Modele i metody automatyki wykład 2

Modele i metody automatyki
Układy automatycznej regulacji UAR
Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy
automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem
zainteresowań automatyków.
Opracowano pewne klasyczne algorytmy regulacji, które znalazły
szerokie zastosowanie. Do doboru regulatora i jego dostrojenia
potrzebna jest znajomość cech statycznych i dynamicznych obiektu, oraz
kryterium pozwalające oceniać i porównywać uzyskane wyniki.
Istotny jest również charakter działających na układ zakłóceń.
Błąd regulacji powstaje w wyniku działania zakłóceń wpływających na
obiekt, lub zmian wielkości wzorcowej. Reakcja układu zależy od miejsca
ingerencji zaburzenia i dla optymalnego zwalczania błędu w
poszczególnych przypadkach regulator powinien być inaczej dostrojony.
Uwzględniając ten fakt rozróżniamy trzy typy układów:
1. Układ stabilizacyjny, w którym wielkość x(t) = x0 jest stała. Głównym
zadaniem układu jest zwalczanie wpływu zakłóceń działających na
obiekt.
2. Układ nadążny (śledzący) x(t) - jest zmienna. Głównym zadaniem
układu jest wymuszanie nadążania wielkości wyjściowej za nieznanymi
wcześniej zmianami wzorca.
3 Układ programowy, w którym błędy regulacji mogą wynikać ze
zmienności x(t) i z(t) , ale zmienność x(t) jest znaną funkcją czasu i fakt
ten można wykorzystać do poprawy jakości regulacji. (Można
wprowadzić do regulatora zmodyfikowany sygnał wzorcowy,
uwzględniający wynikające z dynamiki układu opóźnienie w formowaniu
pożądanej wielkości wyjściowej.).
Istnieją układy regulacji nie objęte powyższym podziałem. Realizują one
inaczej postawione zadania, co wynika z niemożności przyjęcia
przytoczonych założeń, nazywamy je układami specjalnymi
(niekonwencjonalnymi, ekstremalnymi, adaptacyjnymi).
Nawet przy spełnieniu omówionych założeń w przypadku wysokich
wymagań jakościowych i obiektów zbyt trudnych do regulacji, ze
względu na dynamikę, popularne algorytmy regulacji mogą nie dać
zadawalających wyników. Stosowane są wówczas, na ogół realizowane
cyfrowo, algorytmy specjalne. W układach ze sprzężeniem zwrotnym
bardzo istotne jest opóźnienie występujące w dopływie do regulatora
informacji o reakcji obiektu na zmiany sterowania. Opóźnienia te
powodują, że regulator wypracowuje korektę sterowania na podstawie
zdezaktualizowanej informacji. Prowadzi to do wolnego zaniku błędu
regulacji, a w skrajnym przypadku do teoretycznie nieograniczonego
wzrostu błędu, co określamy jako utratę stabilności przez układ regulacji.
Cechy statyczne elementów UAR. Linearyzacja.
Względy praktyczne (możliwość korzystania z zasady superpozycji)
powodują, że jeżeli jest to tylko możliwe posługujemy się modelami
liniowymi. Założenie liniowości zawsze obowiązuje z pewnymi
ograniczeniami. Opis cech statycznych (związków niezależnych od czasu)
obiektów, czyli matematyczny model ujmujący związki pomiędzy
interesującymi nas wielkościami w stanach ustalonych prowadzi się z
większą dokładnością niż cech dynamicznych. Statyczne błędy regulacji
nie przekraczają kilku procent, natomiast błędy dynamiczne sięgają
100% ale mają charakter przejściowy. Przy opisie cech dynamicznych
możemy sobie pozwolić na większa tolerancję i staramy się
zlinearyzować występujące zależności. Technologia wymaga aby na
etapie doboru nominalnego punktu pracy obiektu uwzględniać
nieliniowy charakter zależności statycznych y = f (u) , które ewentualnie
później będzie można zlinearyzować.
Rozróżniamy wiele typów nieliniowości charakterystyk statycznych i
często nie będzie ich można zlinearyzować. Dotyczy to wystąpienia w
interesującym nas zakresie charakterystyki nieciągłości funkcji,
niejednoznaczności, nieciągłości pierwszej pochodnej. Znacznie lepiej
nadają się do linearyzacji funkcje „gładkie”.
Stosowane są dwie metody linearyzacji. Jeżeli tak jak w układzie
stabilizacyjnym, istnieje punkt pracy od którego stan nie powinien się
znacznie oddalać to stosujemy metodę stycznej. Jeżeli natomiast
przewidujemy pracę w pewnym przedziale zmienności zmiennej
niezależnej to stosujemy metodę siecznej.
