MASZYNA TURINGA

MASZYNA TURINGA
Maszyna Turinga jest prostym urządzeniem algorytmicznym, uderzająco prymitywnym w
porównaniu z dzisiejszymi komputerami i językami programowania, a jednak na tyle silnym,
że pozwala na wykonanie nawet najbardziej złożonych algorytmów. Maszyna Turinga jest
mechanizmem powstałym w wyniku ciągu uproszczeń: danych, sterowania nimi oraz
uproszczeń podstawowych operacji. Maszynę tą wymyślił w roku 1936 brytyjski matematyk
Alan M.Turing
UPRASZCZANIE DANYCH
Każdy element danych używany w algorytmie, czy to będą dane wejściowe, wyjściowe czy
wartości pośrednie, można traktować jako ciąg symboli, czyli napis. Liczba całkowita nie jest
niczym innym, jak ciągiem cyfr, liczba ułamkowa zaś ciągiem cyfr, który może zawierać
kropkę. Prostej linearyzacji mogą podlegać zarówno słowa jak i teksty, które są ciągiem
symboli składającym się z liter, znaków przestankowych i odstępów. Wszystkie obiekty a
nawet najbardziej skomplikowane struktury danych możemy łatwo zakodować, traktując je
cały czas symbolicznie, jako liczby, słowa lub teksty.
Liczba różnych symboli jest skończona i ustala się ją zawczasu. Każdą interesującą nas
jednostkę danych możemy więc zapisać na jednowymiarowej taśmie o nieograniczonej
długości składającej się z ciągu kwadratów, z których każdy zawiera pojedynczy symbol z
pewnego skończonego alfabetu. Alfabet składa się z rzeczywistych symboli, które same
tworzą jednostki danych, oraz specjalny symbol pusty wskazujący brak informacji. Taśma
zawsze będzie zawierać skończoną znaczącą porcję danych, otoczoną z każdej strony
nieskończonym ciągiem symboli pustych.
UPRASZCZANIE STEROWANIA
Jedną z najważniejszych rzeczy dla uproszczenia sterowania jest skończoność tekstu
algorytmu. Procesor może znajdować się tylko w jednym ze skończonej liczby miejsc w tym
tekście. Wystarczy użyć więc prymitywnego mechanizmu zawierającego pewien rodzaj
skrzyni biegów, mającej skończenie wiele stanów. Stany skrzyni biegów będziemy traktować
jako służące do kodowania miejsc w algorytmie, więc poruszanie się w nim modelujemy
zmianą stanu. W każdym punkcie wykonywania algorytmu miejsce, które ma być
odwiedzone jako następne, zależy od miejsca, w którym się znajdujemy, tak więc następny
stan skrzyni biegów zależy od jego bieżącego stanu. Zmiana stanu zależy od danych oraz od
bieżącego stanu. W danej chwili czasu może być czytany tylko pojedynczy symbol, więc
dopuszcza się badanie tylko jednego kwadratu na raz. Mechanizm "zmienia bieg" w
zależności od wartości czytanego symbolu i swojego stanu bieżącego, przechodząc do
nowego stanu. Mechanizm porusza się po taśmie przesuwając się wzdłuż nie po jednym
kwadracie a kierunek ruchu zależy od bieżącego stanu skrzyni biegów i bieżącego symbolu.
Te ograniczenia upraszczają sterowanie w algorytmie. Powstały mechanizm jest prostym
mechanizmem mogącym być w jednym ze skończonej liczby stanów, poruszając się wzdłuż
taśmy po jednym kwadracie. Mechanizm ten działa wyznaczając nowe stany i kierunki jako
funkcje stanu bieżącego i bieżącego symbolu.
1
UPRASZCZANIE PODSTAWOWYCH OPERACJI
Poprawność działania algorytmów zależy od poprawnego manipulowania danymi,
przekształcania ich, wymazywania, czytania lub zapisywania, stosowania do nich operacji
arytmetycznych lub tekstowych. Do zmiany stanu i poruszania się o jeden kwadrat w lewo lub
w prawo omawiany mechanizm jest wyposażony w możliwości przekształcania w
określonym stanie pewnego widzianego symbolu w jeden ze skończonej liczby dostępnych
symboli.
Maszyna Turinga jest prostym modelem matematycznym komputera.
