Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH w finansowych

Jacek Kwiatkowski
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH w finansowych
szeregach czasowych1
WSTĘP
Powszechnie wiadomo, że podstawowymi własnościami procesów finansowych jest
występowanie pierwiastka jednostkowego oraz zmieniająca się w czasie warunkowa wariancja
stóp zwrotu. Występowanie pierwiastka jednostkowego bezpośrednio związane jest z hipotezą
błądzenia losowego, która głosi, że cena akcji (lub innego instrumentu finansowego) jest równa
cenie akcji w poprzednim okresie plus zmienna losowa o wartości oczekiwanej równej zero.
Zakłada ona również, że przyrosty cen (stopy zwrotu) są względem siebie niezależne oraz
posiadają identyczny rozkład prawdopodobieństwa. Tradycyjne rozumienie błądzenia
losowego potwierdza efektywność rynku, tzn. jeżeli ceny podlegają błądzeniu losowemu to
można potwierdzić słabą efektywność rynku. Wszystkie publiczne dostępne informacje o
danej akcji są natychmiast odzwierciedlane w cenie. Z tego względu wiele badań empirycznych
koncentruje się na modelach ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
wprowadzonych przez [2], gdzie ceny aktywów traktowane są jako procesy o stacjonarnych
przyrostach. Kolejną dobrze znaną własnością finansowych stóp zwrotu jest zmienność w
czasie warunkowej wariancji. W szczególności duże zmiany cen poprzedzone są równie
dużymi zmianami cen, z kolei małe zmiany cen są często poprzedzone ich małymi zmianami.
Skupianie się wariancji w wąskich przedziałach czasu i ściśle z tym związana zmienność
wariancji warunkowej jest jedną z ważniejszych charakterystyk finansowych szeregów
czasowych. Modele GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)
zaproponowane przez [4] i [1] są stworzone z myślą o modelowaniu zmiennej w czasie
wariancji warunkowej oraz do opisu innych podstawowych charakterystyk takich jak
zwiększona kurtoza czy grube ogony.
W pracy [6] wykazano, że procesy, które wymagają obliczenia pierwszych różnic nie
zawsze są procesami dokładnie zintegrowanymi rzędu pierwszego (zobacz również [12]).
Dowodzi się, że makroekonomiczne i finansowe procesy mają często pierwiastek jednostkowy,
1
Praca zrealizowana w ramach projektu badawczego nr 2 H02B 015 25; e-mail: [email protected]
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH…
który nie jest stały lecz losowy. Losowy parametr jest traktowany jako proces stochastyczny,
którego realizacje oscylują wokół jedynki. Najczęściej jest to proces autoregresyjny lub biały
szum. To implikuje, że w długim okresie czasu tego typu proces jest stacjonarny lecz w
krótkim okresie może być niestacjonarny, czy wręcz wybuchowy. Model ze zmieniającymi się
w czasie parametrami, utworzony w celu opisania losowego pierwiastka jednostkowego określa
się jako STUR (Stochastic Unit Root). Wydaje się, że ze względu na losowy w czasie parametr
proces ten można zaklasyfikować do szerszej grupy modeli, mianowicie do modeli podwójnie
stochastycznych [20].
Z punktu widzenia własności próbkowych wydaje się interesujące porównanie mocy
wyjaśniającej modeli STUR i GARCH. Mianowicie, czy i w jakim stopniu modele STUR są w
stanie lepiej niż modele GARCH opisać typowe własności procesów finansowych. Dobrym
narzędziem służącym do realizacji wspomnianego celu jest wnioskowanie bayesowskie. Do
podstawowych jego zalet można wymienić możliwość przedstawienia pełnego rozkładu każdej
wielkości będącej przedmiotem zainteresowania (w przeciwieństwie do metod klasycznych,
gdzie występuje ocena punktowa i związany z nią błąd standardowy) oraz stosunkowo łatwy
wybór modelu poprzez obliczenie prawdopodobieństwa a posteriori obydwu modeli i
odpowiadający im iloraz szans a posteriori.
