Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1
Jacek M. Jędrzejewski
Wstęp
W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia:
N – zbiór liczb naturalnych dodatnich,
N0 – zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Z – zbiór liczb całkowitych,
Q – zbiór liczb wymiernych,
R – zbiór liczb rzeczywistych,
2X – rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X,
Y X – zbiór wszystkich funkcji określonych w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.
ROZDZIAŁ 1
Wiadomości wstępne
1. Elementy teorii mnogości
W teorii mnogości (teorii zbiorów) pojęcia zbiór, element zbioru i relacja należenia do zbioru
są pojęciami pierwotnymi. W naszych rozważaniach przyjmujemy intuicyjne rozumienie tych
pojęć. Czasami możemy wymienić wszystkie elementy danego zbioru, częściej nie jest to możliwe.
Zbiór złożony z elementów a1 , a2 , . . . , an będziemy oznaczali
{a1 , a2 , . . . , an } .
Fakt, że element a należy do zbioru A, oznaczamy symbolem a ∈ A. Aby zaznaczyć, że
element x nie jest elementem zbioru A, stosujemy oznaczenie: x 6∈ A. Zatem
x 6∈ A ⇐⇒ (∼ x ∈ A) .
Pojęcie inkluzji dwóch zbiorów określamy następująco: zbiór A jest podzbiorem zbioru B
(A jest zawarty w B, B zawiera zbiór A, lub jeszcze inaczej B jest nadzbiorem zbioru A), gdy
każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B. Oznaczamy wówczas A ⊂ B. Mamy więc
A ⊂ B ⇐⇒
V
x
[(x ∈ A) =⇒ (x ∈ B)] .
O zbiorach A i B mówimy, że są równe, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru
B i odwrotnie; tak więc
(A = B) ⇐⇒ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)] .
Wygodny jest w wielu zastosowaniach pewien specjalny zbiór, mianowicie zbiór pusty (oznaczany symbolem ∅), tj. taki zbiór, który nie ma żadnego elementu. Zbiór pusty jest więc podzbiorem każdego zbioru. Istotnie, dla dowolnego zbioru A mamy
x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A.
Najczęściej zbiory zapisujemy w postaci
{x : ϕ(x)} ,
gdzie ϕ jest pewną funkcją zdaniową; symbol ten oznacza zbiór tych wszystkich elementów x,
dla których spełniona jest funkcja zdaniowa ϕ.
6
Jacek M. Jędrzejewski
Określimy teraz pewne działania na zbiorach: sumę zbiorów, przekrój, różnicę zbiorów i
dopełnienie zbioru następująco:
A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ,
A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} ,
A \ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x 6∈ B)} .
Jeśli X jest uniwersalnym zbiorem, czyli zbiorem, w którym są zawarte wszystkie rozważane
zbiory, zwanym często przestrzenią zbiorów, to dopełnieniem zbioru A do zbioru X nazywamy
zbiór
X \ A.
Jeśli ustalimy uniwersalny zbiór X, to dopełnienie zbioru A (oczywiście do zbioru X) oznaczamy
symbolem A0 .
Zacytujemy teraz kilkanaście podstawowych praw rachunku zbiorów.
(1) A ∪ B = B ∪ A,
(2) A ∩ B = B ∩ A,
(3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(5) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
(6) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
(7) (A ∪ A) = A,
(8) (A ∩ A) = A,
(9) (A ∪ ∅) = A,
(10) (A ∩ ∅) = ∅,
(11) (A ∩ B = A) ⇐⇒ A ⊂ B,
(12) (A ∪ B = B) ⇐⇒ A ⊂ B,
(13) (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 ,
(14) (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 .
Od tej chwili postaramy się odstąpić od intuicyjnego pojmowania dalszych pojęć. Będziemy
jednak opierali się na tzw. naiwnej teorii zbiorów.
Bardzo ważnym pojęciem matematycznym jest pojęcie pary uporządkowanej. Intuicyjnie
jest to pojęcie dość znane i proste. Niestety, precyzyjne określenie pary uporządkowanej nie jest
łatwe.
Parą uporządkowaną (a, b) nazywamy zbiór {{a, b, } {a}} .
Zauważamy, że
(a, b) = (b, a) ⇐⇒ a = b.
Notatki z analizy
7
Trudniej udowodnić, że
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ (a = c) ∧ (b = d).
Pojęcie pary uporządkowanej w istotny sposób jest wykorzystywany w definicji iloczynu
kartezjańskiego zbiorów A i B. Iloczyn ten oznaczany symbolem A × B, określamy następująco:
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Zbiór R × R możemy interpretować jako płaszczyznę kartezjańską (czyli płaszczyznę z układem współrzędnych).
Zauważamy bez trudu, że A × B 6= B × A; oczywiście poza przypadkiem, gdy A = B.
Poznamy teraz jedno z najważniejszych pojęć matematyki. Pojęciem tym jest relacja. Relacją między elementami zbioru A i elementami zbioru B nazywamy każdy podzbiór iloczynu
kartezjańskiego zbiorów A i B. W szczególności może to być relacja pusta, jak i relacja pełna
tj. A × B. Kilka typów innych relacji poznamy już za chwilę.
W ciągu dalszym zamiast pisać (x, y) ∈ R, gdzie R jest pewną relacją, będziemy pisali xRy
i mówili: element x jest w relacji R z elementem y.
