00507 Praca i Energia D 2008 - teoria

1
00507 Praca i energia D
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00507
Praca i energia D
Praca i moc mechaniczna.
Energia mechaniczna i jej składniki.
Zasada zachowania energii mechanicznej.
Zderzenia doskonale spręŜyste.
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 14
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2. Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i stałych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do oddawanej pracy.
3. Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawartość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowadzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informacje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
2
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 31
Praca i moc mechaniczna.
1. Energia stała się przedmiotem troski kaŜdego człowieka. Ilość energii osiągalnej na Ziemi
jest ograniczona i nieomal osiągnęliśmy tę granicę. Dobrobyt osobisty jest związany ze
zuŜyciem energii. Na przykład dochody narodowe brutto są prawie proporcjonalne do zuŜycia energii. Produkcja i dystrybucja dobra wytwarzanego w ograniczonej ilości staje się
wobec tak wysokiego zapotrzebowania, pierwszorzędnym problemem ekonomicznym i
społecznym przy wszelkich rozwaŜaniach technologicznych. Trudno jest podejmować
mądre i słuszne decyzje nie mając zasadniczego pojęcia czym jest energia, ani nie znając
technologii przekształcania i dystrybucji energii. RozwaŜać teraz będziemy róŜne formy
energii i jej konwersje z jednej formy w drugą. Będziemy studiować zagadnienia związane z pracą, mocą, energią kinetyczną, energią potencjalną. NajwaŜniejsza chyba zasada w
całej fizyce - zasada zachowania energii - będzie omówiona w tym dziale. Nakłada ona
sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystywanie. Zasada zachowania
energii będzie centralnym tematem większości poruszanych problemów, czy to dotyczących mechaniki, grawitacji, termodynamiki, elektromagnetyzmu, fizyki atomowej czy fizyki współczesnej. W mechanice zasada zachowania energii dostarczy nam potęŜnego narzędzia do obliczania ruchu ciała będącego pod działaniem róŜnego rodzaju sił. W wielu
przypadkach będziemy mogli dzięki niej ominąć zasady dynamiki Newtona i w łatwy
sposób analizować ruch ciała.
r
2. Praca pod działaniem stałej siły ( F = const.).
r
Miarą pracy mechanicznej jest iloczyn skalarny dwóch wektorów: siły F i przesunięcia
r
∆r spowodowanego tą siłą. Zatem praca jest wielkością skalarną. PoniŜsze rysunki ilustrują konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu skalarnego:
Rys. 1
Rys. 2
ry
Fy
y
r
F
α
Rys. 3
r r
Fx ∆r x
y
r
r
Fx = F
r
∆r x
r
∆r
r
F
r
r
Widać, Ŝe o przesunięciu ciała decyduje rzut siły F (czyli siła Fx ) na kierunek przesunięr
r
cia ∆r , a nie cała siła F , stąd konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu skalarnego, który przecieŜ mówi o mnoŜeniu długości jednego wektora przez rzut drugiego
wektora na kierunek pierwszego wektora. Ostatecznie
r mamy
r
(1)
W = Fx ⋅ ∆r = F ⋅ ∆r cos α = F ⋅ ∆r
r
W ruchu prostoliniowym wartość wektora przesunięcia ∆r jest równa przebytej drodze s,
wtedy mamy:
(2)
W = F ⋅ s cos α .
3
00507 Praca i energia D
TEORIA
Wnioski:
⇒ maksymalną pracę wykonuje siła równoległa do przesunięcia (rys. 2), wówczas
W = F ⋅ s cos00 = F ⋅ s ,
⇒ praca siły prostopadłej do przesunięcia jest równa zeru (rys. 3), bowiem
W = F ⋅ s cos900 = 0 ,
⇒ praca siły jest dodatnia, gdy kąt α (rys. 1) jest ostry, ujemna, gdy kat α jest rozwarty,
wartość pracy moŜna wyrazić graficznie jako pole prostokąta (rys. 4):
F
Rys. 4
W = Fs
r
∆r
0
s
3. Praca siły spręŜystości ( F = k ⋅ x ).
Siła spręŜystości jest proporcjonalna do wydłuŜenia, które sama powoduje (lub które powoduje
F
Rys. 5
siła zewnętrzna przy jej pokonywaniu.