Układ artykułu jest następujący. W części pierwszej omówiono podstawowe własności
modeli STUR i GARCH. W części drugiej przedstawiono w skrócie podstawy wnioskowania
bayesowskiego wykorzystane dla potrzeb tego artykułu. W części trzeciej przedstawiono
wyniki badań empirycznych, które dotyczą porównania mocy objaśniającej modeli STUR,
GARCH oraz błądzenia przypadkowego dla wybranych finansowych szeregów czasowych.
1. MODELE STUR I GARCH
Powszechnie uważa się, że ceny aktywów są procesami o stacjonarnych przyrostach,
gdzie stopień integracji wynosi jeden. Standardowym modelem służącym do modelowania cen
zarówno szeregów finansowych, jak i makroekonomicznych jest model ARIMA o stałych
(niezmiennych
w czasie)
parametrach strukturalnych.
Ostatnie badania w zakresie
wnioskowania bayesowskiego [8] i [10] oraz wnioskowania klasycznego [13], [6], [19], [9],
[16] wskazują, że procesy finansowe i makroekonomiczne posiadają pierwiastek, którego
wartości mogą oscylować w czasie wokół jedynki. Modele opisujące wymienioną wcześniej
zależności określane są jako STUR i zostały omówione w pracy [13] oraz [6]. Bieżący artykuł
dotyczy modelu STUR, który zaproponowali [13]. Postać tego modelu jest wygodniejsza przy
estymacji parametrów, a także jest on mniej kłopotliwy w obliczeniach numerycznych.
Pomimo nieco różnej reprezentacji, wydaje się jednak, że obydwa modele posiadają podobną
interpretację.
Jacek Kwiatkowski
Procesy typu STUR dla logarytmów cen yt = 100ln (Pt ) można zapisać w postaci
ogólnej jako:
y t = α t y t −1 + ε t ,
(1.1)
αt = α0 + δt , δ0 = 0 i δt = ρδt −1 + ηt .
(1.2)
gdzie:
Zakładając stacjonarność procesu autoregresyjnego opisanego równaniem (1.2)
przyjmujemy, że współczynnik autokorelacji zawiera się w przedziale otwartym od -1 do 1.
Dodatkowo przyjmuje się założenie o wzajemnej niezależności, gaussowskich procesów
(
)
(
)
resztowych. Procesy εt ~ N 0, σ 2 i ηt ~ N 0, ω 2 są od siebie niezależne.
Dla α0 = 1 i ω 2 = 0 , y t jest procesem błądzenia losowego, natomiast jeżeli α0 = 1 i
ω 2 > 0 to mamy do czynienia z procesem, którego średnia zawiera pierwiastek jednostkowy.
Proces ten jest nazywany procesem ze stochastycznym pierwiastkiem jednostkowym.
Analizowany model można również zapisać w postaci:
∆yt = δt yt −1 + εt ,
(1.3)
δt = ρδt −1 + ηt ,
(1.4)
gdzie yt oznacza obserwowany proces w czasie t, natomiast εt i ηt oznaczają tak jak
poprzednio niezależne względem siebie gaussowskie białe szumy o średniej zero i wariancji
równej σ 2 i ω2 . Równanie (1.3) można zapisać w równoważnej formie, mianowicie:
yt = (1+ δt ) yt −1 + εt ,
(1.5)
Gdy ρ = 0 i ω 2 = 0 to parametr δt dla wszystkich t przyjmuje wartości równe zero i
otrzymujemy proces błądzenia przypadkowego.
Proces GARCH uzależnia wariancję warunkową w okresie t od wariancji
warunkowych ht z okresów t − 1, t − 2,...,t − p oraz kwadratów realizacji procesu z okresów
wcześniejszych
t − 1, t − 2,...,t − q . Model AR(k)-GARCH(p,q) można przedstawić w
następującej postaci:
∆yt = φ0 + φ1∆yt −1 + ... + φk ∆yt − k + εt ,
(1.6)
εt = zt ht1 / 2 ,
(1.7)
zt ~ N (0,1) ,
q
p
i=1
j=1
ht = α0 + ∑ αi εt2− i + ∑ β j ht − j ,
gdzie
∆yt = 100ln (Pt / Pt −1 )
(1.8)
oznacza logarytmiczną stopę zwrotu. W równaniu (1.6)
wprowadzono opóźnione wartości ∆yt , aby uwzględnić ewentualną autokorelację stóp zwrotu.