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Relację R w zbiorze X (tzn. taką relację R, iż R ⊂ X × X,)
nazywamy relacją częściowego porządku w zbiorze X, jeśli spełnia ona następujące warunki:
(1)
V
(2)
V
(3)
V
x∈ (xRx),
x∈X
x∈X
V
V
y∈X
y∈X
((xRy ∧ yRx) =⇒ (x = y)) ,
V
z∈X
((xRy ∧ yRz) =⇒ (xRz)) .
Relację częściowego porządku najczęściej będziemy oznaczali symbolem ≺ lub ¬ .
Relację R częściowego porządku nazywamy relacją liniowego porządku, jeśli spełnia dodatkowy warunek
4.
V
x∈X
V
y∈X (xRy
∨ yRx).
Zbiór X wraz z częściowym porządkiem nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym.
Zbiór X wraz z liniowym porządkiem nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym.
Przykładem relacji częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w rodzinie (tj.
zbiorze) podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X. Relacją liniowego porządku jest na przykład
zwykła relacja niewiększości w zbiorze liczb rzeczywistych.
Jeśli a ≺ b, to mówimy, że element a jest niewiększy od elementu b lub, że element b jest
niemniejszy od elementu a.
Jeśli a ≺ b i a 6= b, to mówimy, że element a jest mniejszy od elementu b lub, że element b
jest większy od elementu a.
8
Jacek M. Jędrzejewski
Element a w zbiorze częściowo uporządkowanym X nazywamy elementem najmniejszym,
jeśli każdy element x należący do zbioru X jest niemniejszy od elementu a.
Podobnie definiuje się element największy w zbiorze częściowo uporządkowanym.
Oczywiście, nie w każdym zbiorze z częściowym porządkiem istnieją elementy najmniejszy i
największy. Jeśli jednak istnieje element największy, to jest tylko jeden. Podobnie, jeśli istnieje
element najmniejszy, to jest jedynym takim elementem.
Niech (X, ≺) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i A niepustym podzbiorem zbioru X.
Element c ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli dla każdego elementu a ∈ A
spełniona jest nierówność c ≺ a.
Element c ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym niepustego zbioru A, jeśli dla każdego
elementu a ∈ A spełniona jest nierówność a ≺ c.
Najmniejszy element spośród wszystkich ograniczeń górnych niepustego zbioru A, o ile taki
istnieje, nazywamy kresem górnym zbioru A.
Symbolicznie: c = sup A, jeśli
(1)
V
(2)
V
a∈A (a
d∈X
≺ c),
V
(
a∈A
(a ≺ d =⇒ c ≺ d)) ,
Podobnie definiujemy kres dolny zbioru. Mamy więc: d = inf A, jeśli
(1)
V
(2)
V
a∈A (d
d∈X
≺ a),
V
(
a∈A
(b ≺ a =⇒ b ≺ d)) ,
Kres górny zbioru A nazywamy też często supremum zbioru A.
Kres dolny zbioru A nazywamy też często infimum zbioru A.
Jeśli kres górny zbioru A należy do zbioru A, to jest on jednocześnie elementem największym
w zbiorze A. Jeśli kres dolny zbioru A należy do zbioru A, to jest on też elementem najmniejszym
w zbiorze A.
Relacją dobrego porządku w zbiorze X nazywamy każdą relację liniowego porządku o tej
własności, że każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy.
Jednym z najważniejszych pojęć matematyki jest relacja równoważności.
Relację R ⊂ X × X nazywamy relacją równoważności w zbiorze X, jeśli spełnia ona następujące warunki:
(1)
V
(2)
V
(3)
V
x∈X (xRx),
x∈X
x∈X
V
V
y∈X
y∈X
((xRy) =⇒ (yRx)) ,
V
z∈X
((xRy ∧ yRz) =⇒ xRz) .
Notatki z analizy
9
2. Funkcje
Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy każdą
relację f ⊂ X × Y, która spełnia następujące warunki:
(1)
V
(2)
V
x∈X
x∈X
W
V
y∈Y
y1 ∈Y
((x, y) ∈ f ) ,
V
y2 ∈Y
(((x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ) =⇒ y1 = y2 ) .
Funkcję tę oznaczamy symbolem f : X −→ Y , zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f (polem
lub zbiorem argumentów), zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.
Z warunku 2 powyższej definicji wynika, że dla danego elementu x zbioru X istnieje dokładnie jeden element y w zbiorze Y taki, że (x, y) ∈ f. Ten jedyny element y, który odpowiada
danemu elementowi x nazywamy wartością funkcji f w punkcie x i oznaczamy jako f (x). Element x nazywamy argumentem funkcji f. Piszemy wówczas
y = f (x),
zamiast (x, y) ∈ f.
Nie zawsze dla każdego elementu y ze zbioru Y istnieje element x ∈ X taki, że y = f (x).
Jeśli spełniony jest warunek
V
y∈Y
W
x∈X
(y = f (x)) ,
to mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i ten ostatni zbiór jest zbiorem
wartości funkcji f. Czasem taką funkcję nazywamy też surjekcją.
Niech f : X −→ Y będzie dowolną funkcją. Dla zbiorów A ⊂ X i B ⊂ Y określamy zbiory
f (A) = {y ∈ Y :
W
x∈A (y
= f (x))} ,
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} .
Zbiór f (A) nazywamy obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f.
Zbiór f −1 (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez funkcję f.
Zbiór f (X) nazywamy zbiorem wartości funkcji f : X −→ Y .
