Zadania - wektory, kinematyka, dynamika ruchu postępowego

Zad. 1a. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu
wektorów p i q w sześcianie o boku 2a.
W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub na
sumę.
2a
z
α
q
p
y
x
2a
2a
Zad. 1b. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu
wektorów p i q w sześcianie o boku 2a.
W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny.
p
q
α
2a
z
y
x
2a
2a
Zad. 1c. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu
wektorów p i q w sześcianie o boku 2a.
W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub na
sumę.
2a
z
α
y
q
p
x
2a
2a
Zad. 1d. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu
wektorów p i q w sześcianie o boku 2a.
W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub oba
wzory na sumę.
z
2a
α
q
y
p
x
2a
2a
Zad. 1e. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu
wektorów p i q w sześcianie o boku 2a.
W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub oba
wzory na sumę.
α
z
2a
q
p
y
x
2a
2a
Kinematyka
Zad. 1. Samochód porusza się z prędkością v1 = 25 m/s. Na drodze s = 40 m jest hamowany i zmniejsza
swą prędkość do v2 = 15 m/s. Zakładając, że ruch samochodu jest jednostajnie zmienny, znaleźć
przyspieszenie i czas hamowania.
Zad. 2. Znaleźć czas wznoszenia się windy, zakładając, że jej ruch podczas ruszania i hamowania jest
jednostajnie zmienny o przyśpieszeniu równym co do wartości bezwzględnej a=1 m/s2, a na środkowym
odcinku drogi jej ruch jest jednostajny z prędkością v=2 ms . Wysokość, na którą wznosi się winda h=60 m
Zad. 3. Znaleźć prędkość początkową, jaką powinno mieć ciało rzucone pionowo do góry, aby wróciło
ono z powrotem po czasie t=6 s. Jaką maksymalną wysokość osiągnie to ciało?
Zad. 4. Znaleźć prędkość początkową, z którą wyrzucono ciało do góry, jeżeli na wysokości h=60 m
znajdowało się ono dwukrotnie w odstępie czasu ∆t=4 s. Nie uwzględniać oporu powietrza.
Zad. 5. Ciało rzucone pionowo w dół z prędkością początkową 19,6 m/s w ciągu ostatniej sekundy lotu
przebyło n = 1/4 całej drogi. Znaleźć czas spadania ciała. i jego prędkość w chwili upadku. Z jakiej
wysokości rzucono to ciało ?
Zad. 6. W urządzeniu kafarowym, służącym do wbijania pali, ruchomy ciężar podnoszony jest ruchem
jednostajnym na wysokość 4.9 m w ciągu 5 s, a następnie spada swobodnie z tej wysokości na pal. Cały
ruch powtarza się cyklicznie. Obliczyć liczbę uderzeń na minutę.
Zad. 7. Z przystani A znajdującej się nad rzeką o szerokości d, płynącej z prędkością v1, wyrusza z
prędkością v2 względem wody łódź motorowa skierowana prostopadle do brzegu. Obliczyć w jakiej
odległości l od przystani A wyląduje łódź, jeżeli wiadomo, że po przybyciu do przeciwległego brzegu
zawróciła i znów została skierowana prostopadle do ruchu rzeki. Jaki jest czas trwania ruchu łodzi?
[l = 2dv1 / v 2 , t = 2d / v1 ]
Zad. 8. Pod jakim kątem, liczonym od prostopadłej do prądu rzeki należy skierować łódkę oraz ile
czasu musi ona płynąć, aby przepłynęła przez rzekę prostopadle do kierunku prądu, jeżeli prędkość łódki
względem wody równa jest 3 m/s, prędkość wody w rzece wynosi 1.5 m/s a szerokość rzeki – 400 m.
[α = 30°, t = 155 s].
Zad. 9. Pod jakim kątem do poziomu należy skierować strumień wody, aby jego maksymalne
wzniesienie było równe zasięgowi w kierunku poziomym?
Zad. 10. Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby maksymalna wysokość, na jaką