W wielu badaniach empirycznych często wystarczające jest przyjęcie modelu GARCH(1,1),
czyli przyjęcie w równaniu (1.8) q = 1 i p = 1 . Żeby zapewnić w tym przypadku określoność
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH…
równania opisującego zmienność w czasie wariancji warunkowej zakłada się, że
α 0 > 0, α1 ≥ 0, β1 ≥ 0 . Proces ten jest stacjonarny w szerszym sensie jeżeli α1 + β1 < 1 . Istnieje
wiele uogólnień modelu GARCH opisanego równaniami (1.6)-(1.8). W szczególności zakłada
się, że warunkowe rozkłady posiadają grubsze ogony niż te, które występują w rozkładzie
normalnym. Z tego też względu najczęściej jako warunkowy rozkład przyjmuje się rozkład
t-Studenta z małą ilością stopni swobody. Publikacje dotyczące wnioskowania bayesowskiego
o modelach GARCH można znaleźć m.in. w pracy [18].
2. BAYESOWSKA ESTYMACJA
Oznaczmy przez θ = (α0 ,α1 , β1 ) wektor nieznanych parametrów dla najprostszego
modelu
GARCH(1,1)
w
którym
nie
występuje
autokorelacja
stóp
zwrotu
czyli
φ0 = φ1 = φk = 0 i ∆yt = εt :
∆yt | ψ t −1 ~ N (0, ht ) ,
(2.1)
gdzie:
ht = α0 + α1εt2−1 + β1ht −1 , natomiast ψ t −1 jest zbiorem informacji dostępnych w chwili
t − 1 . Niech funkcja wiarygodności uzyskana będzie z iloczynu warunkowych rozkładów
normalnych:
l (θ ; ∆y, y(0 ) )=
T
∏
t=1
 ∆y 2 
1
exp − t  '
2πht
 2ht 
(2.2)
gdzie ∆y = (∆y1 ,..., ∆yT )
Poszczególne gęstości a priori parametrów można przedstawić następująco [15]:
p (α0 ) = 2I[0,2] , gdzie α0 ∈ [0,2] ,
{
}
p (α1 , β1 ) = 2! I S , gdzie S = (α1 , β1 ) ∈ R+2 : α1 + β1 < 1 .
(2.3)
Symbol I S oznacza funkcję charakterystyczną niepustego zbioru S.
Dla parametrów w modelu GARCH, jako funkcję ważności dla parametru α0 przyjęto
rozkład równomierny w przedziale [0,2] , natomiast dla pozostałych parametrów w równaniu
warunkowej wariacji zastosowano rozkład równomierny na sympleksie. Wszystkie rozkłady a
priori są rozkładami właściwymi, które są łatwe do zastosowania w metodzie Monte Carlo z
funkcją ważności.
Liczne badania empiryczne dotyczące szeregów finansowych wskazują, że we
Jacek Kwiatkowski
większości przypadków do poprawnego modelowania zmiennej w czasie warunkowej
wariancji wystarcza model GARCH(1,1) (por. np. [14] i [3]). Badania te wykazują również, że
stosunkowo często występuje istotna autokorelacja stóp zwrotu pierwszego lub ewentualnie
drugiego rzędu. W prezentowanej pracy świadomie pominięto autokorelację stóp zwrotu ze
względu na fakt, że standardowy model STUR opisany równaniami (1.1)-(1.2) jej nie
uwzględnia. Możliwe jest jego uogólnienie z uwzględnieniem autoregresyjnych wahań wokół
pewnej nieznanej wartości średniej, jednak nie ma do tej pory odpowiednich narzędzi
wnioskowania bayesowskiego dla tego typu modeli. Dodatkowo, badania empiryczne ([5])
wskazują, że we większości przypadków do opisu autokorelacji stóp zwrotu wystarcza proces
AR(1), którego współczynnik autoregresji rzadko przekracza wartość 0,2. Istotna autokorelacja
jest jednak słaba. Klasyczna estymacja modeli STUR w których występuje autokorelacja w
wartości średniej jest opisana w pracy [11].