Oczywiście funkcja f : X −→ Y odwzorowuje X na zbiór Y, wtedy i tylko wtedy, gdy
f (X) = Y.
Funkcję f : X −→ Y nazywamy różnowartościową lub injekcją, jeśli
V
x1 ∈X
V
x2 ∈X
(x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )) ,
x2 ∈X
(f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ) .
lub, co na jedno wychodzi
V
x1 ∈X
V
Funkcję f : X −→ Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli jest funkcją
różnowartościową i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, czyli jest surjekcją i injekcją.
10
Jacek M. Jędrzejewski
Niech teraz dane będą dwie funkcje
f : X −→ Y ,
g : Y −→ Z.
Zauważamy, że wzór
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
określa pewną funkcję określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Z. Nazywamy ją superpozycją lub złożeniem funkcji g i f, przy czym funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną,
funkcję g – funkcją zewnętrzną.
Zauważmy, że dla funkcji
f : X −→ Y ,
g : Y −→ Z,
h : Z −→ U ,
możliwe są złożenia
h ◦ (g ◦ f ), (h ◦ g) ◦ f.
Jeżeli obliczymy wartości tych funkcji w dowolnym punkcie zbioru X, to okaże się, że są one
równe. Zatem można powiedzieć, że składanie funkcji jest działaniem łącznym.
Niech R będzie dowolną relacją w iloczynie X × Y. Relację
R−1 ⊂ Y × X
określoną następująco:
(y, x) ∈ R−1 ⇐⇒ (x, y) ∈ R
nazywamy relacją odwrotną do relacji R. Oczywiście dla każdej relacji istnieje relacja do niej
odwrotna.
Niech teraz f : X −→ Y będzie dowolną funkcją. Istnieje relacja odwrotna f −1 do relacji
f ; jeśli jest ona funkcją, to nazywamy ją funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy, zgodnie
z przyjętym wyżej sposobem, symbolem f −1 . Zauważmy, że funkcja f : X −→ Y ma funkcję
odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Jeśli f : X −→ Y jest dowolną funkcją, zbiór A jest podzbiorem zbioru X, to
f|A = {(x, y) ∈ X × Y : (x, y) ∈ f ∧ x ∈ A}
jest funkcją określoną na zbiorze A. Funkcję tę nazywamy obcięciem funkcji f do zbioru A, lub
funkcją f obciętą do zbioru A.
Symbolem idX oznaczamy funkcję tożsamościową tzn. funkcję określoną wzorem
idX (x) = x dla x ∈ X.
Notatki z analizy
11
Poniżej przedstawimy niektóre własności funkcji, z których w dalszym ciągu będziemy korzystali.
Własność 1.1. Dla funkcji f : X −→ Y i podzbiorów A1 i A2 zbioru X spełnione są
zależności:
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ) ,
f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ) ,
f (A1 ) \ f (A2 ) ⊂ f (A1 \ A2 ) ,
A1 ⊂ A2 =⇒ f (A1 ) ⊂ f (A2 ) .
Własność 1.2. Dla funkcji f : X −→ Y i podzbiorów B1 i B2 zbioru Y spełnione są
zależności:
f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) ,
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) ,
f −1 (B1 \ B2 ) = f −1 (B1 ) \ f −1 (B2 ) ,
B1 ⊂ B2 =⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ) .
Własność 1.3. Dla dowolnej funkcji f : X −→ Y i rodziny zbiorów {At : t ∈ T } , gdzie
At ⊂ X dla t ∈ T, spełniona jest równość
!
[
f
At =
t∈T
[
f (At ) .
t∈T
Własność 1.4. Dla dowolnej funkcji f : X −→ Y i rodziny zbiorów {Bt : t ∈ T } , gdzie
Bt ⊂ Y dla t ∈ T, spełniona jest równość
!
f
−1
[
Bt =
t∈T
[
f −1 (Bt ) .
t∈T
Własność 1.5. Dla funkcji f : X −→ Y oraz zbioru A ⊂ X spełniony jest warunek
A ⊂ f −1 (f (A)) .
Zauważmy, że inkluzji w powyższym wzorze nie można zastąpić równością. Jeśli jednak
założymy dodatkowo, że funkcja f jest różnowartościowa, to
f −1 (f (A)) = A.
Własność 1.6. Dla funkcji f : X −→ Y oraz zbioru B ⊂ Y spełniony jest warunek
f f −1 (B) = B ∩ f (X).
Łatwo podać przykład ilustrujący, że w powyższej równości po prawej stronie nie można
opuścić przekroju ze zbiorem f (X). Jeśli jednak funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y, to
f f −1 (B) = B.
12
Jacek M. Jędrzejewski
Własność 1.7. Niech dane będą funkcje
f : X −→ Y
g : Y −→ Z;
i
oznaczmy jeszcze h = g ◦ f. Jeśli A ⊂ X i B ⊂ Y, to
h(A) = g (f (A))
oraz
h−1 (B) = f −1 g −1 (B) .
Własność 1.8. Złożenie dwu injekcji (funkcji różnowartościowych) jest injekcją (funkcją
różnowartościową).
Własność 1.9. Złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją.
Własność 1.10. Złożenie dwu bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych) jest bijekcją
(funkcją wzajemnie jednoznaczną).
Własność 1.11. Dla dowolnej bijekcji f : X −→ Y
f ◦ f −1 = idY
i
f −1 ◦ f = idX .
