Lista 0 - ,,Prawie`` powtórka ze szkoły średniej!

Lista 0 - ,,Prawie’’ powtórka ze szkoły średniej!
Prowadzący: mgr Marcin Spryszyński
www: http://www-users.mat.uni.torun.pl/ ∼spryszyn
e-mail: [email protected]
Zadanie. 1 Rozwiąż graficznie równanie
x
1
2
− 1
= −2x2 − 8x − 5.
Zadanie. 2 Rozwiąż graficznie nierówność
x
3
2
3
1
­ −x2 + 3 x − 1 .
4
4
Zadanie. 3 Narysuj wykres funkcji
g(x) = max
1
+ 3, 2x2 ,
x
gdzie wyrażenie max(a, b) oznacza maksimum z liczb a, b.
Zadanie. 4 Rozwiąż graficznie układy równań
(a)




y = 2x−3 − 1


 y
(b)
+ 12 x − 3 (y − 3) = 0
|x|
1




y=



x2 + y 2 =
2
5
4
Zadanie. 5 Uczestnicy turnieju tenisowego zostali podzieleni na dwie grupy, z których pierwsza liczy dwa
razy więcej graczy niż druga. W obu grupach każdy gracz rozegrał z każdym po dwa mecze, przy czym w
grupie pierwszej rozegrano 5 razy więcej meczy niż w grupie drugiej. Ilu było graczy w tym turnieju i ile
rozegrano w sumie na nim meczy?
Zadanie. 6 Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji
1
f (x) = log (2m − 3)x + (6 − m)x + (m − 9)
7
2
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
Zadanie. 7 Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań równania
√
|x − 2| + x2 + 4x + 4 = 2x + m
w zależności od parametru m ∈ R.
Zadanie. 8 Liczby x1 i x2 są rzeczywistymi pierwiastkami równania
4x2 − 8x + k 2 − 21 = 0.
Zbadaj funkcję
f (k) =
1 − x 1 1 − x2
+
.
1 + x2 1 + x1
Zadanie. 9 W kulę o danym promieniu R wpisano walec o największej powierzchni bocznej. Wyznacz
wymiary tego walca.
1
Zadanie. 10 Wśród n losów loterii jest 6 wygrywających. Dla jakich n prawdopodobieństwo tego, że zakupione 2 losy będą wygrywające jest większe od 31 ?
Zadanie. 11 Dwa losowo wybrane wierzchołki n-kąta wypukłego traktujemy jako końce odcinka. Dla jakich
wartości n prawdopodobieństwo, że odcinek ten nie jest bokiem tego wielokąta jest większe od 0, 99?
Zadanie. 12 Student umie odpowiedzieć na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej trzy pytania z czterech wybranych losowo?
Zadanie. 13 Wyznacz wszystkie naturalne wartości m, dla których
Z m
8
ex dx < .
3
−m
Zadanie. 14 Zbadaj przebieg zmienności funkcji
x2
g(x) = e x2 −1
oraz narysuj jej wykres. Określ ilość rozwiązań równania f (x) = m w zależności od parametru m.
Zadanie. 15 z Rozwiąż, w liczbach rzeczywistych, równanie
1
1
−
= 1.
2
x
(x − 1)2
Zadanie. 16 Narysuj wykres funkcji
f (x) =
+∞
X
(−1)k−1 xk .
k=1
Zadanie. 17 z Okrąg O1 o promieniu 1 jest styczny do ramion kąta o mierze 60o , mniejszy od niego okrąg
O2 jest styczny zewnętrznie do tegoż okręgu i obu ramion kąta, itd. Znajdź sumę obwodów nieskończonego
ciągu tych okręgów.
Zadanie. 18 Wykaż, że (−1) jest siedmiokrotnym pierwiastkiem wielomianu
W (x) = 2x8 + 11x7 + 21x6 + 7x5 − 35x4 − 63x3 − 49x2 − 19x − 3.
Zadanie. 19 Wyznacz sumę wszystkich współczynników wielomianu
F (x) = (x2 − 5x + 2)2009 − (4x3 − 7x2 + x − 1)2001 .
Zadanie. 20 Oblicz
4 · sin − 7π
· cos
3
cos
Zadanie. 21 Wiedząc, że tan(x) =
1
3
8π
3
23π
6
· ctg
7π
4
· sin (3π) + cos (−6π)
oraz x ∈ (0, π2 ), oblicz wartość wyrażenia
ctg2 (x) − 2
sin(x) − 2 cos(x)
2