Metoda stycznej polega na przybliżeniu funkcji nieliniowej linią prostą
styczną do niej w przyjętym punkcie nominalnym. Jeżeli zależność
nieliniowa podana jest w formie analitycznej to stosujemy rozwinięcie
funkcji w szereg Taylora wokół przyjętego punktu pracy i uwzględniamy
tylko dwa pierwsze wyrazy.:
Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku
układu współrzędnych do punktu styczności (y0, u0), przez podstawienie:
y = y0 + y*; u = u0 + u*. Pozbędziemy się w ten sposób wyrazu wolnego:
Metoda stycznej – interpretacja graficzna
Metoda siecznej polega na zastąpieniu krzywej w zadanym przedziale
prostą przecinającą krzywą w wybranych dwóch punktach (lepsze
przybliżenie można uzyskać stosując metodę minimum całki z kwadratu
odchyłki między krzywą, a przyjętą prostą).
Przy funkcji podanej analitycznie mamy:
Po przesunięciu układu współrzędnych do punktu ( y1, u1), przez
podstawienie: y = y1 + y*; u = u1 + u* pozbędziemy się wyrazu wolnego:
Metoda siecznej – interpretacja graficzna
Linearyzacja elementów UAR.
Jeżeli w UAR występują człony nieliniowe to chcąc je zlinearyzować
musimy na wstępie określić punkty (przedziały) ich nominalnej pracy.
Wymaga to określenia nieliniowych zależności pomiędzy zmiennymi
układu. W układzie mogą wystąpić trzy podstawowe sytuacje połączenia
bloków nieliniowych: szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem
zwrotnym. Nieliniowe zależności statyczne między sygnałami najczęściej
podane są w formie graficznej i wypadkowe charakterystyki zastępcze
wyznacza się graficznie.
Połączenie szeregowe. W połączeniu przykładowym dysponujemy
charakterystykami a = f 1(u) i y = f2(a). Charakterystyki te możemy
umieścić na wspólnym wykresie i kolejno dla poszczególnych wartości u
wyznaczać punkty charakterystyki wypadkowej jak na rysunku
przykładowym zgodnie z relacją:
Połączenie równoległe. Wspólny sygnał po przejściu przez dwa bloki
jest w zależności od znaków stojących przy sumatorze dodawany lub
odejmowany. Operację tę ilustruje rysunek poniżej, zgodnie z relacją:
Połączenie bloków ze sprzężeniem zwrotnym. Szukamy funkcji y = f(u).
Wielość sygnałów po stronie u powoduje, że łatwiej jest wyznaczyć funkcje
odwrotną u = f-1(y). W ten sposób możemy przyjmując kolejne wartości y
wyznaczyć odpowiadające im wartości
po czym uzyskaną zależność trzeba znów odwrócić. Zamiast dwukrotnego
odwracania funkcji wystarczy na czas operacji zmienić role osi odciętych i
rzędnych i przyjmując kolejne wartości y odczytać każdorazowo wartość a z
funkcji y = f1(a) i b z krzywej y = f2-1 (b). Czyli tylko funkcję f2 trzeba odwrócić.
Zauważmy, że ze względu na typ i jednostki sygnału b i y, w podanym układzie
współrzędnych możemy narysować tą zależność tylko jako odwróconą. Aby
układ mógł działać poprawnie uzyskane zależności muszą być jednoznaczne.
Mając w układzie zadaną konkretną wartość wejściową, korzystając z
przytoczonych przekształceń, wyznaczamy odpowiadającą jej wartość wielkości
wyjściowej i punkty pracy wszystkich bloków. Następnie charakterystyki
poszczególnych bloków linearyzujemy metodą stycznych wokół punktów pracy.
W przypadku przewidywanej zmienności wielkości wejściowej w pewnym
przedziale, stosujemy metodę siecznych.
Modele dynamiki.
Potrzeba szybkiej minimalizacji pojawiających się na skutek działania
zakłóceń błędów regulacji wymaga odpowiedniego dobrania i
dostrojenia pod kątem dynamicznym elementów automatyki. W tym
celu musimy przede wszystkim określić dynamikę obiektu. Istnieją dwa
czynniki opóźniające stabilizację sygnału wyjściowego na nowym
poziomie równowagi, po zmianie wartości wielkości wejściowej:
opóźnienie transportowe (czas martwy) i bezwładność obiektów.
Opóźnienie transportowe spowodowane jest skończoną prędkością
nośników informacji.