Podstawowy model przedstawiony na rysunku 1 ma skończone sterowanie, taśmę wejściową
podzieloną na komórki (kwadraty) oraz głowicę taśmy, mogącą obserwować w dowolnej
chwili tylko jedna komórkę taśmy. Taśma ma komórkę położoną najbardziej na lewo, ale jest
prawostronnie nieskończona. Każda z komórek taśmy może zawierać dokładnie jeden symbol
z skończonego alfabetu symboli. Przyjmuje się umownie, że ciąg symboli wejściowych
umieszczony jest na taśmie począwszy od lewej, pozostałe komórki ( na prawo od symboli
wejściowych) są wypełnione specjalnym symbolem taśmowym noszącym nazwę symbolu
pustego.
Maszyna Turinga składa się z następujących elementów:
» skończonego alfabetu symboli;
» skończonego zbioru stanów;
» nieskończonej taśmy z zaznaczonymi kwadratami, z których każdy może
zawierać pojedynczy symbol;
» ruchomej głowicy odczytująco - zapisującej, która może wędrować wzdłuż
taśmy przesuwając się na raz o jeden kwadrat
» diagramu przejść między stanami, zawierającego instrukcje, które
powodują, że zmiany następują przy każdym zatrzymaniu się.
Rysunek 1. Podstawowy model maszyny Turinga
W zależności od obserwowanego symbolu przez głowicę taśmy oraz stanu sterowania
skończonego, maszyna Turinga w pojedynczym ruchu:
2
» zmienia stan,
» wpisuje symbol w obserwowanej komórce taśmy, zastępując symbol tam
wpisany,
» przesuwa głowicę o jedną komórkę w prawo lub w lewo.
Formalnie maszynę Turinga (MT) nazywamy:
M = <Q, ∑ , Γ , ð, q0, B, F >
gdzie:
Q- jest skończonym zbiorem stanów,
Γ - skończony zbiór dopuszczalnych symboli taśmowych,
B- symbol pusty należący do Γ ,
∑ - podzbiór Γ nie zawierający B, zwany zbiorem symboli wejściowych,
ð - funkcja następnego ruchu, będąca odwzorowaniem Q x Γ w Q x Γ x { L, P }
gdzie:
L- oznacza ruch w lewo
P- ruch w prawo,
q0- stan początkowy,
F ⊆ Q - zbiór stanów końcowych
Działanie maszyny Turinga przedstawia się jako diagram przejść między stanami lub jako
tabelę stanów, które to pojęcia zostały omówione poniżej.
Diagram przejść między stanami zawiera instrukcje, które powodują, że zmiany następują po
każdym zatrzymaniu się. Diagram przejść jest grafem skierowanym, którego wierzchołki
reprezentują stany. Krawędź prowadząca ze stanu s do stanu t nazywa się przejściem i
etykietuje się ją kodem postaci (a/b, kierunek) gdzie a i b są symbolami,
a kierunek określa ruch głowicy w prawo bądź w lewo. Część a etykiety jest wyzwalaczem
przejścia, a część <b, kierunek> akcją:
3
W czasie swego działania maszyna Turinga, kiedy znajdzie się w stanie s i odczytywanym
symbolem będzie a to nastąpi wpisanie w to miejsce b i przesunięcie o jedno pole w kierunku
kierunek. Fragment przykładowego diagramu przejść przedstawia rysunek 2.
Rysunek 2. Fragment grafu przejść między stanami dla maszyny Turinga
Aby zapobiec niejednoznaczności, co do następnego ruchu maszyny (tj. aby jej zachowanie
było deterministyczne), z jednego stanu nie wychodzą dwa przejścia z tym samym
wyzwalaczem. Jeden ze stanów w diagramie jest zaznaczony skierowaną do niego strzałką
opatrzoną etykietą start i jest nazywany stanem początkowym. Podobnie stany z których nie
wychodzą już żadne przejścia, nazywa się stanami końcowymi.