(3)
F = kx,
x - wydłuŜenie,
k - współczynnik proporcjonalności.
1
Z rysunku 5 widać, Ŝe:
W = F⋅x
2
1
1
(4)
W = F ⋅ x = k ⋅ x 2 = E ps
2
2
Zatem pracarokreślona wzorem (4) jest miarą energii potencjalnej spręŜystości. Pamiętajmy, Ŝe siła F (siła spręŜystości) jest siłą zachowawczą !
*Jeśli znasz rachunek całkowy:
(5)
W = ∫ Fdx = ∫ kxdx = k ∫ xdx =
1
k ⋅ x2
2
4
00507 Praca i energia D
TEORIA
r
4. *Praca pod działaniem sił zmiennych ( F ≠ const.).
r
Gdy siła F w róŜnych przedziałach
czasu przyjmuje róŜne wartości, wtedy
wykonywana praca jest sumą prac
elementarnych przy tak małych przesunięciach, przy których siła była stała:
graficznie oznacza to sumę pól prostokątów przedstawionych na rysunku 6.
A zatem:
3
3 r
3
r
(6) W = ∑ Wi = ∑ Fi ⋅ ∆r = ∑ Fi ⋅ si
Rys. 6
F
F1
F3
F2
W1
W2
0
W3
s1
s2
s3 s
i =1
i =1
i =1
i
dla ruchu prostoliniowego, w którym
siła działa równolegle do przesunięcia ciała.
F
Gdy siła zmienia się „w sposób ciągły”, wtedy praca jest równa sumie
prac elementarnych przy tak małych
Ŝe moŜemy przyjąć
przemieszczeniach,
r
iŜ F = const. na tej elementarnej drodze (rys. 7). Teraz pracę określimy
jako:
Rys. 7
0 sa
ds
sb
s
Gdy ∆s → 0, wtedy ∆s = ds.
n
sb
(7) W = lim ∑ Fi ∆si = ∫ Fds
∆s→ 0 i =1
sa
dla siły równoległej do przesunięcia po torze prostoliniowym.
Ogólnie, dla wszystkich przypadków powyŜej omówionych, moŜemy zapisać:
rb
r r
W = ∫ Fdr
(8)
ra
5. Jednostka pracy. W układzie SI jednostkę pracy określamy jako:
(9)
1
kg ⋅ m
⋅ 1m = 1N ⋅ 1m = 1J
s2
Zatem siła jednostkowa (1N) przesuwając ciało na drodze równieŜ jednostkowej (1m)
wykonuje pracę jednego dŜula (1J).
5
00507 Praca i energia D
TEORIA
6. Moc mechaniczna. JeŜeli jest wykonywana praca w pewnym przedziale czasu, wówczas
tempo przekazywania energii (wykonywania pracy) określamy:
∆W
⇒ gdy praca jest wykonywana równomiernie: (10) P =
(definicja mocy mecha∆t
nicznej),
∆W dW
⇒ jeŜeli praca jest wykonywana nierównomiernie: (11) Pch = lim
=
(moc
∆t → 0 ∆t
dt
chwilowa),
W
⇒ (12) Pśr = c , gdzie Wc oznacza całkowitą pracę wykonaną w czasie t (moc średnia).
t
7. Jednostka mocy. Ponownie interesuje nas jednostka wyraŜona w układzie SI.
kg ⋅ m
⋅m
2
J
N ⋅m
kg ⋅ m2
s
1 =1
=1
= 1 3 = 1W
s
s
s
s
(13)
Zatem moc jest jednostkowa (1W = 1 wat), jeŜeli w ciągu jednostkowego czasu (1s) siła
wykona jednostkową pracę (1J).
