Lista 7

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. INF, PPT.
Lista zadań nr 7
2016/17
1. Pokazać, że kula w B(x, r) = {y : d(x, y) < r} ⊆ R2 jest zbiorem otwartym
w R2 .
2. Pokazać, że σ-algebra zbiorów borelowskich na R jest generowana przez
odcinki o końcach wymiernych.
3. Pokazać, że σ-algebra zbiorów borelowskich na R jest generowana przez
pólproste postaci [q, ∞), gdzie q jest liczba̧ wymierna̧.
4. Pokazać, ze zbiory (0, 1] × [2, 3], {0} × (1, 2), {y : d(x, y) ≤ r} ⊆ R2 dla r > 0,
sa̧ zbiorami borelowskimi na R2 .
5. Obliczyć miarȩ Lebesgue’a zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych
na odcinku [0, 1].
6. Obliczyć λ2 ({0} × [0, 2]).
7. Rzucamy losowo dwa punkty na odcinek [0, 2]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spadna̧ w odleglości mniejszej niż 1/3 od siebie? (Zakladamy, że
prawdopodobieństwo upadku punktu na dany odcinek (a, b) jest proporcjonalne
do dlugości b − a tego odcinka.)
8. Na odcinku [0, 1] rzucamy niezależnie trzy punkty x1 , x2 ,x3 (zakladamy, że
prawdopodobieństwo upadku punktu na dany odcinek (a, b) jest proporcjonalne
do dlugości b−a tego odcinka). Obliczyć prawdopodobieństwo P [x1 < x2 < x3 ].
9. Na odcinku [0, 1] rzucamy niezależnie trzy punkty x1 , x2 ,x3 (zakladamy, że
prawdopodobieństwo upadku punktu na dany odcinek (a, b) jest proporcjonalne
do dlugości b − a tego odcinka). Obliczyć prawdopodobieństwo P [x1 + x2 < x3 ].
10. Rysujemy losowo ciȩciwȩ w pewnym okrȩgu. Jaka jest szansa, że ciȩciwa
bȩdzie dluższa niż bok trójka̧ta równobocznego wpisanego w ten okra̧g? (wsk.
zdefiniować, co znaczy ”rysujemy losowo ciȩciwȩ”).
1