zestaw 1.

Przykładowe zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa
1. Na rysunku podany jest schemat układu zbudowanego z elementów A, B, C, D oraz E,
w którym między punktami X i Y przekazywane są informacje.
Informacja moŜe przejść z jednego punktu do drugiego tylko wtedy, gdy istnieje
przynajmniej jedna ścieŜka, na której wszystkie elementy są sprawne. Przyjmijmy, Ŝe
w trakcie przekazywania informacji szansa sprawnego działania kaŜdego z elementów
jest taka sama i wynosi p, a fakt zepsucia się dowolnego z elementów nie ma wpływu
na funkcjonowanie pozostałych. Ile wynosi prawdopodobieństwo P, Ŝe między
punktami X oraz Y utrzymana będzie komunikacja.
A
D
C
Y
X
B
E
2. Napisać twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym oraz rozwiązać zadanie:
Sklep spoŜywczy otrzymuje soki od trzech dostawców, których oznaczymy X, Y, Z.
Wiadomo, Ŝe dostawy dostawcy X zawierają 2% butelek z uszkodzonymi nakrętkami,
dostawy Y – 6% a dostawy Z – 1%. Od odbiorcy wpłynęła reklamacja, Ŝe klient kupił
butelkę z uszkodzoną nakrętką. Ustalono, Ŝe w wymienionym w reklamacji dniu
nabycia butelki z sokiem, w magazynie znajdowała się jednakowa liczba butelek od
kaŜdego z dostawców. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe reklamowana butelka
pochodzi od dostawcy Y?
3. Podać definicję przestrzeni probabilistycznej. oraz wykazać, Ŝe jeśli Ω - przestrzenią
zdarzeń elementarnych oraz A, B ⊂ Ω zdarzenia losowe, to
P ( A ) + P ( A ∩ B ) = P (B ) + P ( A ∩ B ) .
4. Rzucamy kością do gry. Sprawdzić, czy wyrzucenie parzystej liczby oczek lub liczby
oczek podzielnej przez 3, to zdarzenia zaleŜne czy teŜ nie.
5. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzy razy reszki w czterech
rzutach monetą symetryczną.
6. Na stałej drodze s działa siła X, będąca zmienną losową o gęstości
prawdopodobieństwa
 0 x ≤ 0,
2
f(x)=  x 0 < x ≤ 3,
9
 0 x > 3.
Wyznaczyć dystrybuantę (wzór, wykres) tej zmiennej losowej. Obliczyć E(X)
oraz V(X).
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=sX.