Tabela stanów - która również obrazuje przejścia między stanami maszyny Turinga zawiera
wszystkie symbole z skończonego alfabetu wejściowego jak również wszystkie stany w
których może znaleźć się maszyna Turinga. Każde pole tabeli określa:
1. dla danego stanu qi kolejny stan qi+1
2. symbol, który ma być zapisany na taśmie
3. kierunek (L / P) dla ruchu głowicy
4
Rysunek 4. Fragment stanów maszyny Turinga
Zarówno dla tabeli stanów jak i grafu przejść wyróżnia się specyficzne stany będące
odpowiednio stanem początkowym i stanem (bądź stanami ) końcowym, zwane też stanami
biernymi. Zakłada się , że maszyna rozpoczyna swoje działanie od swego stanu
początkowego na pierwszym od lewej niepustym kwadracie taśmy i postępuje krok po kroku
zgodnie z narzuconym ruchem, zaś kończy działanie po osiągnięciu stanu końcowego.
TEZA CHURCHA - TURINGA
Różnorodność zadań stawianych przed maszyną Turinga postawiło pytanie:
Jakie problemy można rozwiązać odpowiednio zaprogramowaną maszyną Turinga
(oczywiście pomijając czas) ?
Otóż okazuje się że:
Maszyny Turinga potrafią rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny
problem algorytmiczny.
Mówiąc inaczej, każdy problem algorytmiczny dla którego możemy znaleźć
algorytm dający się zaprogramować w pewnym dowolnym języku,
wykonujący się na pewnym dowolnym komputerze, nawet na takim, którego
jeszcze nie zbudowano, ale można zbudować, i nawet na takim, który wymaga
nieograniczonej ilości czasu i pamięci dla coraz większych danych, jest także
rozwiązywalny przez maszynę Turinga. To stwierdzenie jest jedną z wersji
tzw. tezy Churcha-Turinga (Alonz Church, Alan M. Turing), którzy doszli
do niej niezależnie w połowie lat trzydziestych. Istotną sprawą jest aby
uświadomić sobie, że teza Churcha-Turinga jest tezą a nie twierdzeniem,
zatem nie może być dowiedziona w matematycznym tego słowa znaczeniu.
Jedno z pojęć, do której się odwołuje, jest bowiem nieformalnym i
nieprecyzyjnym, pojęciem “efektywnej obliczalności”.
Dlaczego jednak powinniśmy wierzyć tej tezie, szczególnie, jeśli nie można jej
udowodnić?
Już od wczesnych lat trzydziestych badacze proponowali różne modele
komputera absolutnego, wszechpotężnego, lub uniwersalnego. Chciano
bowiem sprecyzować ulotne pojęcie “efektywnej obliczalności”. Na długo
5
przedtem nim wymyślono pierwszy komputer, Turing zaproponował swoją
maszynę, a Church wymyślił matematyczny formalizm funkcji zwany
rachunkiem lambda (jako podstawa języka programowania Lisp). Mniej więcej
w tym samym czasie Emil Post zdefiniował pewien typ systemu produkcji do
manipulowania symbolami, a Stephen Kleene zdefiniował klasę obiektów
zwanych funkcjami rekurencyjnymi.
Wszyscy oni próbowali użyć tych modeli do rozwiązania wielu problemów
algorytmicznych, do których znane były “efektywnie wykonalne” algorytmy.
Przełomowym zdarzeniem istotnym dla wszystkich tych modeli stało się
udowodnienie, iż są one równoważne w kategoriach problemów
algorytmicznych, które rozwiązują. I ten fakt jest dziś nadal prawdziwy
nawet dla najsilniejszych modeli, jakie można sobie wyobrazić.
Z tezy Churcha-Turinga wynika, że najpotężniejszy superkomputer z wieloma
najwymyślniejszymi językami programowania, interpretatorami, kompilatorami i wszelkimi
zachciankami, nie jest potężniejszy od domowego komputera z jego uproszczonym językiem
programowania. Mając ograniczoną ilość czasu i pamięci mogą obydwa rozwiązać te same
problemy algorytmiczne, jak również żaden z nich nie może rozwiązać problemów
nierozstrzygalnych (nieobliczalnych). Schematycznie rozstrzygalność problemów przedstawia
poniższy rysunek:
Sfera problemów algorytmicznych.
Problem algorytmiczny, do którego nie ma żadnego algorytmu jest nazywany
nieobliczalnym; jeśli to problem decyzyjny nazywa się nierozstrzygalnym. Dla problemów
tego typu w żaden sposób nie można skonstruować algorytmu, wykonywanego na dowolnym
6
komputerze, bez względu na ilość wymaganego czasu i pamięci, który mógłby je
rozstrzygnąć.