wzniesie się ciało, była cztery razy mniejsza od zasięgu rzutu?
Zad. 11. Na jakiej wysokości wektor prędkości ciała, wyrzuconego pod kątem α=45˚ do poziomu z
prędkością początkową vo = 20 m/s, utworzy z poziomem kąt β = 30˚? Ile będzie wtedy równa wartość
prędkości?
Zad. 12. Wystrzelono pocisk pod kątem α = 60° do poziomu z prędkością 90,4 m/s. Po jakim czasie
nastąpił wybuch pocisku, jeżeli wiadomo, że znajdował się on wówczas w najwyższym punkcie swego
toru ?
Zad. 13. Wystrzelono pocisk pod kątem α = 60° do poziomu z prędkością 20 m/s. W jakiej odległości x,
liczonej w poziomie, pocisk znajdzie się w najwyższym punkcie swego toru?
Zad. 14. Znaleźć prędkość kuli, jeżeli po wystrzale z pistoletu w kierunku poziomym kula przebiła dwie
pionowe kartki papieru ustawione w odległości l = 20 m od siebie, przy czym okazało się, że otwór w
drugiej kartce znajduje się o h = 5 cm niżej niż otwór w pierwszej kartce. Pierwsza kartka znajduje się
blisko pistoletu.
Odp. vo = l
g
2h
= 200 m/s.
Zad. 15. Znaleźć prędkość kuli, jeżeli po wystrzale z pistoletu w kierunku poziomym kula przebiła dwie
pionowe kartki papieru ustawione w odległości l = 20 m od siebie, przy czym okazało się, że otwór w
pierwszej kartce znajduje się o h1 = 5 cm a w drugiej kartce o h2 = 7.2 cm poniżej poziomej linii strzału.
Odp. vo =
l 0.5 g
h2 − h1
= 1000 m/s.
Zad. 16. Kamień o masie m=0.2 kg rzucono pod kątem α=30° do poziomu, z prędkością początkową
vo=10 ms . Obliczyć energię kinetyczną Ek, potencjalną Ep i całkowitą E kamienia w najwyższym punkcie
lotu. Opór powietrza pominąć.
Odp: Ek = 0.5 m vo2 cos2α, Ep = 0.5 m vo2 sin2α, E = 0.5 m vo2.
Zad. 17. Ciało wyrzucono pod kątem α = 45° do poziomu z prędkością v0 = 20 m/s. W odległości s = 30
m stoi pionowa ściana. Na jakiej wysokości i pod jakim kątem (liczonym do prostej prostopadłej do
ściany) ciało uderzy w ścianę? Jaka będzie wtedy prędkość ciała?
Odp: h=7.5 m, tgα=0.5, α=26.6°, v=15.81 m/s.
Zad. 18. Z jaką prędkością początkową należy wyrzucić ciało pod kątem α, aby trafiło ono w punkt
znajdujący się na wysokości h i w odległości d=h od punktu startu (liczonej w kierunku poziomym).
gh
Odp: vo =
2 cos α (sin α − cos α )
Zad. 19. Z dachu domu rzucono kamień z prędkością poziomą vo = 18.6 m/s. Oblicz składową
przyspieszenia kamienia prostopadłą do toru po czasie t = 2 s. [an = 6.7 m/s2]
Zad. 20. Ciało wyrzucono pod kątem α1 = 15° do poziomu. Pod jakim kątem należy wyrzucić to ciało
nadając mu taką samą wartość prędkości początkowej, aby zasięg rzutu był n = 2 razy większy od
poprzedniego? [α2 = 45°] .
Zad. 21. Dwa ciała wyrzucono z jednakowymi prędkościami początkowymi:
jedno – z ziemi, pod kątem α do poziomu, a drugie – poziomo, z wysokości vo
równej maksymalnej wysokości wzniesienia się pierwszego ciała. Znaleźć
stosunek zasięgów rzutu obu ciał. Dla jakich kątów α zasięg rzutu poziomego jest vo
α
z
sin α
większy niż zasięg rzutu ukośnego? [ 2 =
, z2>z1 dla α>60°]
z1 sin 2α
Zad. 22. Pręt AB o długości l opiera się końcami o podłogę i ścianę. Znaleźć
zależność współrzędnej x końca A i współrzędnej y końca B od czasu, podczas
ruchu końca A ze stałą prędkością vo zaczynając od położenia pokazanego na rys.
Znaleźć zależność prędkości i przyśpieszenia końca B od czasu.
Odp:
v(t ) = −
y (t ) = l 2 − ( b + vot )
b + vot
l 2 − ( b + vot )
2
vo
2
a (t ) = −
l 2vo2
 l2 − b + v t 2 
( o) 



