Równania wyższego stopnia

Równania wyŜszego stopnia
Zad. 1: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru p równanie: x4 + (p + 1)x2 + p2 – 1 = 0 ma dokładnie dwa
rozwiązania?
Odp.: p ∈ (–1;1).
Zad. 2: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru p równanie x3 – (p + 1)x2 + (p – 3)x + 3 = 0 ma trzy rozwiązania, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych?
Odp.: p = 2.
Zad. 3:
a) Dla jakich wartości parametru m równanie mx3 – (2m + 1)x2 + (2 – 3m)x = 0 ma rozwiązania, których suma jest dodatnia?
*b) Dla jakich wartości parametru m równanie mx3 – (2m + 1)x2 + (2 – 3m)x + 3 = 0 ma trzy
rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
Odp.: a) m ∈ ( − ∞;− 21 ) ∪ 0;+∞) ; b) m = − 15 , m = 17 lub m = 1.
Zad. 4:
RozwiąŜ równania:
a) x 3 − 6 x 2 + 5 x − 15 = 0 ; b) x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0 ; c) x 5 − 2 x 4 − 3x 3 + 8 x 2 − 16 x − 24 = 0 ;
d) x 6 − 8 x 3 + 15 = 0 ; e) x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1 = 0 ; f) x + x 2 = 0 ; g) x 2 − 3 x − 7 = 3x ;
x + 5 − x = x − 3 ; i) 24 x 4 − 20 x 3 − 30 x 2 + 5 x + 6 = 0 .
 1 1 
Odp.: a) x = 3; b) x ∈ {1, 2, 3} ; c) x ∈ {− 2, − 1, 3} ; d) x ∈ 3 3 , 5 3  e) x ∈ {− 1, 1}; f) x = 0;


 2 1 1 3
g) x ∈ − 7 , 7 ; h) x = 4; i) x ∈ − , − , ,  .
 3 2 2 2
h)
{
}
Zad. 5:
Przeprowadź dyskusję ilości rozwiązań równania x 3 − 12 x = m w zaleŜności od parametru m.
Odp.: 1 rozwiązanie dla m ∈ (− ∞, − 16) ∪ (16, + ∞ ) , 2 rozwiązania dla m ∈ {− 16, 16}, 3
rozwiązania dla m ∈ (− 16, 16) .
Zad. 6:
Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie x 4 − 8 x 2 = a w zaleŜności od parametru a?
Zad. 7:
Zbadaj dla jakich m równanie ( m − 2) x 4 − 2( m + 3) x 2 + m + 1 = 0 ma cztery róŜne pierwiastki.
Odp.: m ∈ (2, + ∞ ) .
Zad. 8:
Wyznacz wartość parametru m, dla którego równanie ( m − 2) x 4 − 2( m + 3) x 2 + m − 1 = 0 ma
cztery pierwiastki róŜne od 0.
46
Odp.: m ∈ (2, + ∞ ) .
Zad. 9:
RozwiąŜ równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 wiedząc, Ŝe współczynniki a, b, c, d w podanej
kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 3 .
Odp.: x = −3 .
47