Przy szybkim nośniku informacji i krótkich trasach jej transportu
opóźnienie transportowe może być niezauważalnie małe, ale nawet tak
szybki nośnik informacji jakim jest światło w skali kosmicznej daje
równie kosmiczne opóźnienia. W zadaniach technologicznych
opóźnienia o charakterze transportowym mogą być na tyle duże, że
uniemożliwią sprawne działanie UAR.
Duże opóźnienia mają miejsce gdy dotyczą transportu masy (np. ciecz o
zmienianym składzie chemicznym transportowana jest na znaczną
odległość). Opóźnienia utrudniające, lub uniemożliwiające działanie UAR
wynikają często z trudności w szybkim pozyskaniu informacji o zmianach
wielkości regulowanej.
Opóźnienie transportowe wywołuje przesunięcie sygnału w czasie, które
zapisujemy:
;
f (t - τ) i wynosi
gdzie: l jest długością drogi jaką pokonuje sygnał z prędkością v .
Bezwładność wynika z faktu, że nowy stan równowagi wymaga zmiany
poziomu napełnienia znajdujących się w obiekcie magazynów energii.
Prędkość przepływu energii pomiędzy magazynami jest ograniczana
przez opory i zależy na ogół od różnicy stanu ich napełnienia, więc w
trakcie wyrównywania poziomów prędkość ta ulega zwolnieniu.
Jeżeli w obiekcie występują tylko skupione magazyny energii i
obowiązują wcześniej przyjęte założenia liniowości i stacjonarności
obiektu to zależność wielkości wyjściowej od sterowania możemy opisać
jednym równaniem różniczkowym n-tego rzędu. Gdzie n jest równe
ilości uwzględnianych w obiekcie magazynów energii.:
Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym
układzie n>m . Opis układu w którym n = m choć często przyjmowany,
jest już tylko modelowym przybliżeniem rzeczywistości bo zakłada
równoczesność reakcji z pobudzeniem. Postać lewej strony równania
wynika z budowy obiektu, a prawej zależy od miejsca i sposobu
sterowania obiektem i przyjęcia zgodnie z naszymi zainteresowaniami
określonego sygnału wyjściowego.
W układach automatyki występuje z reguły większa ilość członów
dynamicznych w połączeniach: szeregowych, równoległych i w pętlach
sprzężenia zwrotnego. Poszczególne sygnały podlegają w nich obróbce, z
tego względu bardzo istotną jest możliwość algebraizacji równań
różniczkowych jakie daje przekształcenie Laplace’a.
Równanie ,
przy założeniu zerowych warunków początkowych, (co w większości
zadań rozwiązywanych w badaniu UAR nie jest istotnym ograniczeniem),
po zastosowaniu przekształcenia Laplace`a przyjmie postać:
Wprowadzimy się pojęcie transmitancji, która w dziedzinie zmiennej s
opisuje obróbkę sygnału w danym obiekcie.
czyli
Transmitancja obiektu reprezentującego tylko opóźnienie transportowe
f (t - τ ) ma postać:
W układach liniowych można dokonywać zmian konfiguracji układu
blokowego, przestrzegając jedynie aby sygnał na swojej drodze
pomiędzy wejściem, a interesującym nas wyjściem był tak samo
obrobiony. Z tego punktu widzenia nieistotna jest kolejność usytuowania
poszczególnych bloków oraz to czy przez dany blok przechodzą
równocześnie inne sygnały.
W UAR mogą wystąpić trzy elementarne połączenia członów:
szeregowe, równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednie
transmitancje zastępcze można łatwo wyznaczyć.
Szeregowe połączenie członów:
Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku powyżej wyliczmy transmitancję
wypadkową:
Zastępcza transmitancja szeregowo połączonych członów,
równa jest iloczynowi transmitancji.
Równoległe połączenie członów:
Zastępcza transmitancja równolegle połączonych członów,
równa jest sumie transmitancji.
Połączenie członów w układzie ze sprzężeniem zwrotnym:
Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku, z sumatora wynika związek:
Ostatecznie otrzymujemy wzór na transmitancję zastępczą:
Każde przekształcenie schematu blokowego liniowego UAR da
się sprowadzić do powyższych trzech przypadków
elementarnych.
Korzystając z powyższych przekształceń UAR możemy przedstawić w
zwięzłej formie, jak na rysunku poniżej, wyróżniając tylko dwa bloki.
Obiekt reprezentuje część technologiczną układu, a regulator elementy
automatyki. Zwraca się tu uwagę na dwa sygnały wejściowe w i z
ingerujące w pracę układu i dwa wyjścia y i ε .
Sygnał y ma istotne znaczenie technologiczne, a sygnał błędu ε
wykorzystywany jest do oceny jakościowej pracy układu.