3. Zasada abstrakcji
Zajmiemy się teraz jedną z najważniejszych relacji w całej matematyce. Jest nią relacja
równoważności. Definicja była podana wcześniej, nie podajemy jej więc powtórnie.
W całym rozdziale rozważamy relację równoważności R w zbiorze X.
Dla elementu a ∈ X zbiór
{x ∈ X : xRa}
oznaczamy symbolem [a] i nazywamy klasą abstrakcji elementu a.
Twierdzenie 1.1. Dwie klasy abstrakcji są równe lub rozłączne.
Twierdzenie 1.2. Dla dowolnej relacji równoważności R w zbiorze X spełniona jest równość:
[
[x] = X.
x∈X
Dowód. Zawieranie
[
[x] ⊂ X.
x∈X
jest oczywiste, bo wszystkie klasy abstrakcji są podzbiorami zbioru X.
Niech teraz x będzie dowolnym elementem zbioru X. Wówczas, oczywiście, x ∈ [x], co
dowodzi zawierania odwrotnego.
Tak więc każda relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrakcji. Elementy
w danej klasie nie są rozróżnialne pod względem tej relacji. Otrzymujemy w ten sposób zbiór
Notatki z analizy
13
(rodzinę) klas abstrakcji; elementy w tym zbiorze (same są zbiorami) są rozłączne, więc są to
elementy różne.
Następne twierdzenie uzupełnia powyższe rozważenia.
Twierdzenie 1.3. Niech teraz X będzie dowolnym zbiorem niepustym, {At }t∈T pewną rodziną pozbiorów zbioru X taką, że
[
At = X.
t∈T
At1 ∩ At2 = ∅ gdy t1 6= t2 .
Wówczas istnieje relacja równoważności R w zbiorze X taka, że każda klasa abstrakcji jest
jednym ze zbiorów At i odwrotnie każdy zbiór At jest pewną klasą abstrakcji.
4. Moc zbioru. Zbiory przeliczalne
Definicja 1.2. Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja wzajemnie
jednoznaczna przekształcająca zbiór A na B.
Z definicji wynika, że dla zbiorów równolicznych A i B istnieje też funkcja wzajemnie jednoznaczna przekształcająca zbiór B na A.
Ponieważ funkcja tożsamościowa na jakimkolwiek zbiorze A jest wzajemnie jednoznaczna,
więc każdy zbiór jest równoliczny z nim samym.
Załóżmy teraz, że zbiory A i B są równoliczne oraz, że zbiory B i C też są równoliczne.
Istnieją więc funkcje wzajemnie jednoznaczne
f : A −→ B,
h : B −→ C,
zatem funkcja
h ◦ f : A −→ C
jest funkcją wzajemnie jednoznaczną ze zbioru A do zbioru C. Oznacza to, że zbiory A i C są
równoliczne.
Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie:
Twierdzenie 1.4. Równoliczność zbiorów jest relacją równoważności w rodzinie podzbiorów
pewnego zbioru.
Uwaga 1. Równoliczność wszystkich zbiorów nie jest relacją w sensie podanym przez nas,
bowiem nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.
Uwaga 2. W rodzinie podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X równoliczność jest relacją
i to relacją równoważności. Dzieli ona tę rodzinę na klasy abstrakcji, nazywamy je mocami
odpowiednich zbiorów. Oznaczamy moc zbioru A symbolem card(A) lub A.
Definicja 1.3. Zbiór A nazywamy przeliczalnym, jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb
naturalnych. Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest skończony lub przeliczalny.
14
Jacek M. Jędrzejewski
Najczęściej jednak będziemy używali terminu przeliczalny zamiast co najwyżej przeliczalny.
Twierdzenie 1.5. Zbiór A jest co najwyżej przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
jego elementy można ustawić w ciąg.
Twierdzenie 1.6. Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.
Twierdzenie 1.7. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.
Stosując indukcję matematyczną można dowieść, że iloczyn kartezjański dowolnej skończonej
liczby zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.
Podobnie jak poprzednie twierdzenie można udowodnić:
Twierdzenie 1.8. Suma przeliczalnej ilości zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem
co najwyżej przeliczalnym.
Wnioskami z tego twierdzenia są:
Wniosek 1.1. Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 1.2. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
Nie wszystkie zbiory są przeliczalne. Istnieją zbiory takie, że nie można ustawić w ciąg
wszystkich ich elementów. Zbiory takie nazywamy nieprzeliczalnymi.
Twierdzenie 1.9. Zbiór R liczb rzeczywistych nie jest zbiorem przeliczalnym.
Definicja 1.4. Mówimy, że zbiór A jest mocy nie większej niż moc zbioru B, co oznaczamy
card(A) ¬ card(B), jeśli istnieje podzbiór D zbioru B, który jest równoliczny ze zbiorem A.
Twierdzenie 1.10. (Cantora-Bernsteina) Jeśli
card(A) ¬ card(B)
i
card(B) ¬ card(A),
to
card(A) = card(B).
