodności zbiorowości. Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania części ->Odchylenie ćwiartkowe (22) jednostek pozostałej po odrzuceniu 25%jednostek o wartościach ->Typowy pozycyjny obszar zmienności cechy najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych. (23) ->Rozstęp (15) ->Wariancja Rys. 6. Rozkhd symetryczny, rozkład lewostronnie asymetryczny i rozkład prawostronnie asymetryczny 3.4. Miary asymetrii Dodatkowym elementem analizy struktury jest badanie asymetrii rozkładu. Jest no wskazane zwłaszcza wtedy, gdy dwie badane zbiorowości charakteryzują się podobnymi charakterystykami liczbowymi (np. dominantą) i rozproszeniem, a jednak dokładniejsza obserwacja szeregu wyklucza podobieństwo struktur rozważanych zbiorowości. położenie O stopniu i kierunku asymetrii wzglądem siebie średniej decyduje wzajemne arytmetycznej, mediany i dominanty. Współczynnik asymetrii (A) - im bliższy zera, tym słabsza asymetria rozkładu. Znak współczynnika mówi o kierunku asymetrii (A<0 - asymetria lewostronna, A>0 - asymetria prawostronna). (24) dla szeregu szczegółowego (25) dla szeregu rozdzielczego punktowego (26) dla szeregu rozdzielczego przedziałowego (27) Rys. 7. Różny stopień koncentracji cechy 3.5. Miary koncentracji Miary asymetrii pozwalają na opis kształtu struktury. Opis ten można uzupełnić poszczególnych o miary obserwacji koncentracji. wokół średniej Miarą jest skupienia współczynnik skupienia K. Im wyższa wartość K, tym bardziej wysmukła krzywa liczebności, czyli większa średniej. Małe wartości koncentracja wartości cechy wokół K wskazują natomiast na spłaszczenie rozkładu badanej cechy. Przyjmuje się, że jeżeli zbiorowość ma rozkład normalny, to K=3, bardziej spłaszczony od normalnego ma K<3, a bardziej wysmukły od normalnego K>3. (28) gdzie . dla szeregu szczegółowego (29) dla szeregu rozdzielczego punktowego (30) dla szeregu rozdzielczego przedziałowego (31) 3.6. Uwagi końcowe Średnia arytmetyczna jest najczęściej wykorzystywaną miarą jednak nie zawsze jest ona dobrym miernikiem tendencji centralnej. Średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy. Wartość średniej w przypadku, arytmetycznej kiedy największe może liczebności wprowadzać w błąd skupiają się najniższych lub najwyższych wartości cechy. Podobnie wokół wartość średniej arytmetycznej może wprowadzać w błąd, gdy wyznacza się średnią w przypadku rozkładów niejednorodnych (z kilkoma ośrodkami dominującymi). Ocenę poszczególnych rozkładu (kwartyle - usytuowanie pudełka, a zwłaszcza dzielącej go parametrów uzupełnia tzw. wykres pudełkowy („pudełko z wąsami"). Składa się on z prostokąta, którego dwa pionowe boki wskazują wartość kwartyla dolnego i górnego. Wewnątrz prostokąta zaznacza się medianę. Wykres usytuowany jest względem poziomej osi liczbowej ze skalą obejmującą pełny zakres wartości zbioru danych. Dodatkowo na wykresie zaznacza się wartości („wąsy"): Wykres pudełkowy dostarcza informacji o tendencji centralnej pionowej kreski), zmienności (długość pudełka i całego wykresu), asymetrii rozkładu (dysproporcje rozstępów pomiędzy bokami prostokąta a dzielącą go kreską oraz pomiędzy długością „wąsów") oraz wartościach w znacznym stopniu przekraczających przedział zmienności dla wartości typowych. Rys.10. Graficzna metoda wyznaczania kwartyli (histogram i diagram liczności skumulowanych) Rys.9. Graficzna metoda wyznaczania mody (histogram liczności)