b
3
x (t ) = lo2 − h 2 −
A
vo
Zad. 23. Łódka jest podciągana do wysokiego brzegu doliny
za pomocą liny, która nawija się ze stałą prędkością vo = 1 m/s
na bęben znajdujący się na wysokości h = 6 m nad poziomem
wody. Początkowa długość liny wynosi lo = 20 m. Wyznaczyć
zależność od czasu długości ∆l, o którą skróciła się lina.
Wyznaczyć zależność od czasu położenia x łódki. Znaleźć
zależność prędkości i przyśpieszenia łódki od czasu.
Odp:
B
lo
lo-∆l
( lo − vot )2 − h 2
x
L-x
L
h
v (t ) =
( lo − vot ) v
o
( lo − vot )2 − h 2
a (t ) =
h 2vo2



( lo − vot )2 − h 2 
3

Zad. 24. Ruch ciała dany jest poniższą zależnością współrzędnych środka ciała od czasu. Wyznaczyć tor
ruchu, znaleźć położenie ciała na początku ruchu i po czasie t = 2πω . Wyznaczyć zależność następujących
r
r r r r
r
wielkości od czasu ν ,ν, a , a, as, an. Narysować ν , a , as , an na początku ruchu i po czasie t = 2πω .
 x = A cos(ω t + π4 ) + B

b.  y = A sin(ω t + π4 ) + C
z = D

 x = A sin(ω t )

a.  y = A cos(ω t )
z = z
o

 x = sin(ω t + π6 ) + 3

c.  y = 2 2 sin(ω t + π6 )
z = 6

 x = 3cos(ω t + π3 ) + 3

d.  y = 4 cos(ω t + π3 ) + 5
z = 2

 x = vot

e.  y = A sin(ω t )
z = 6

Zad. 25. Ruch ciała dany jest poniższą zależnością współrzędnych środka ciała od czasu. Wyznaczyć tor
ruchu, znaleźć położenie ciała na początku ruchu i po czasie t1 = 2BC i t2 = CB . Wyznaczyć zależność
r
r r r r
r
następujących wielkości od czasu ν ,ν, a , a, as, an. Narysować ν , a , as , an na początku ruchu i po
czasie t1 i t2.
x = 0
x = 0