Opowiadając o mocach zbiorów (liczbach kardynalnych) nie można nie wspomnieć o hipotezie continuum. Udowodniliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Umówiono
się, że moc tego zbioru oznacza się gotycką literą c i nazywa „continuum”. Oczywiście nie jest
to jednoznaczne z tym, że pomiędzy mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych nie ma innych liczb kardynalnych. Hipoteza continuum mówi, że nie ma zbiorów o
mocach większych niż moc zbioru liczb naturalnych i mniejszych niż moc zbioru liczb rzeczywistych. Przez długie lata nie było wiadomo, czy tak jest, jednak w latach 60-tych XX. wieku
udowodniono, że istnieją modele teorii mnogości, w których hipoteza continuum jest jednym z
aksjomatów, jak również istnieją modele, w których jej zaprzeczenie jest aksjomatem.
Notatki z analizy
15
5. Liczby rzeczywiste
Podamy teraz zestaw aksjomatów opisujący (z dokładnością do izomorfizmu) zbiór liczb
rzeczywistych.
Niech R będzie zbiorem zawierającym co najmniej dwa elementy i + oraz · będą dwoma
działaniami w zbiorze R, tzn. funkcjami postaci:
+ : R × R −→ R,
· : R × R −→ R.
Jak zwykle, wartość funkcji + dla pary (a, b) ∈ R×R oznaczać będziemy jako a+b i nazywać
sumą elementów a i b oraz czytać a plus b. Podobnie, wartość funkcji · dla pary (a, b) ∈ R × R
oznaczać będziemy jako a · b lub krócej ab; wynik ten nazywać będziemy iloczynem liczb a i b,
a czytać będziemy a razy b.
• Aksjomaty ciała przemiennego
C.1 x + y = y + x,
C.2 (x + y) + z = x + (y + z),
C.3
W
C.4
V
C.5
V
0∈R
V
x∈R
x∈R (x
W
y∈R (x
x,y∈R (x
+ 0 = x),
+ y = 0),
· y = y · x),
C.6 (x · y) · z = x · (y · z),
C.7
W
C.8
V
1∈R
V
x∈R (x
x∈R\{0}
W
· 1 = x),
y∈R (x
· y = 1),
C.9 (x + y) · z = (xz) + (yz).
Działania + i · nazywamy dodawaniem i mnożeniem w zbiorze R. Element 0 nazywamy
zerem; element 1 nazywamy jedynką lub jednością ciała R. Element y z aksjomatu 4 nazywamy
elementem przeciwnym do x oraz oznaczamy −x; natomiast element y z aksjomatu 8 nazywamy
elementem odwrotnym do x i oznaczamy jako x−1 lub x1 .
Strukturę algebraiczną określoną za pomocą tych aksjomatów nazywamy ciałem; stąd częsta
nazwa – ciało liczb rzeczywistych.
W zbiorze R określona jest relacja liniowego porządku ¬ mająca następujące własności:
• Aksjomaty porządku
P.1 ((x ¬ y) ∧ (y ¬ x)) =⇒ x = y,
P.2 (x ¬ y) =⇒ (x + z ¬ y + z),
P.3 ((0 ¬ x) ∧ (0 ¬ y)) =⇒ 0 ¬ xy,
P.4 ((x ¬ y) ∧ (y ¬ z)) =⇒ x ¬ z.
16
Jacek M. Jędrzejewski
Często będziemy używali oznaczenia x < y zamiast koniunkcji x ¬ y i x 6= y.
Przypomnimy teraz kilka pojęć związanych ze zbiorami uporządkowanymi. Przedstawimy
je w wersji wygodnej dla zbioru R spełniającego powyżej zapisane aksjomaty.
Podzbiór A zbioru R nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba c ∈ R taka, że
a ¬ c dla każdej liczby a ze zbioru A. Każdą taką liczbę nazywamy ograniczeniem górnym
zbioru A. Podobnie określamy zbiór ograniczony z dołu i ograniczenie dolne.
Zbiór liczb rzeczywistych z relacją ¬ jest zbiorem liniowo uporządkowanym.
Dla zbioru A, zawartego w zbiorze R, kresem górnym nazywamy (o ile istnieje) liczbę d ∈ R
taką, że
V
V
c∈R
V
a∈A
a∈A
a¬d ,
(a ¬ c) =⇒ (d ¬ c)
.
Często można znaleźć inaczej sformułowany warunek dla kresu górnego. Jest on następujący:
Liczba d ∈ R jest kresem górnym zbioru A, jeśli
V
V
c<d
a∈A (a
W
a∈A (c
¬ d),
< a ¬ d),
lub jeszcze inaczej:
Liczba d ∈ R jest kresem górnym zbioru A, jeśli
V
V
ε>0
W
a∈A (a
a∈A (d
¬ d),
− ε < a ¬ d),
Kres górny zbioru A oznaczamy jako sup A.
W ten sam sposób definiuje się kres dolny podzbioru A ciała liczb rzeczywistych, który
oznaczamy inf A.
• Aksjomat kresu górnego
P.5 Każdy niepusty ograniczony z góry zbiór A ⊂ R ma kres górny.
Często będziemy mówili, że jeśli zbiór A jest nieograniczony z góry, to sup A = ∞. Podobnie,
będziemy mówili, że jeśli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to inf A = −∞.
Każdy zbiór spełniający warunki opisane w powyższych aksjomatach nazywamy zbiorem
liczb rzeczywistych.
Dowodzi się, że taki zbiór istnieje i z „dokładnością do izomorfizmu” jest jedyny.
Notatki z analizy
17
Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, dla których spełniona
jest nierówność podwójna:
a < x < b.
Przedziałem domkniętym [a, b] nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, dla których spełniona jest nierówność podwójna:
a ¬ x ¬ b.
