9. Całka Riemanna a całka Lebesgue`a – rozwiązania

9. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a – rozwiązania
Ćw. 9.1 Niech P będzie dowolnym podziałem odcinka [0, 1], niech s będzie dowolnym
odcinkiem tego podziału. Wtedy:
– ms (f ) = inf{f (x); x ∈ s} = 0, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedną liczbę
wymierną,
– Ms (f ) = sup{f (x); x ∈ s} = 1, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedną liczbę
niewymierną.
Suma górna
U (f, P ) =
X
Ms · ∆s =
s∈P
X
1 · ∆s = 1
s∈P
jest różna od sumy dolnej
L(f, P ) =
X
ms · ∆s =
s∈P
X
0 · ∆s = 0,
s∈P
więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
f jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, bo Q, nQ ∈ B.
Z
f (x) dl(x) =
[0,1]
Z
1I[0,1]\Q (x) dl(x) = l([0, 1] \ Q) = 1.
Ćw. 9.2 Niech P będzie podziałem zawierającym odcinki o końcach w punktach całkowitych. Wówczas dla każdego n
inf{f (x); x ∈ [n, n + 1)} = sup{f (x); x ∈ [n, n + 1)} =
(−1)n
.
n
Dlatego f jest całkowalna w sensie Riemanna i
Z
f (x) dx =
X (−1)n
n∈N
n
(szereg zbieżny).
f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, bowiem nie istnieją
P
P
1
1
są równe odpowiednio n∈N 2n
i n∈N 2n−1
.
R
f + dl i
R
f − dl, gdyż
Ćw. 9.3 Na mocy twierdzenia o równości całki Riemanna i Lebesgue’a f nie jest całkowalna w sensie Riemanna, jeśli zbiór jej punktów nieciągłości jest miary (Lebesgue’a)
niezerowej. Pokażemy, że F jest zbiorem punktów nieciągłości funkcji 1IF .
Niech xn → x0 ∈ F , xn ∈
/ F dla każdego n (taki ciąg istnieje, bo zbiór [0, 1] \ F jest
gęsty w [0, 1]). Wówczas 1IF (xn ) = 0 dla każdego n, zaś 1IF (x0 ) = 1. Na mocy definicji
Heinego oznacza to, że 1IF nie jest ciągła we wszystkich punktach x0 ∈ F .