Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb
Autor: Szymon Stolarczyk
Spis treści
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Podzielnośd liczb
Podzielnośd przez 2
Podzielnośd przez 3
Podzielnośd przez 4
Podzielnośd przez 5
Podzielnośd przez 9
Podzielnośd przez 10
Podzielnośd przez 25
Podsumowanie
Podzielnośd liczb
Podzielnośd liczb oznacza, iż jeśli dla dwóch liczb
naturalnych a, b istnieje taka liczba naturalna c,
dla której a=b*c to a jest podzielne przez b.
Podzielnośd przez 2
Liczba naturalna a jest podzielna przez 2, gdy jej
ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8.
Przykłady
Liczba 3413 nie jest podzielna przez 2, gdyż jej
ostatnia cyfra to 3. 3413=1706*2+1
Liczba 4152 jest podzielna przez 2, gdyż jej
ostatnia cyfra to 2. 4152=2076*2
Podzielnośd przez 3
Liczba naturalna a jest podzielna przez 3, gdy
suma jej cyfr jest też podzielna przez 3.
Przykłady
Liczba 1564 nie jest podzielna przez 3, gdyż jej
suma cyfr wynosi 1+5+6+4=16, a ta liczba nie
jest podzielna przez 3. 1564=521*3+1
Liczba 1857 jest podzielna przez 3, gdyż jej suma
cyfr wynosi 1+8+5+7=21, a ta liczba jest
podzielna przez 3. 1857=619*3
Podzielnośd przez 4
Liczba naturalna a jest podzielna przez 4, gdy liczba
utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna
przez 4 lub gdy są to dwa zera.
Przykłady
Liczba 3550 nie jest podzielna przez 4, gdyż jej
ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę niepodzielną przez
4. 3550=887*4+2
Liczba 3824 jest podzielna przez 4, gdyż jej jej dwie
ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
3824=956*4
Podzielnośd przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią
cyfrą jest 0 lub 5.
Przykłady
Liczba 6721 nie jest podzielna przez 5, gdyż jej
ostatnia cyfra to 1. 6721=1344*5+1
Liczba 2855 jest podzielna przez 5, gdyż jej
ostatnia cyfra to 5. 2855=571*5
Podzielnośd przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, gdy jej suma cyfr
jest podzielna przez 9.
Przykłady
Liczba 6845 nie jest podzielna przez 9, gdyż jej
suma cyfr wynosi 6+8+4+5=23, a ta liczba nie
jest podzielna przez 9. 6845=760*9+5
Liczba 4257 jest podzielna przez 9, gdyż jej suma
cyfr wynosi 4+2+5+7=18, a ta liczba jest
podzielna przez 9. 4257=473*9
Podzielnośd przez 9 – ciekawostka
Jeżeli wybierzemy dowolną liczbę, obliczymy
różnicę jej i sumy jej cyfr i wykreślimy z wyniku
dowolną cyfrę nie będącą zerem, możemy ją
odgadnąd na podstawie pozostałych cyfr. Dzieje
się tak dlatego, iż dana liczba oraz jej suma cyfr
dają taką samą resztę z dzielenia przez 9, więc
ich różnica jest podzielna przez 9. Wykreślona
cyfra to różnica 9 i reszty z dzielenia przez 9
liczby utworzonej z pozostałych cyfr.
Podzielnośd przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią
cyfrą jest 0.
Przykłady
Liczba 3778 nie jest podzielna przez 10, gdyż jej
ostatnia cyfra to 8. 3778=377*10+8
Liczba 6870 jest podzielna przez 10, gdyż jej
ostatnia cyfra to 0. 6870=687*10
Podzielnośd przez 25
Liczba jest podzielna przez 25, gdy liczba
utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr też jest
podzielna przez 25 lub gdy są to dwa zera.
Liczba 3134 nie jest podzielna przez 25, gdyż
liczba 34 nie jest podzielna przez 25.
3134=125*25+9
Liczba 8875 jest podzielna przez 3, gdyż liczba 75
jest podzielna przez 25. 8875=355
Zadanie I
Wiadomo, iż pewna liczba naturalna a przy
dzieleniu przez 2, 3, 4 i 5 daje resztę 1. Poza tym
10<a<100. Ile wynosi a?
Zadanie I - rozwiązanie
Skoro liczba a przy dzieleniu przez 2, 3, 4, 5 daje
resztę 1, to liczba a-1 jest podzielna przez 2, 3, 4 i 5.
Skoro liczba jest podzielna przez 2 i 5, musi kooczyd
się cyfrą 0, czyli byd podzielna przez 10. Skoro liczba
jest podzielna przez 4, to jej połowa musi byd
parzysta. W przypadku liczby podzielnej przez 10 tę
zasadę spełniają tylko liczby podzielne przez 20, jej
pierwsza cyfra to 2, 4, 6 lub 8. Nasza liczba musi byd
też podzielna przez 3. Ponieważ jest dwucyfrowa, a
jedną z jej cyfr jest 0, druga cyfra musi wynosid 3, 6
lub 9. W takim razie cyfrą tą jest 6. W takim razie
a=61.
Podsumowanie
Liczba jest podzielna przez 2, gdy kooczy się na 2, 4, 6, 8, 0.
Liczba jest podzielna przez 3, gdy jej suma cyfr jest też
podzielna przez 3.
Liczba jest podzielna przez 4, gdy liczba utworzona z jej dwóch
ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0, lub 5.
Liczba jest podzielna przez 9, gdy jej suma cyfr jest podzielna
przez 9.
Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0.
Liczba jest podzielna przez 25, gdy liczba utworzona z jej
dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 25.