W prezentowanym artykule rozpatrzono najprostszą postać modelu STUR. Przyjęto
mianowicie założenie, że losowy parametr jest białym szumem. Współczynnik autokorelacji ρ
w równaniu (1.4) jest równy zero. Wektor nieznanych parametrów ma tylko dwie współrzędne
(
)
θ = ω 2 ,σ 2 . Dzięki temu funkcja wiarygodności jest uzyskana z iloczynu gęstości
warunkowych rozkładów normalnych w chwili t o średniej równej zero i wariancji
σ 2 + ω 2 yt2−1 , tj.:
(
)
∆yt | y(0 ) ,θ ~ N 0,σ 2 + ω 2 yt2−1 .
Funkcja wiarygodności ma postać:
l (θ ; ∆y, y(0 ) ) =
T
∏
i=1
1
(
2π σ 2 + ω 2 yt2−1


∆yt2
exp −
.
2
2 2 
 2 σ + ω yt −1 
)
(
)
(2.4)
Dla nieznanych parametrów w modelu STUR gęstość łącznego rozkładu a priori
wektora θ jest iloczynem gęstości brzegowych rozkładu jego składowych:
( )
{
}
p (ω 2 )= (1/λ2 )exp{− ω 2 / λ2 }, ω
p σ 2 = (1 / λ1 )exp − σ 2 / λ1 , σ 2 ∈ [0,+∞ ) ,
2
∈ [0,+∞ ) .
(2.5)
(2.6)
Są to zatem rozkłady właściwe, preferujące niższe wartości tego parametru. Jako
funkcję ważności dla obu parametrów przyjęto ucięty w zerze rozkład t-Studenta o średniej 0 i
3 stopniach swobody.
Oprócz estymacji, jednym z głównych problemów związanych z analizą danych jest
wybór modelu, który w “najlepszy” sposób opisuje badane zjawisko. Rozważmy dwa modele
określone jako M i i M j wraz z odpowiadającymi im wektorami parametrów θi ∈ Θi i
( )
( )
θ j ∈ Θ j . Jeżeli pi (θi ) i p j θ j będą odpowiednimi gęstości a priori, a Pr (M i ) , Pr M j
prawdopodobieństwami a priori związanymi z każdym z modeli, iloraz szans a posteriori
można zapisać
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH…
Bij =
Pr (M i ) pi ( y )
,
Pr M j p j ( y )
( )
(2.7)
gdzie:
( )
Pr (M i ) / Pr M j określane jest jako iloraz szans a priori odpowiedniej pary modeli,
p ( y ) jest brzegową gęstością wektora obserwacji określoną wzorem
p( y ) = ∫ p (θ ) p( y | θ )dθ .
Θ
Jeżeli Bij ≥ 1 to dane empiryczne zwiększają szanse modelu oznaczonego indeksem i .
Na iloraz szans a posteriori w znacznym stopniu wpływa rozkład a priori. Funkcja
wiarygodności jest uśredniana poprzez ważenie gęstością rozkładu a priori, który może
przybierać znaczne wartości nawet tam, gdzie funkcja wiarygodności jest bliska zeru.
Obliczana w ten sposób “średnia” wiarygodność będzie bardzo mała. Tak więc, gdy gęstość a
priori nie jest podobna do funkcji wiarygodności położeniem i rozpiętością, brzegowa gęstość
p ( y ) dla ustalonego wektora obserwacji może być niewielka, co z kolei rzutuje na wielkość
czynnika Bij . Z tego też względu w celu zbadania jak duży jest wpływ rozkładu a priori na
otrzymane wyniki, przyjęto w rozkładach wykładniczych (2.5)-(2.6) różne wartości
parametrów λ1 i λ2 .