a.  y = At
b.  y = Bt − Ct 2


2
2
 z = Bt − Ct
 z = 2 Bt − 2Ct
Dynamika
Zasady dynamiki Newtona
Zad. 1. Belka utrzymywana jest w równowadze za pomocą układu krążków
pokazanego na rysunku. Ciężar każdego z krążków jest równy 2 N, siła F = 6 N.
Oblicz masę belki, przy założeniu, że masę liny można zaniedbać.
(Odp: M=2 kg).
F
m
α
F
Zad. 2. Skrzynia o masie 10 kg jest ciągnięta siłą F tworzącą kąt 45° z
poziomem. Współczynnik tarcia kinetycznego jest równy 0.5. Jaka jest
wartość siły, jeżeli skrzynia porusza się ze stałą prędkością?
(Odp: F≈47 N)
Zad. 3. Ta sama skrzynia jest podobnie ciągnięta siłą F=100 N. Obliczyć przyśpieszenie skrzyni.
Zad. 4. Dwa połączone ze sobą nieważką nicią klocki podnoszone są pionowo w górę stałą siłą 150 N
przyłożoną do górnego klocka o masie 6 kg. Siła napięcia nici jest równa 80 N. Oblicz przyspieszenie
każdego z klocków. Znajdź masę dolnego klocka. (Odp: a=1.7 m/s2, m2=6.8 kg)
Zad. 5. Dwa ciała, których masy wynoszą m1 = 50 g i m2 = 100 g, są związane nieważką nicią i leżą na
gładkiej powierzchni poziomej. Wytrzymałość nici wynosi N = 1 N. Jaką maksymalną siłą F1 należy
ciągnąć pierwsze ciało, aby nić nie zerwała się? Jaką maksymalną siłą F2 należy ciągnąć drugie ciało, aby
nić nie zerwała się?
Zad. 6. Ciało zsuwa się po równi pochyłej o kącie nachylenia
α = 40° . Po przebyciu drogi s = 0.4 m osiąga prędkość v = 2
m/s. Jaki jest współczynnik tarcia między ciałem a równią?
(Odp: µ=0.2).
Zad. 7. Dwa ciężary o masach m1 = 1 kg i m2 = 2 kg
związane są nicią. Nić tę przerzucono przez blok
umieszczony na krawędzi równi pochyłej. Znaleźć
przyspieszenie układu, jeżeli α = 45°, a współczynnik tarcia
µ = 0.2.
Zad. 8. Dwa ciężary o masach m1 = 1 kg i m2 = 2 kg
związane są nicią. Nić tę przerzucono przez blok
umieszczony na krawędzi podwójnej równi pochyłej.
Ciężary mogą ślizgać się po powierzchni równi. Znaleźć
α = 45°,
β = 30°,
przyspieszenie
układu,
jeżeli
a współczynnik tarcia µ = 0.2.
m
α
m2
m1
α
m2
m1
β
α
Zad. 9. Znaleźć przyśpieszenie obu ciał o masach
m1 = 1 kg i m2 = 2 kg związanych nicią przewiniętą przez
blok zamocowany w najwyższym punkcie równi o kącie
nachylenia α = 30°. Współczynnik tarcia µ = 0.2.
m1
m2
α
Zad. 10. Samochód porusza się z prędkością 90 km/h. Jaką
drogę przebędzie samochód do chwili zatrzymania się, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.5, a czas
reakcji kierowcy 0.4 s. (Odp: s=72.5 m).
Zad. 11. Ciało o masie m, znajdujące się na równi pochyłej o kącie
nachylenia α = 30°, ciągnięte jest poziomą siła F. Współczynnik tarcia
µ = 0.2. Obliczyć przyśpieszenie tego ciała podczas zsuwania się z
równi.
m
F
α
Zad. 12. Ciało o masie m, znajdujące się na równi pochyłej o kącie
nachylenia α = 30°, pchane jest pionową siła F. Współczynnik tarcia
µ = 0.2. Obliczyć przyśpieszenie tego ciała podczas zsuwania się z
równi.
m
M
F
m
α
Zad. 13. Dwie masy m i M połączono jak na rysunku. Znaleźć
przyspieszenie mas i naciąg nici, zaniedbując masę nici, masę
krążka i tarcie. Dane: m, M, α
M + m sin α
2 M + m(1 + sin α )