RóŜne, najczęściej spotykane, określenia mocy:
⇒ moc określa szybkość wykonywania pracy,
⇒ moc informuje o wartości pracy wykonywanej w jednostce czasu,
⇒ moc jest równowaŜna wartości energii przekazanej w jednostce czasu,
⇒ silnik ma moc jednego wata, jeŜeli w ciągu jednej sekundy wykonuje pracę jednego
dŜula.
8. Analizując pracę i moc mechaniczną często spotykamy się z pojęciem sprawności. Obie
poniŜsze definicje, jak łatwo się przekonać, są równowaŜne:
(14)
η=
WuŜyteczna
Wca ł kowita
lub
(15)
η=
PuŜyteczna
Pca ł kowita
Widać, Ŝe sprawność przyjmuje wartości od 0 do 1, jeŜeli pomnoŜymy wzory (14) i (15)
przez 100 % otrzymamy sprawność procentową zawartą w przedziale od 0 do 100 %.
6
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 32
Energia mechaniczna, jej podział i opis.
1. Pojęcie pracy ściśle wiąŜe się z pojęciem energii, które jest podstawowe dla całego przyrodoznawstwa i techniki. Miarą energii jest zasób pracy zmagazynowany w danym ciele lub układzie
ciał, który moŜe być zmniejszany (energia maleje) lub zwiększany (energia rośnie). Innymi
słowy, wartość energii nie jest stała, charakterystyczna dla danego ciała (układu ciał), lecz zaleŜy
od jego stanu.
2. Energia moŜe występować w dwóch podstawowych stanach: jako energia związana z ruchem,
czyli tzw. energia kinetyczna, oraz jako energia związana ze specjalnym połoŜeniem elementów
danego ciała (lub elementów wchodzących w skład układu ciał) względem siebie, czyli tzw. energia potencjalna. W zaleŜności od rozpatrywanych zjawisk moŜna rozróŜnić energię mechaniczną,
elektryczną, jądrową itp. W tym dziale interesować nas będzie energia mechaniczna , którą równieŜ podzielić moŜna na kinetyczną i potencjalną.
3. Mówimy, Ŝe ciało ma mechaniczną energię kinetyczną, gdy dzięki prędkości swego ruchu jest
zdolne do wykonania pracy. Taki warunek spełnia np. wagon kolejowy poruszający się po szynach. Uderzając o jakąś przeszkodę moŜe on ją przesunąć lub zgnieść, a więc wykonać pracę.
4. Od rozwaŜań ogólnych związanych z pojęciem energii przejdziemy teraz do rozwaŜań związanych
z energią kinetyczną. Na ciało o masie m i prędkości początkowej v0 zaczyna działać siła F =
const., skierowana zgodnie z kierunkiem osiąganej w konsekwencji prędkości. Siłę F traktujemy
jako jedyną siłę działającą na poruszające się ciało. MoŜe to być rzeczywiście jedyna siła (np. siła
cięŜkości działająca na ciało spadające w próŜni)) albo siła wypadkowa wszystkich sił działających na ciało. Siła F działając na pewnej drodze s w czasie t wywołuje ruch jednostajnie przyspieszony ( II zasada dynamiki) i wykonuje pracę W:
(1)

at 2 
F 2t 2
(mv − mv0 ) 2
W = F ⋅ s = F  v0 t +
= (mv − mv0 )v0 +
=
 = Fv0t +
2 
2m
2m

mv 2
mv02 mv 2 mv02
= mvv0 − mv +
− mvv0 +
=
−
2
2
2
2
2
0
Zastosujemy teraz twierdzenie o pracy i energii:
(2)
W = E kB − E kA
Praca wykonana przez siłę wypadkową na drodze od
punktu A do punktu B, jest równa energii kinetycznej w
punkcie B minus energia kinetyczna w punkcie A.
Porównując wyprowadzenie wzoru (1) ze wzorem (2),
otrzymujemy:
mv02
,
2
mv 2
B
Ek =
.
2
E kA =
(3)
Określiliśmy za pomocą wzorów (3) matematyczną
postać początkowej i końcowej energii kinetycznej
ciała.