3. PORÓWNANIE MODELI STUR I GARCH
W celu dokonania bayesowskiego porównania mocy objaśniającej modeli STUR i
GARCH poddano analizie główne indeksy GPW w Warszawie tj. WIG, WIG20, MIDWIG i
WIRR oraz 19 notowanych spółek. Starano się przebadać możliwie jak największą liczbę
notowanych spółek o różnym stopniu kapitalizacji. Dodatkowo badano 6 kursów złotego
wobec innych walut. W szczególności przedmiotem badania były waluty: AUD (dolar
australijski), CHF (frank szwajcarski), EUR (kraje strefy euro), GBP (funt szterling), JPY (jen
japoński) oraz USD (dolar amerykański). Analizowano okres od 2 stycznia 2002 r. do 30
listopada 2005 r. Łączna liczba dziennych obserwacji to 985 dla notowanych spółek i indeksów
oraz 991 dla kursów walut. Badaniu poddano logarytmiczną stopę zwrotu (zmian) zgodnie z
formułą: ∆yt = 100ln (Pt / Pt −1 ) . Tabela 1 przedstawia logarytmy naturalne brzegowej gęstości
obserwacji dla analizowanych modeli. Ze względu na wpływ rozkładu a priori na brzegową
gęstości wektora obserwacji dla modeli STUR i błądzenia przypadkowego rozpatrzono dwie
różne postacie rozkładu a priori. W modelach STUR, dla wariancji σ 2 w równaniu obserwacji
(1.3) przyjęto rozkład wykładniczy z parametrem λ1 = 10 lub λ1 = 4 .
Tabela 1. Logarytmy naturalne brzegowej gęstości wektora obserwacji ln ( p ( y )) dla modeli błądzenia
Jacek Kwiatkowski
przypadkowego, STUR oraz GARCH(1,1). Dla modeli STUR i błądzenia przypadkowego
uż yto dwa różne rozkłady a priori. Dla rozkładu a priori w modelu STUR przyjęto λ1 = 10 i
λ2 = 1 co oznaczono w tabeli jako (C) oraz λ1 = 4 i λ2 = 0,5 oznaczone jako (D). W modelu
błądzenia przypadkowego przyjęto λ1 = 10 (A)
lub λ1 = 4 (B). W modelu GARCH(1,1)
zastosowano jednostajny rozkład a priori. Pogrubioną czcionką zaznaczono model najbardziej
prawdopodobny a posteriori. Badania przeprowadzono dla notowań dziennych.
Błądzenie przypadkowe
STUR
GARCH
Dane
(A)
(B)
(C)
(D)
jednostajny
WIG
-560,92
-559,50
-576,47
-574,81
-536,01
MIDWIG
-250,58
-249,07
-265,08
-263,47
-203,74
WIG20
-759,96
-758,62
-774,63
-773,03
-736,82
-448,87
-447,39
-461,77
-460,26
-407,47
AGORA
-1095,18
-1094,09
-1105,54
-1103,98
-1071,01
BPHPBK
-1164,62
-1163,59
-1177,86
-1176,42
-1132,91
BRE
-1186,30
-1185,30
-1198,57
-1197,71
-1146,95
DEBICA
-907,64
-906,37
-916,01
-914,72
-878,92
FORTE
-1337,19
-1336,44
-1351,17
-1350,35
-1245,39
-1645,51
-1645,45
-1656,72
-1656,6
-1591,78
KETY
-981,34
-980,15
-978,98
-977,58
-974,40
KGHM
-1276,51
-1275,65
-1289,00
-1288,20
-1269,21
KREDYTB
-1026,97
-1025,81
-1039,78
-1038,96
-1020,53
MILLENNIUM
-1242,09
-1241,16
-1243,75
-1242,3
-1169,05
MOSTALEXP
-1658,33
-1658,31
-1668,49
-1668,37
-1609,32
NETIA
-1545,86
-1545,52
-1557,74
-1557,42
-1315,17
ORBIS
-1063,60
-1062,45
-1073,56
-1072,14
-1016,32
PEKAO
-1133,82
-1132,76
-1145,83
-1144,67
-1125,39
PKNORLEN
-1059,11
-1057,98
-1069,09
-1067,97
-1057,03
PROCHNIK
-2241,93
-2245,6
-2213,93
-2215,61
-2126,40
RAFKO
-1274,11
-1273,2
-1259,79
-1258,42
-1210,49
SOKOLOW
-1163,54
-1162,51
-1168,65
-1167,55
-1080,69
AUD
-164,12
-162,58
-176,08
-174,51
-154,37
CHF
-57,63
-56,09
-69,15
-67,64
-35,39
EUR
22,37
23,93
9,05
10,68
53,52
GBP
-46,80
-45,26
-58,73
-57,08
-30,5
JPY
-188,83
-187,29
-196,06
-194,55
-180,05
USD
-181,90
-180,41
-194,73
-193,27
-170,34
WIRR
INTERIA
Podobnie rozkład wariancji ω
2
w równaniu przejścia (1.4) jest rozkładem
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH…
wykładniczym z parametrem λ2 = 1 lub λ2 = 0.5 . W modelach GARCH, dla parametru α0
założono rozkład jednostajny w przedziale [0,2] . Dla parametrów stojących przy opóźnionych
kwadratach reszt i opóźnionej wariancji przyjęto rozkłady jednostajne na sympleksach
otrzymanych poprzez restrykcje definiujące model GARCH(1,1) (por. [15], [17]).