ODMIANY MODELU MASZYNY TURINGA
Działanie maszyny Turinga można ograniczyć na wiele sposobów nie zmniejszając jednak
klasy problemów, które rozwiązuje. Można na przykład żądać, żeby dane wejściowe
pozostały nienaruszone i żeby przy zatrzymaniu taśma zawierała tylko dane i wyniki otoczone
symbolami pustymi. Można zdefiniować maszynę Turinga z taśmą, która jest nieskończona
tylko z prawej strony, a dane są zapisywane na taśmie od lewego skraju. Obie odmiany
maszyny mogą rozwiązywać dokładnie te same problemy co model podstawowy i wobec tego
nie są od niego słabsze. Podobnie dodanie maszynom dowolnie silnej własności nie powoduje
żadnego rozszerzenia klasy rozwiązywalnych problemów. W żadnym z rozszerzeń nie da się
rozwiązać problemu nie rozwiązywalnego.
Maszyna, która może symulować działanie dowolnej maszyny Turinga na dowolnych danych
nazywa się uniwersalną maszyną Turinga. Uniwersalna maszyna Turinga U akceptuje jako
dane opis dowolnej maszyny Turinga M, po którym jest umieszczony skończony ciąg X
traktowany jako dane dla maszyny M. Następnie symuluje ona akcje maszyny M na taśmie,
na której znajdują się dane X otoczone symbolami pustymi. Jeśli maszyna M nie może
zatrzymać się na taśmie, to także nie może zatrzymać się maszyna U, jeśli maszyna M
zatrzyma się to zatrzyma się również maszyna U. Obie taśmy będą wyglądać dokładnie tak
samo po zakończeniu działania.
Ograniczenia narzucone na maszyny Turinga nie pomniejszają uniwersalności modelu.
Oczywiście nie wszystkie ograniczenia mają tę właściwość. Maszyny, od których wymaga
się, aby zatrzymywały się zaraz po uruchomieniu lub nie zatrzymywały się w ogóle , nie
dokonają wiele. Istnieje również inny sposób ograniczenia modelu maszyny Turinga. Wiąże
się on z ograniczeniem samego mechanizmu maszyny. Jedną z najbardziej interesujących
degeneracji otrzymuje się ograniczając poruszanie się maszyny Turinga na taśmie tylko do
jednego kierunku (jednokierunkowa maszyna Turinga), np. w prawo. Wynikiem jest
urządzenie zwane automatem skończenie stanowym lub automatem skończonym. Automat
skończony rozwiązujący problem decyzyjny działa następująco. Przechodzi wzdłuż podanej
sekwencji symbol po symbolu zmieniając stan w wyniku stanu bieżącego i nowego symbolu z
taśmy. Po osiągnięciu końca sekwencji zatrzymuje się, a odpowiedź zależy od tego, czy
automat zatrzymał się w stanie TAK czy NIE. Automat skończony można przedstawić jako
diagram przejść między stanami, tak jak dla maszyny Turinga, teraz jednak baz części
<b, kierunek> w etykiecie; przejście jest etykietowane symbolem, który je wyzwala.
PRZYKŁADY MASZYNY TURINGA
Przykład 1:
Maszyna Turinga podwajająca symbole w słowie.
W celu zobrazowania konstrukcji tabeli stanów przeanalizujmy maszynę Turinga, która dla
alfabetu wejściowego ∑ ={a, b} podwaja symbole w słowie.
7
∑ ={a, b}
Γ = { ø , a , b}
Przed wypisaniem tabeli stanów przeanalizujmy jak podana maszyna Turinga ma działać. Dla
słowa:
ab otrzymujemy aabb
aba otrzymujemy aabbaa
Słowo na taśmie zapisane jest jako ciąg symboli postaci na przykład ø ø ø a b ø ø ø.