5. Zatem ostatecznie energię kinetyczną ciała o
masie m poruszającego się z prędkością v moŜemy
zapisać jako:
(4)
Ek =
mv 2
2
.
7
00507 Praca i energia D
TEORIA
*Ramka z rachunkiem całkowym
Gdy siła nie spełnia warunku stałości, wtedy równieŜ dojdziemy do finału wyprowadzenia (1),
a tym samym udowodnimy twierdzenie o pracy i energii:
B
(5)
W = ∫ Fds
A
B
(6)
W = ∫m
A
dv
vdt
dt
B
B
(7)
dv
W = m∫ v dt = m∫ vdv
dt
A
A
(8)
 v2 
mv B2 mv 2A
−
W = m  =
2
2
 2 A
(9)
W = E kB − E kA
B
Temat: 33
Analiza zderzeń doskonale spręŜystych.
1. Gdy zderzają się dwa ciała stałe, w punkcie zetknięcia narasta bardzo szybko duŜa siła kontaktowa. Zwykle ta siła jest tak wielka, Ŝe ciała podlegają chwilowej kompresji w punkcie zetknięcia. Wielka, lecz chwilowa siła kontaktowa wywołuje zmiany kierunku i wartości bezwzględnej prędkości obu ciał
2. Wartość siły kontaktowej występującej w czasie zderzenia moŜna oszacować za pomocą
wprowadzonego wcześniej popędu (impulsu) siły.
Przykład: 1
Samochód o masie m = 1,5 t jadąc z prędkom
ścią v = 20
zderza się z drzewem i zas
trzymuje się w ciągu t = 0,03 s. Wywołana
wypadkiem deformacja wynosi l = 30 cm.
Jaka jest średnia siła działająca na samochód
w ciągu tego czasu ?
(Odp. F = 106 N, czyli jest około 70 razy
większa od cięŜaru samochodu.)
Przykład: 2
W zderzeniu opisanym w przykładzie 1
pasaŜer o masie m1 = 80 kg jest przypięty
pasem bezpieczeństwa o szerokości równej
d = 5 cm i grubości s = 2 mm. Czy pas zerwie się, jeŜeli wytrzymałość na zerwanie
materiału, z którego jest zrobiony wynosi p
= 5 ⋅ 108 Pa ?
(Odp. Pas bezpieczeństwa wytrzyma.)
Gdyby w zderzeniu opisanym w dwóch powyŜszych przykładach pasaŜer nie miał przypiętego
pasa bezpieczeństwa, to jego głowa zderzyłaby się z przednią szybą. Czas zderzenia głowa-szyba,
∆t byłby pewnie sto razy krótszy niŜ czas, w którym zatrzymał się samochód. PoniewaŜ F rośnie
1
jak
, to głowa roztrzaskałaby się.
∆t
8
00507 Praca i energia D
TEORIA
3. Gdy dwa ciała (w dalszych przykładach będą to kule) zderzają się, moŜe to być, jak pamiętamy, zderzenie spręŜyste (elastyczne) lub niespręŜyste (nieelastyczne). Drugi rodzaj zderzeń
był omówiony wcześniej, teraz przyszedł czas na omówienie zderzenia spręŜystego. W zderzeniu spręŜystym całkowita energia kinetyczna po zderzeniu jest taka sama jak przed
zderzeniem. Omówimy dwa pospolite typy zderzeń spręŜystych, tzn. proste i skośne.
Przykład: 3
Dwie doskonale spręŜyste kule poruszają się w jednym kierunku. Pierwsza kula o masie m1 ma prędkość v1, druga o masie m2 ma prędkość v2. Obliczyć
prędkości tych kul u1 i u2 po zderzeniu spręŜystym.
Rozwiązanie przykładu 3 nie przerasta
moŜliwości matematycznych przeciętnego ucznia szkoły średniej, dlatego ograniczymy się tylko do krótkiego omówienia. JednakŜe koniecznie naleŜy przeprowadzić niezbędne przeliczenia !