Chcąc wnioskować na temat wariancji resztowej w modelu błądzenia przypadkowego
wystarczy przyjąć, że wariancja w równaniu przejścia (1.4) równa jest zero; ω 2 = 0 . Ze
względu na duże rozpiętości w wartościach brzegowej gęstości wektora obserwacji
zdecydowano się w tabeli zamieścić ich logarytmy. Przy obliczaniu funkcji wiarygodności
konsekwentnie pomijano stałą (2π )−1 / 2 . W celu obliczenia p ( y ) oraz innych charakterystyk a
posteriori zastosowano metodę Monte Carlo z funkcją ważności. Opis tej metody dla modeli
szeregów czasowych można znaleźć w książce [14]. Liczba losowań Monte Carlo wynosiła
500000 dla GARCH i 250000 dla pozostałych modeli. Wyniki zawarte w tabeli 1 wskazują na
dominację modeli GARCH nad modelami STUR i błądzenia przypadkowego. Przyjęcie innych
wartości parametrów w rozkładach a priori nie wpływa zasadniczo na otrzymany ranking.
Najbardziej prawdopodobny okazał się model GARCH z jednostajnym rozkładem a priori.
Model GARCH w porównaniu z pozostałymi modelami skupia niemal całą masę
prawdopodobieństwa a posteriori. Pozostałe modele czyli STUR i błądzenie przypadkowe nie
odgrywają więc żadnej roli we wnioskowaniu o modelach GARCH.
Model ze stochastycznym pierwiastkiem jednostkowym tylko w dwóch przypadkach
(spółki KĘTY i PRÓCHNIK) okazał się bardziej prawdopodobny a posteriori niż model
błądzenia przypadkowego. Z przeprowadzonych badań wynika, że proces GARCH, czyli
proces w którym zakłada się stały pierwiastek jednostkowy i warunkową heteroskedastyczność
jest znacznie bardziej prawdopodobny a posteriori niż proces STUR w którym występuje
zmienny pierwiastek jednostkowy i warunkowa homoskedastyczność. Co więcej model STUR
we większości przypadków okazał się mniej prawdopodobny a posteriori niż zwykły model
błądzenia przypadkowego. Ostatnie badania na gruncie wnioskowania klasycznego ([7])
wskazują, że modele STUR są mocno wrażliwe na nieliniowe transformacje pierwotnych
danych. Logarytmowanie cen może być jedną z przyczyn, dla których model ze
stochastycznym pierwiastkiem jednostkowym jest w przeprowadzonym badaniu tak mało
prawdopodobny a posteriori.
Przedstawione badania mają oczywiście charakter cząstkowy i z dużą ostrożnością
należy odnosić się do uogólnień dotyczących polskiego rynku, czy tez rynków zagranicznych.
Wydaje się jednak, że znaczna przewaga modeli GARCH nad modelami STUR może wynikać
z lepszej (w przypadku tych pierwszych) umiejętności opisu zwiększonej kutrozy stóp zwrotu.