Mg 
a = M + m g , N =
M +m

α
Zad. 14. Masy zsuwają się. Lina i bloczek mają znikomą masę.
Współczynnik tarcia wynosi k = 0.2, a masy M = 5 kg, m = 3 kg.
Obliczyć przyspieszenie mas i siłę naprężenia liny.
[a=2.5 m/s2, N=22.5 N]
A
m
Zad. 15. Układ dwóch klocków o tej samej masie m = 10 kg jest ciągnięty siłą F = 100 N. Zaniedbując
tarcie, oblicz przyśpieszenie drugiego klocka i naprężenie liny. [a = 3 m/s2, N = 30 N]
m
m
Zad. 16. Dwie masy m1=3 kg i m2=4 kg są połączone
nieważką liną, przechodzącą przez nieważki bloczek.
Tarcie pominąć. Jakie jest przyspieszenie mas i naprężenie
liny? [a = 1.58 m/s2, N1 = 2N2 = 25.3 N]
F
m2
m1
Zasady zachowania
Zad. 17. Młot o masie 4 t spada na kowadło z wysokości 2.5 m i zatrzymuje się na skutek całkowitego
zaabsorbowania energii. Znaleźć średnią siłę uderzenia młota o kowadło, jeżeli zderzenie trwało 0.01 s.
Czy średnia siła uderzenia młota będzie inna, jeżeli po zderzeniu z kowadłem młot odskoczy na
wysokość 30 cm?
[~2.8 MN, ~ 3.8 MN]
Zad. 18. Dwie kule o masach m1 = 0.4 kg i m2 = 0.2 kg poruszają się po linii prostej w tym samym
kierunku z prędkościami odpowiednio v1 = 3 m/s i v2 = 12 m/s. Obliczyć ciepło wydzielone w czasie
doskonale niesprężystego zderzenia kul. [≈ 5.4 J ]
Zad. 19. Na platformie kolejowej o masie 16 t ustawiono działo o masie 3 t, którego lufa tworzy kąt 60°
z poziomem i leży w płaszczyźnie pionowej poprowadzonej wzdłuż torów. Jaka była prędkość pocisku o
masie 50 kg, jeżeli po wystrzale platforma przejechała drogę 3 m w ciągu 6 s i zatrzymała się? [760
m/s]
Zad. 20. Znaleźć sprawność pompy, jeżeli zbiornik o pojemności 40 m3 umieszczony na wysokości 10 m
napełniany jest wodą w ciągu 12 min, a moc silnika elektrycznego pompy równa jest 7 kW. [0.79]
Zad. 21. Piłka o masie m = 0.2 kg, wyrzucona ukośnie, spada na ziemię w odległości d = 5 m po czasie t
= 1.2 s. Obliczyć pracę wykonaną przy wyrzucaniu piłki. [5.2 J]
Zad. 22. Samochód o ciężarze Q porusza się pod górę o kącie nachylenia α i na drodze l zwiększa swoją
prędkość od v0 do v. Znając ciepło spalania paliwa q oraz współczynniki sprawności silnika η1 oraz
transmisji η2 (mechanizmu przekazującego napęd z silnika na koła) znaleźć ilość paliwa zużytą w ciągu 1
sekundy. [ (v + vo ) P(v 2 − vo2 ) + 2 gP(h + kl cos α ) 4 glη1η 2 q ]
[
]
Zad. 23. Zjeżdżalnia dla dzieci ma długość 5m i kąt nachylenia 30o do poziomu. Dziecko o masie 20kg
zaczyna zjeżdżać z góry bez prędkości początkowej i po pewnym czasie znajduje się na dole.
Współczynnik tarcia między ubraniem dziecka a powierzchnią zjeżdżalni wynosi 0.2. a). Jaką pracę
wykonała siła tarcia podczas ruchu?
b). Jaka była prędkość dziecka, gdy znalazło się ona na końcu zjeżdżalni?
c). Jak długo trwał ruch dziecka na zjeżdżalni?
[ a). − 100 3 J b). 2.6m/s c). 1.7s]
Zad. 24. Piłka o masie 0.08kg spada swobodnie na ziemię z wysokości 3m. Po pierwszym zderzeniu
wznosi się ona na wysokość 2m. Załóż, że czas zderzenia wynosił 5ms.
a). Jaki jest pęd piłki tuż przed zderzeniem? b). Jaki jest pęd piłki tuż po zderzeniu? c). Jaka jest średnia
wartość siły wzajemnego oddziaływania między piłką a ziemią w trakcie zderzenia? d). Jaka jest zmiana
energii kinetycznej piłki? e). Przyjmując, że ciepło właściwe materiału, z którego zrobiona jest piłka,
wynosi 2009 J / kg·°C i cała tracona energia mechaniczna zamienia się w ciepło, oblicz zmianę
temperatury piłki. [a) 0.61 kg ⋅ m / s , b) 0.5kg ⋅ m / s , c) 222 N , d) 0.78 J , e) 4.9 ⋅ 10−3 oC ]