Skoro mamy dwie niewiadome u1 i u2,
naleŜy skorzystać z układu dwóch równań, które moŜemy stosować przy tego typu zderzeniach, a
wynikających ze znanych praw:
(1)
m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2 v2
(zasada zachowania pędu)
(2)
m1v12 m2 v22 m1u12 m2 u22
+
=
+
2
2
2
2
(zachowanie całkowitej energii kinetycznej układu kul)
Rozwiązując układ równań (1) i (2) otrzymujemy szukane prędkości kul:
(3)
u1 =
2m2 v2 + (m1 − m2 )v1
m1 + m2
(4)
u2 =
2m1v1 + (m2 − m1 )v2
m1 + m2
Niekiedy wygodniej jest stosować wzory (3a) i (4a) równowaŜne powyŜszym, a mianowicie:
(3a)
u1 = 2v - v1
oraz
(4a)
u2 = 2v - v2
Prędkość v oznacza tu znany juŜ związek:
(5) v =
m1v1 + m2 v2
,
m1 + m2
czyli
prędkość wspólną kul po zderzeniu niespręŜystym lub chwilową prędkość wspólną po zderzeniu
spręŜystym
9
00507 Praca i energia D
TEORIA
Przykład: 4*
Kula bilardowa uderza drugą o tej samej masie i wielkości, ale będącą w spoczynku, z prędkością
cm
v=8
w ten sposób, Ŝe kąt jaki tworzy kierunek jej ruchu z płaszczyzną styczności tych kul w
s
chwili zderzenia jest α = 600. Oblicz prędkości u1 i u2 tych kul po zderzeniu spręŜystym.
Rozwiązanie:
Dane:
cm
v=8
s
0
α = 60
u1 = ?
u2 = ?
x
r
v
r
vs α
y
r
vcz
2
1
Rys. 1
(6)
v =
m1v1 + m2 v2
m1 + m2
=
mv
v ⋅ sin α
m1v1
= 1=
2m
2
m1 + m2
, (rys. 1)
r
r
Obliczamy teraz parametry kuli drugiej po zderzeniu rozkładając prędkość v na styczną vs oraz
r
czołową vcz względem prostej łączącej środki obu kul:
(7) u2cz = 2v − v2 cz
(v2 = 0)
(8) u2cz = 2v = v ⋅ sin α
(według wzoru [6]]
(9) u2 s = 0
Dla kuli pierwszej mamy:
(10) u1cz = 2v − v1cz = v ⋅ sin α − v1cz = v ⋅ sin α − v ⋅ sin α = 0
(11) u1s = v ⋅ cos α
Cały czas pamiętamy, Ŝe w zderzeniu udział biorą tylko składowe czołowe prędkości kuli pierwszej i drugiej (przy czym dla drugiej kuli jest ona równa zeru). Mając wszystkie składowe prędkości obu kul, ostatecznie otrzymujemy:
m
(12) u1 = v12s + v12cz = v 2 ⋅ cos2 α = v ⋅ cos α = 0,04
s
m
(13) u2 = v22s + v22cz = v 2 ⋅ sin 2 α = v ⋅ sin α = 0,69
s
Wnioski:
m
w kierunku zgodnym z osią OX (rys. 1), natomiast kula
Kula pierwsza uzyska prędkość 0,04
s
m
druga - prędkość 0,69
wzdłuŜ osi OY. Dowiedliśmy, Ŝe przy zderzeniu spręŜystym dwóch kul
s
o jednakowych masach, kule rozbiegają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych.
10
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 34
Zachowawczy charakter siły cięŜkości.
Energia potencjalna cięŜkości.
1. Jak juŜ było powiedziane, energia mechaniczna moŜe być zmagazynowana w ciele (lub
układzie ciał) nie tylko pod postacią energii kinetycznej, lecz takŜe pod postacią energii
potencjalnej.
2. Podnosząc ciało w próŜni ruchem jednostajnym na wysokość h nie wywołujemy przyrostu
energii kinetycznej, gdyŜ wypadkowa siła naszych mięśni i siły cięŜkości równa jest zeru.