Jacek Kwiatkowski
ZAKOŃCZENIE
W prezentowanym artykule przedstawiono bayesowską estymację oraz testowanie
modeli ze stochastycznym pierwiastkiem jednostkowym (STUR). Rozpatrywano model w
którym losowy parametr jest białym szumem. Omówiono też w skrócie postać oraz
bayesowską estymację najprostszego modelu opisującego zmienność w czasie wariancji
warunkowej tj. model GARCH(1,1). Głównym celem pracy było porównanie mocy
objaśniającej modeli: STUR, GARCH(1,1) oraz błądzenia przypadkowego. Analizie poddano
główne indeksy oraz wybrane spółki notowane dziennie na GPW w Warszawie. Dodatkowo
zbadano dzienne kursy złotego wobec ważniejszych walut. W świetle wyników
przeprowadzonych badań najbardziej prawdopodobne a posteriori są modele GARCH(1,1),
które skupiły niemal całą masę prawdopodobieństwa a posteriori, natomiast modele STUR
okazały się wysoce nieprawdopodobne.
LITERATURA
1. Bollerslev T. (1986), Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal of
Econometrics, 31, 307-327.
2. Box G.E.P., Jenkins G.M. (1983), Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie,
PWN, Warszawa.
3. Doman M., Doman R. (2004), Ekonometryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku
finansowego, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Poznań.
4. Engle R. F. (1982), Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the
variance of United Kingdom inflation, Econometrica, 50, 987-1006.
5. Fiszeder P. (2002), Jednorównaniowe postacie modeli GARCH, Acta Universitatis Nicolai
Copernici, Ekonomia XXXII, Toruń.
6. Granger C.W.J., Swanson N.R. (1997), An Introduction to stochastic unit–root process,
Journal of Econometrics, 80, 35-62.
7. Górka J., Osińska M. (2006), STUR tests and their sensitivity for non-linear transformations
and GARCH. Monte Carlo analysis, wersja niepublikowana.
8. Jones C.R., Marriott J.M. (1999), A Bayesian analysis of stochastic unit root models,
Bayesian Statistics, 6, s. 785-794.
9. Kwiatkowski J., Osińska M. (2003), Procesy zawierające stochastyczne pierwiastki
jednostkowe- identyfikacja i zastosowanie, Dynamiczne modele ekonometryczne, Toruń, 273282.
10. Kwiatkowski J. (2005a), Bayesowskie testowanie procesów STUR - analiza indeksów i
Bayesowskie porównanie modeli STUR i GARCH…
spółek notowanych na GPW, Dynamiczne modele ekonometryczne, Toruń, 217-223.
11. Kwiatkowski J. (2005b), Maximum likelihood estimation of stochastic unit root models with
GARCH disturbances, Forecasting Financial Markets. Theory and Applications, Łódź, 149157.
12. Leybourne S.J., McCabe B.P.M.. Mills T.C. (1996), Randomized unit root processes for
modelling and forecasting financial time series: theory and applications, Journal of
Forecasting, 15, 253-270.
13. Leybourne S.J., McCabe B.P.M., Tremayne A.R. (1996), Can economic time series be
differenced to stationarity? Journal of Business and Economic Statistics, 14, 435-446.
14. Osiewalski J. (2001), Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.
15. Osiewalski J., Pipień M. (1999), Bayesowskie testowanie modeli GARCH i IGARCH,
Przegląd Statystyczny, 46, 5-23.
16. Osińska M. (2004), Stochastic unit roots process – properties and application,
Macromodels'2003, Uniwersytet Łódzki, Łódź, 169-179.
17. Pipień M. (1999), Całkowanie numeryczne w analizie bayesowskiej: Monte Carlo z funkcją
ważności, Przegląd Statystyczny, 46, 155-176.
18. Pipień M. (2001), Bayesowska analiza modeli GARCH: założenia, metody i wyniki, Metody
ilościowe w naukach ekonomicznych. Pierwsze warsztaty doktorskie z zakresu Ekonometrii i
Statystyki, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Warszawa, 141-163.
19. Sollis R., Leybourne S.J., Newbold P. (2000), Stochastic unit roots modelling of stock price
indices, Applied Financial Economics, 10, 311-315.
20. Tong H. (1990), Non-linear time series: a dynamical system approach, Oxford University
Press, Oxford.