Przedziałem otwarto-domkniętym (a, b] nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, które spełniają nierówność podwójna:
a < x ¬ b.
Przedziałem domknięto-otwartym [a, b) nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, które spełniają nierówność podwójna:
a ¬ x < b.
Wielokrotnie będziemy używali terminu otoczenie punktu. Pojęcie to jest bardzo ważnym
terminem matematycznym, z którym będziemy spotykali się w topologii bardzo często. Otoczeniem punktu x nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt lub ogólniej – każdy
zbiór zawierający przedział otwarty postaci (x − δ, x + δ) dla pewnej liczby dodatniej δ.
Podzbiór E zbioru liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem otwartym, jeśli każdy element
tego zbioru ma otoczenie zawarte w zbiorze E.
Łatwo zauważyć, że przekrój dwóch zbiorów otwartych jest też zbiorem otwartym oraz suma
dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Na zakończenie tego rozdziału warto podać definicję i pewne własności wartości bezwzględnej (modułu) liczby rzeczywistej.
Dla x ∈ R określamy:


|x| = 
x
gdy x ­ 0,
−x gdy x < 0.
Dla dowolnych liczb x i y mamy wtedy:
| − x| = |x|,
|x·y| = |x| · |y|,
|x + y| ¬ |x| + |y|,
|x| < a ⇐⇒ −a < x < a, gdy a > 0,
|x| > a ⇐⇒ (x < −a ∨ a < x), gdy a > 0.
|x| ¬ a ⇐⇒ −a ¬ x ¬ a, gdy a ­ 0,
|x| ­ a ⇐⇒ (x ¬ −a ∨ a ­ x), gdy a ­ 0.
18
Jacek M. Jędrzejewski
Wartość |x − y| nazywamy odległością punktów (liczb) x i y. Odległość ta ma następujące
własności:
|x − y| ­ 0,
|x − y| = 0 ⇐⇒ x = y,
|x − y| = |y − x|,
|x − y| ¬ |x − z| + |z − y|.
ROZDZIAŁ 2
Ciągi liczbowe
1. Ogólne własności ciągów
Ciągiem liczbowym nazywamy każdą funkcję rzeczywistą a, której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych dodatnich. Stosujemy zapis (an )∞
n=1 na oznaczenie ciągu a, w którym wartość
funkcji a w punkcie n jest równa an . Liczbę tę nazywamy n-tym wyrazem ciągu (an )∞
n=1 , n
nazywamy wskaźnikiem lub indeksem wyrazu an .
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wyrazów (obraz zbioru N wyznaczony
przez funkcję a) jest ograniczony; oznacza to po prostu, że istnieją liczby c i d takie, że dla
wszystkich n ∈ N spełniona jest nierówność podwójna:
c ¬ an ¬ d.
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy rosnącym, jeśli
V
n∈N
(an < an+1 ).
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy malejącym, jeśli
V
n∈N
(an > an+1 ).
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy niemalejącym, jeśli
V
n∈N
(an ¬ an+1 ).
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy nierosnącym, jeśli
V
n∈N
(an ­ an+1 ).
Ciągi tego typu tj. rosnące, malejące, niemalejące i nierosnące obejmujemy wspólną nazwą
ciągów monotonicznych.
∞
Niech x = (xn )∞
n=1 będzie dowolnym ciągiem liczbowym i n = (nk )k=1 – dowolnym ciągiem
rosnącym złożonym z liczb naturalnych. Wtedy można utworzyć złożenie x ◦ n. Otrzymujemy
w ten sposób ciąg liczbowy, który nazywamy podciągiem ciągu (xn )∞
n=1 . Ciąg ten oznaczamy
symbolem (xnk )∞
k=1 , k-ty wyraz tego podciągu zapisujemy jako xnk .
20
Jacek M. Jędrzejewski
∞
∞
Inaczej mówiąc, ciąg (yk )∞
k=1 jest podciągiem ciągu (xn )n=1 , jeśli istnieje rosnący ciąg (nk )k=1
liczb naturalnych taki, że
yk = xnk .
Lemat 2.1. Jeśli (nk )∞
k=1 jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to nk ­ k dla każdego
k ∈ N.
2. Ogólne własności ciągów zbieżnych
Definicja 2.1. Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy zbieżnym do liczby g, jeśli
V
ε>0
W V
n0
n­n0
(|an − g| < ε) .
Mówimy wtedy również, że g jest granicą ciągu (an )∞
n=1 , co oznaczamy symbolicznie
an −→ g,
lim an = g.
lub
n→∞
Definicję tę można wyrazić dość prosto posługując się terminami otoczeń i zwrotu „prawie wszystkie”. Mówiąc, że prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają jakiś warunek, mamy na
uwadze, że poza skończoną liczbą wyrazów danego ciągu wszystkie pozostałe spełniają ten
warunek.
Otóż, ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia
liczby g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w tym otoczeniu.
Definicja 2.2. Będziemy mówili, że ciąg (an )∞
n=1 spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli
V
ε>0
W V
n0
n­n0
V
m­n0
(|an − am | < ε) .
Własność 2.1. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Własność 2.2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Własność 2.3. Każdy ciąg stały jest zbieżny.
Własność 2.4. Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Własność 2.5. Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.