Analiy cigu rozpocznmz od pierwszego symbolu na tamie
Na początku w kolumnie wypisujemy wszystkie symbole Γ = { ø , a , b} i stan początkowy
q0
q0
ø
q0
ø, P
a
jeżeli będąc w stanie q0 odczytanym
symbolem będzie ø to pozostajemy nadal
w tym stanie i wykonujemy ruch o jedno pole w prawo
b
q0
ø
q0
ø, P
a
q1
ø, P
jeżeli będąc w stanie q 0odczytanym
symbolem będzie a to wpisujemy w jego miejsce ø
i przechodzimy w prawo do stanu q1
b
Będąc w stanie q1 musimy iść tak długo w prawo aż pominiemy wszystkie symbole łącznie z
pierwszym symbolem ø . Wtedy w miejsce drugiego ø (może się ono znajdować po kilku
symbolach z alfabetu wejściowego) wpisujemy a i przechodzimy do stanu q3. Jedynym
słusznym symbolem napotkanym w tym stanie jest ø , w miejsce którego wpisujemy drugie a
i przechodzimy do stanu q4 (stan powrotu). Jeżeli będąc w tym stanie przejdziemy nad
wszystkimi symbolami i napotkamy symbol ø , to sprawdzamy, czy są jeszcze jakieś
symbole wejściowe na taśmie. Jeżeli tak to zaczynamy algorytm od początku, w przeciwnym
razie przechodzimy do stanu końcowego q5.
8
q0
q1
q2
q3
q4
q5
ø
q5
ø, -
q2
ø, P
q3
a, P
q4
a, L
q0
ø, P
SK
a
q1
ø, P
q1
a, P
q2
a, P
q5
a, P
q4
a, L
SK
Dla
symbolu
b
pola
w
tabeli
stanów
Ostateczny wygląd tabeli stanów przedstawia tabela 1.
będą
tworzone
analogicznie.
q0
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q8
q9
ø
q9
ø, -
q2
ø, P
q3
a, P
q4
a, L
q5
ø, L
q0
ø, P
q7
ø, P
q8
b, P
q4
b, L
SK
a
q1
ø, P
q1
a, P
q2
a, P
q9
a, P
q4
a, L
q5
a, L
q6
a, P
q7
a, P
q9
a, P
SK
b
q6
ø, P
q1
b, P
q2
b, P
q9
b, P
q4
b, L
q5
b, L
q6
b, P
q7
b, P
q9
b, P
SK
Tabela 1. Tabela stanów maszyny Turinga podwajająca symbole w słowie dla alfabetu
wejściowego ∑ ={a, b}
Przeanalizujmy kilka początkowych taktów pracy powyższej maszyny Turinga dla ciągu
wejściowego: a b
Ciąg ten jest na taśmie w postaci ø ø ø a b ø ø ø ø...
ø ø ø a b ø ø ø ø ... /
ø ø ø ø b ø ø ø ø ... /
ø ø ø ø b ø ø ø ø ... /
ø ø ø ø b ø ø ø ø ... /
ø ø ø ø b ø a ø ø ... /
ø ø ø ø b ø a a ø ... /
ustawiamy głowicę na pierwszym symbolu z lewej strony ciągu
- symbol a
zczytujemy a, wpisujemy ø i przechodzimy w prawo do stanu
q1
pozostajemy nadal w stanie q1 aż dojdziemy do pierwszego
znaku ø
po napotkaniu pierwszego ø przechodzimy w prawo do stanu q2
po napotkaniu ø wpisujemy a i przechodzimy do stanu q3
w stanie q3 wpisujemy drugie a i przechodzimy do stanu q4,
który to stan powoduje powrót na początek słowa i rozpoczęcie
pracy od nowa o ile są jeszcze na taśmie symbole wejściowe
Po przeanalizowaniu wszystkich symboli wejściowych przechodzimy do stanu q9, który to
stan jest stanem końcowym SK (stan bierny).
9
Dla rozpatrywanego ciągu wejściowego można określić trzy elementy w tabeli stanów:
•
•
•
stan warunkowy - który powoduje przejście do określonej sekcji manipulowania
danym symbolem,
sekcja manipulowania - stany odpowiadające za przepisywanie symboli,
powrót- stan powodujący przejście do początku i rozpoczęcie pracy od nowa
Jak zostało wcześniej wspomniane, alternatywne do tabeli stanów stosuje się graf przejść
między stanami. Konstrukcję przykładowego grafu ilustruje kolejny przykład .
Przykład 2:
Inkrementacja liczby binarnej bez znaku.
Maszyna Turinga dodającą 1 do danej liczby w zapisie dwójkowym.
Analizę liczby rozpoczynamy z prawej strony.
q0
q1
ø
q1
1, -
SK
0
q1
1, -
SK
1
q0
0, L
SK
Maszyny Turinga z przykładów: 1 i 2 rozwiązują problemy algorytmiczne związane z
manipulacją danych wejściowych. Odmianę stanowią maszyny Turinga rozwiązujące
problemy decyzyjne - przykład 3.