Całkowita praca obu tych sił (jednej dodatniej, drugiej ujemnej) równa się zeru. Dodatnia
praca naszych mięśni nie jest jednak „marnowana” - jest ona magazynowana w ciele podniesionym na wysokość h nad powierzchnię Ziemi i moŜe być zwrócona przy spadku ciała
na Ziemię. Podobnie moŜe być odzyskana praca włoŜona na ściśnięcie lub rozciągnięcie
spręŜyny. Przesunięcie na drodze poziomej ruchem jednostajnym wymaga zastosowania
siły napędowej, równej sile tarcia. Podobnie jak w pierwszym przypadku całkowita praca
obu tych sił równa się zeru. Tym razem jednak praca dodatnia siły napędowej nie zostaje
zmagazynowana w ciele: powrót ciała do stanu początkowego znów wymaga zastosowania siły napędowej, bowiem siła tarcia znowu przeszkadza ruchowi. Praca siły napędowej
zostaje rozproszona w otoczeniu pod postacią energii cieplnej.
3. W omówionych przykładach siła napędowa pokonywała kolejno: siłę cięŜkości, siłę spręŜystą i siłę tarcia. Pierwsze dwie siły zaliczamy do tzw. sił potencjalnych (zachowawczych), trzecią do sił rozpraszających (niezachowawczych).
Praca pokonania sił zachowawczych zostaje zmagazynowana w ciele (układzie ciał) pod
postacią energii potencjalnej, natomiast praca pokonania sił rozpraszających zamienia
się na energię cieplną i rozprasza w otoczeniu.
4. ZałóŜmy, Ŝe ciało o masie m znajduje się na pewnym poziomie początkowym, któremu
przypisujemy umownie zerową wartość energii potencjalnej. Energia potencjalna Ep
związana z podniesieniem ruchem jednostajnym tego ciała na wysokość h ponad poziom
zerowy, powstaje kosztem pracy pokonania siły cięŜkości (opór powietrza zaniedbujemy).
A zatem:
(1)
Ep = W = F ⋅ s = m⋅ g ⋅h
BliŜsze zbadanie energii potencjalnej grawitacji prowadzi do wniosku, Ŝe jej wartość dla
ciała wzniesionego na wysokość h ponad poziom zerowy nie zaleŜy od drogi, wzdłuŜ której zostało ono podniesione, przy załoŜeniu braku siły tarcia (rys.1).
h
SI
SII
SIII
SIV
Rys. 1
0
11
00507 Praca i energia D
TEORIA
5. Z róŜnych dróg przedstawionych na rysunku 1 wybieramy teraz drogę pierwszą - pionową, oraz drugą - ukośną (np. po równi pochyłej bez tarcia). PokaŜemy je na rys. 2 i dla
nich przedstawimy dowód:
y
r
F
C
s
r
Qx
α
h
α
α
A
x
r
Qy
B
r
Q
Rys. 2
Praca wzniesienia ciała o masie m na wysokość h wzdłuŜ drogi BC (rys. 2), jak pamiętamy
wynosi:
(2) WBC = m ⋅ g ⋅ h
r
Wciąganie ciała po równi
pochyłej
ruchem
jednostajnym
wymaga
zastosowania
siły
F
rówr
r
nowaŜącej składową Qx siły cięŜkości Q styczną do powierzchni równi, ale:
(3) Qx = mg ⋅ sin α .
Praca siły wciągającej ciało na drodze AC, gdzie AC = s
wynosi:
(4)
W AC = mgs ⋅ sin α = mgh
( mg = Q, s ⋅ sin α = h )
Widać, Ŝe praca WAC wciągania ciała po równi pod kątem α jest taka sama jak praca WBC
pionowego wznoszenia ciała na wysokość h ( nie zaleŜy od kąta α nachylenia równi do poziomu).
Analiza dróg SIII i SIV równieŜ dałaby podobny wynik (W = mgh) i nie ma konieczności dowodzenia tego (przypadek SIV wymaga rachunku całkowego).