3. Własności rachunkowe ciągów zbieżnych
∞
Własność 2.6. Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 spełniają warunek:
W V
n0
i an −→ a, bn −→ b, to a ¬ b.
n­n0
(an ¬ bn )
Notatki z analizy
21
∞
Twierdzenie 2.1. (Twierdzenie o trzech ciągach) Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są zbieżne
do wspólnej granicy g oraz ciąg (cn )∞
n=1 spełnia warunek
W
n0 ∈N
V
n­n0
(an ¬ cn ¬ bn ) ,
to ciąg (cn )∞
n=1 jest zbieżny do liczby g.
∞
Twierdzenie 2.2. Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są zbieżne, to ciągi
∞
∞
(an + bn )∞
n=1 , (an − bn )n=1 i (an · bn )n=1
też są zbieżne i
lim (an + bn ) = n→∞
lim an + n→∞
lim bn ,
n→∞
lim (an − bn ) = n→∞
lim an − n→∞
lim bn ,
n→∞
lim (an · bn ) = n→∞
lim an · n→∞
lim bn .
n→∞
Twierdzenie 2.3. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby różnej od zera i wszystkie wyrazy
tego ciągu są różne od zera, to ciąg
∞
1
an n=1
lim
n→∞
1
an
jest zbieżny i
1
=
limn→∞ (an )
.
Z ostatnich dwóch własności wynika teraz:
∞
∞
Wniosek 2.1. Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są zbieżne, przy czym ciąg (bn )n=1 ma granicę
różną od zera i wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera, to ciąg
∞
an
bn n=1
jest zbieżny i
an
limn→∞ an
=
.
n→∞ b
limn→∞ bn
n
lim
Definicja 2.3. Liczbę g ∈ R nazywamy punktem skupienia ciągu (an )∞
n=1 , jeśli dla każdej
liczby ε > 0 i dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna kn > n taka, że
g − ε < akn < g + ε.
Łatwo zauważamy, że liczba g jest punktem skupienia ciągu (an )∞
n=1 wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje podciąg ciągu (an )∞
n=1 zbieżny do g.
4. Dalsze własności ciągów zbieżnych
Warto tu podać definicję punktu skupienia zbioru. Między pojęciami punktu skupienia
ciągu i punktu skupienia zbioru wyrazów danego ciągu istnieje ważna różnica, o której należy
tu wspomnieć.
Definicja 2.4. Punkt x ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru E ⊂ R, jeśli istnieje
ciąg (xn )∞
n=1 elementów zbioru E zbieżny do x i taki, że xn 6= x dla każdej liczby n ∈ N. Zbiór
wszystkich punktów skupienia zbioru E oznaczamy symbolem E d .
22
Jacek M. Jędrzejewski
Punkt skupienia ciągu nie musi być punktem skupienia zbioru wartości tego samego ciągu.
n
Rozważając ciąg (xn )∞
n=1 , dla którego xn = (−1) , dla n ∈ N, stwierdzamy, że zbiorem
wyrazów tego ciągu jest {−1, 1}, który nie ma żadnego punktu skupienia, natomiast każda z
liczb 1, −1 jest punktem skupienia rozważanego ciągu.
Jeśli jednak element x jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu (xn )∞
n=1 , to jest on też
punktem skupienia tego ciągu.
Własność 2.7. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Definicja 2.5. Ciąg przedziałów ([an , bn ])∞
n=1 nazywamy zstępującym, jeśli
V
n∈N
([an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]) ,
Twierdzenie 2.4. (Ascoli) Jeśli ciąg niepustych przedziałów domkniętych
([an , bn ])∞
n=1
jest zstępujący, to istnieje liczba d taka, że
d∈
∞
\
[an , bn ].
n=1
Twierdzenie 2.5. (Bolzano, Weierstrass) Każdy ciąg ograniczony ma punkt skupienia.
Z dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika, że istnieją najmniejszy i największy
punkt skupienia ciągu ograniczonego.
∞
Największy punkt skupienia ciągu (an )∞
n=1 nazywamy granicą górną ciągu (an )n=1 i ozna-
czamy symbolem
lim sup an
n−→∞
lub
limn−→∞ an .
∞
Najmniejszy punkt skupienia ciągu (an )∞
n=1 nazywamy granicą dolną ciągu (an )n=1 i ozna-
czamy symbolem
lim inf an
n−→∞
lub
limn−→∞ an .
Zauważmy, że jeśli g = lim supn→∞ an , to dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba
naturalna n0 taka, że
an < g + ε
gdy
n ­ n0 .
Notatki z analizy
23
Podobnie, jeśli g = lim inf n→∞ an , to dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna
n0 taka, że
g − ε < an
n ­ n0 .
gdy
Lemat 2.2. Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Lemat 2.3. Ciąg spełniający warunek Cauchy’ego i posiadający podciąg zbieżny jest zbieżny.
Twierdzenie 2.6. (Cauchy) Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
spełnia warunek Cauchy’ego.
5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności
Ciągi rozbieżne do plus lub minus nieskończoności stanowią uzupełnienie teorii granic ciągów. Poznamy teraz niezbędne w tym celu definicje.
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy rozbieżnym do nieskończoności, jeśli
V
ε∈R
W
n0 ∈N
V
n­n0
(an > ε).
Piszemy wtedy
lim an = ∞.
n→∞
Ciąg (an )∞
n=1 nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności, jeśli
V
ε∈R
W
n0 ∈N
V
n­n0
(an < ε).
Piszemy wtedy
lim an = −∞.
n→∞
Odnotujmy teraz łatwe do udowodnienia własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności
(minus nieskończoności) w połączeniu z ciągami zbieżnymi.
∞
∞
Twierdzenie 2.7. Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są rozbieżne do ∞, to ciąg (an + bn )n=1 jest
też rozbieżny do nieskończoności.
∞
∞
Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są rozbieżne do −∞, to również ciąg (an + bn )n=1 jest rozbieżny
do minus nieskończoności.
∞
∞
Twierdzenie 2.8. Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są rozbieżne do ∞, to ciąg (an · bn )n=1 jest
też rozbieżny do nieskończoności.
∞
∞
Jeśli ciągi (an )∞
n=1 i (bn )n=1 są rozbieżne do −∞, to iloczyn tych ciągów (an · bn )n=1 jest
rozbieżny do nieskończoności.
∞
∞
Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest rozbieżny do ∞ i (bn )n=1 jest rozbieżny do −∞, to ciąg (an · bn )n=1
jest też rozbieżny do minus nieskończoności.
24
Jacek M. Jędrzejewski
∞
Twierdzenie 2.9. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny oraz ciąg (bn )n=1 jest rozbieżny do ∞, to
ciąg (an + bn )∞
n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności.
∞
∞
Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny oraz (bn )n=1 jest rozbieżny do −∞, to ciąg (an + bn )n=1 jest
rozbieżny do minus nieskończoności.
∞
Twierdzenie 2.10. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby dodatniej oraz ciąg (bn )n=1 jest
rozbieżny do ∞, to ciąg (an · bn )∞
n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności.
∞
Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby dodatniej oraz (bn )n=1 jest rozbieżny do −∞, to ciąg
(an · bn )∞
n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności.
∞
Twierdzenie 2.11. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby ujemnej oraz ciąg (bn )n=1 jest
rozbieżny do ∞, to ciąg (an · bn )∞
n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności.
∞
Jeśli ciąg (an )∞
n=1 jest zbieżny do liczby ujemnej oraz (bn )n=1 jest rozbieżny do −∞, to ciąg
(an · bn )∞
n=1 jest rozbieżny do nieskończoności.
Powyższe twierdzenia przedstawimy w postaci wzorów rachunkowych na granicach.
lim an = a ∧ n→∞
lim bn = ∞ =⇒ n→∞
lim (an + bn ) = ∞,
n→∞
lim an = a ∧ lim bn = −∞ =⇒ lim (an + bn ) = −∞,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = ∞ ∧ lim bn = ∞ =⇒ lim (an · bn ) = ∞,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = −∞ ∧ lim bn = −∞ =⇒ lim (an · bn ) = ∞,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = ∞ ∧ lim bn = −∞ =⇒ lim (an · bn ) = −∞,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = a ∧ a < 0 ∧ lim bn = ∞ =⇒ lim (an · bn ) = −∞,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = a ∧ a < 0 ∧ lim bn = −∞ =⇒ lim (an · bn ) = ∞.
n→∞
n→∞
Dla granic o symbolach 0·∞, ∞−∞, 00 ,
∞
,
∞
n→∞
1∞ , 00 nie ma ścisłych reguł. Symbole te nazywamy
symbolami nieoznaczonymi i obliczanie granic tych typów jest możliwe, ale należy stosować inne
metody.
Twierdzenie 2.12. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 liczb różnych od zera jest rozbieżny do nieskończoności, to ciąg
1
an
jest zbieżny do zera.
Twierdzenie 2.13. Jeśli ciąg (an )∞
n=1 liczb różnych od zera jest rozbieżny do minus nieskończoności, to ciąg
1
an
jest zbieżny do zera.
Twierdzenie 2.14. Jeśli (an )∞
n=1 jest ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera, to ciąg
1
an
jest zbieżny do nieskończoności.
Twierdzenie 2.15. Jeśli (an )∞
n=1 jest zbieżnym do zera ciągiem liczb ujemnych, to ciąg
jest zbieżny do nieskończoności.
1
an
Notatki z analizy
25
Do zbioru liczb rzeczywistych dołączmy teraz dwa symbole ∞ i −∞. Zbiór R = R ∪
{∞, −∞} nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych. Przyjmujemy dodatkowo następujące reguły dotyczące porządku i działań na liczbach rzeczywistych uzupełnionych tymi
symbolami.
∞ + ∞ = ∞,
−∞ + (−∞) = −∞,
∞ − (−∞) = ∞,
∞ · ∞ = ∞,
(−∞) − ∞ = −∞,
(−∞) · (−∞) = ∞,
∞ · (−∞) = −∞,
V
V
a∈R
(a + ∞ = ∞ + a = ∞),
(a + (−∞) = (−∞) + a = −∞),
V
V
a∈R
(−∞) · ∞ = −∞,
a∈(0,∞)
(a · ∞ = ∞ · a = ∞),
a∈(0,∞)
(a · (−∞) = (−∞) · a = −∞),
V
(a · ∞ = ∞ · a = −∞),
V
a∈(∞,0)
a∈(∞,0)
(a · (−∞) = (−∞) · a = ∞).
6. Granice niektórych ciągów
Odnotujmy kilka granic ciągów zbieżnych, których granice mają istotne znaczenie w obliczaniu granic wielu innych ciągów.
lim n = ∞
n→∞
1
=0
n
√
lim n a = 1 gdy a > 0
n→∞
√
lim n n = 1
lim
n→∞
n→∞
lim
n→∞
1
1+
n
n
=e