10
Przykład 3:
Maszyna Turinga bada czy dane słowo jest palindromem.
Maszyna Turinga badająca czy dane słowo z alfabetu wejściowego ∑ ={a, b, c} jest
palindromem (to znaczy słowem, które czyta się tak samo z obu stron). Dodatkowo przyjmuje
się, że pojedynczy symbol jest palindromem. Wprowadza się dodatkowo 2 stany akceptacji
SA i nieakceptacji SN. Przejście do stanu akceptacji oznacza, że dane słowo jest
palindromem, zaś przejście do stanu nieakceptacji oznacza, że słowo nie jest palindromem.
Tabela przejść miedzy stanami wygląda następująco:
q0
q1
ø
q0
ø, P
q2
q8
ø, L ø, P
a
q1
q1
ø, P a, P
q3
q3
ø, L a, L
b
q4
ø, P
q1
b, P
q9
b, P
c
q6
ø, P
q1
c, P
q9
c, P
q2
q3
q4
q8
q9
q0
ø, P
q5
q8
ø, L ø, P
q7
q8
ø, L ø, P
SA
SN
q4
a, P
q6
a, P
q9
a, P
SA
SN
q3
q4
b, L b, P
q3
q6
ø, L b, P
q9
b, P
SA
SN
q3
c, L
q9
c, P
q3
ø, L
SA
SN
q4
c, P
q5
q9
a, P
q6
q6
c, P
q7
Symulacja akcji maszyny Turinga dla taśmy zawierającej słowo abba (otoczone
nieskończenie wieloma symbolami pustymi z obu stron).
Głowica maszyny umieszczona jest na kwadracie zawierającym a znajdujące
się najbardziej na lewo. Maszyna "pamięta" pierwszy przeczytany symbol, po
czym wymazuje go zastępując symbolem pustym i przechodzi w prawo, aż do
osiągnięcia pierwszego symbolu pustego. (etap 1-5)
Maszyna przesuwa się o jeden symbol w lewo, zatrzymuje się więc na
najbardziej prawym symbolu (etap 6), w omawianym przypadku jest to
symbol a. Gdyby odczytany symbol był różny od zapamiętanego, to maszyna
przeszłaby do stanu nieakceptacji. W przypadku gdy napotkany symbol byłby
symbolem ø, to maszyna przeszłaby do stanu akceptacji.
Maszyna wymazuje odczytany najbardziej prawy symbol a i przechodzi do
stanu, który doprowadza ją do pierwszego symbolu pustego po lewej stronie
słowa. (etap 10)
Maszyna przesuwa się o jeden kwadrat w prawo i zapamiętuje przeczytany
symbol, drugi symbol słowa - symbol b. Ruszając się w prawo maszyna
porówna zapamiętany symbol z przedostatnim symbolem słowa. (etap
13)Porównanie kończy się sukcesem i maszyna wymazuje symbol b.
11
Maszyna rusza w lewo w poszukiwaniu dalszych symboli. Nie znajdując
żadnego i nie osiągając stanu nieakceptacji przechodzi do stanu akceptacji.
(etap 14-16)
Całą symulację krok po kroku, z bieżącym położeniem głowicy przedstawia rys.5.
1 ... ø ø a b b a ø ø ...
2 ... ø ø ø b b a ø ø ...
3 ... ø ø ø b b a ø ø ...
4 ... ø ø ø b b a ø ø ...
5 ... ø ø ø b b a ø ø ...
6 ... ø ø ø b b a ø ø ...
7 ... ø ø ø b b ø ø ø ...
8 ... ø ø ø b b ø ø ø ...
9 ... ø ø ø b b ø ø ø ...
10
... ø ø ø b b ø ø ø ...
11
... ø ø ø ø b ø ø ø ...
12
... ø ø ø ø b ø ø ø ...
13
... ø ø ø ø b ø ø ø ...
14
... ø ø ø ø ø ø ø ø ...
15
... ø ø ø ø ø ø ø ø ...
16
... ø ø ø ø ø ø ø ø ...
Rysunek 5. Symulacja akcji maszyny Turinga dla taśmy zawierającej słowo abba.
12