Wnioski:
⇒ Zatem praca pokonywania siły cięŜkości (a więc i praca siły cięŜkości) nie zaleŜy od
kształtu drogi, lecz tylko od połoŜenia początkowego i końcowego badanego ciała. Jest to
słuszne dla wszystkich sił zachowawczych,
⇒ Praca siły zachowawczej na drodze zamkniętej równa się zeru (rys. 3a i 3b).
12
00507 Praca i energia D
TEORIA
Dla rys. 3a mamy:
(5) W = W1 + W2 + W3 + W4 = mgh + 0 - mgh + 0 = 0.
W2
W1
W3
W4
Rys. 3a
*Dla rys. 3b mamy zapis z elementów matematyki wyŜszej ale o sensie fizycznym toŜsamym
z wnioskiem wynikającym z rysunku 3a:
r r
(6) W = ∫ Fdr = 0
W przypadku rys. 3b dzielimy tor na nieskończenie wiele małych prostoliniowych odcinków
dr i rozwaŜamy na nich pracę siły cięŜkości.
dr
Rys. 3b
13
Temat: 35
00507 Praca i energia D
TEORIA
Zasada zachowania energii mechanicznej.
1. Poprzednio omawiane były takie układy ciał, w których działały wyłącznie siły zachowawcze. Takie układy nazywamy układami zachowawczymi. Układy te, w ścisłym słowa znaczeniu, nie istnieją w przyrodzie. Układ zachowawczy stanowiłaby np. idealnie
spręŜysta spręŜyna, idealnie spręŜysta kula odbijająca się w próŜni od idealnie spręŜystej
podstawy. W przybliŜeniu układem zachowawczym byłoby wahadło odbywające ruch w
próŜni z minimalnym tarciem w punkcie zawieszenia. Prawie zachowawczy jest Układ
Słoneczny.
2. W układach zachowawczych odosobnionych (tzn. nie poddanych działaniom sił zewnętrznych) obowiązuje zasada zachowania energii mechanicznej, która brzmi:
• W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna E,, równa
sumie energii potencjalnej Ep i energii kinetycznej Ek, jest wielkością stałą, tzn. niezmienną w czasie:
E = Ep + Ek = const.
3. Układy, z jakimi mamy do czynienia na Ziemi, to układy rozpraszające, gdyŜ występuje
w nich zwykle tarcie, a więc i siły rozpraszające. A zatem w przypadku przemiany pracy
na energię w warunkach ziemskich, kosztem pracy siły napędowej zmienia się zasób
energii mechanicznej kinetycznej i potencjalnej oraz dodatkowo pojawiają się nowe rodzaje energii.
4. Mimo, Ŝe przedmiotem naszych anaPrzykład:
liz była energia mechaniczna, naleŜy
Samochód wjeŜdŜa ruchem przyspieszonym wspomnieć o jednej z najwaŜniejszych
na górę po nawierzchni drogi o pewnym tar- zasad całego przyrodo znawstwa, a miaciu. Kosztem pracy siły napędowej rośnie nowicie zasadzie zachowania energii.
energia kinetyczna (wzrost prędkości), rośnie Dotyczy ona wszystkich moŜliwych
teŜ energia potencjalna grawitacji (wzrost odmian energii. Według tej zasady:
wysokości wzniesienia) oraz pojawia się W układzie odosobnionym od zewnętrzenergia cieplna związana z pokonywaniem sił nego otoczenia w ten sposób, Ŝe energia
tarcia.
w Ŝadnej postaci nie przenika do niego z
zewnątrz ani nie uchodzi z niego na zewnątrz, całkowita wartość energii pozostaje niezmienna: mogą zachodzić jedynie przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną.
Energia nie moŜe być ani stwarzana ani niszczona.
5. Wnioskiem z zasady zachowania energii jest niemoŜność zbudowania urządzenia zwanego perpetuum mobile, które pracowałoby bez zasilania energią z zewnątrz i bez zmniejszania energii własnej (na dalszych stronach niniejszego kursu znajdzie się dokładniejsze
omówienie perpetuum mobile I i II rodzaju).
Koniec
14
00507 Praca i energia D
TEORIA
Notatki: