Informatyka Ir., trzy grupy 7.05.2015 (8) √ √ √ 1. Do sprężyny

Informatyka Ir., trzy grupy
7.05.2015
Zad. 11 (7). Odpowiedzi:
r
√
Ep = ( 12 ( x2 + D2 − Lo )2 , T = 2π
(8)
m
dla punktów równowagi trwałej.
Ep′′ (xo
Przypadek 1) Lo > D
p
równowaga trwała dla xo = ± L2o − D2
v
m
u
okres małych drgań T = 2π u t
D2
k 1− 2
Lo
Przypadek 2) Lo < D
równowaga trwała dla xo = 0s
okres małych drgań T = 2π
Ep (x) dla przykładowych wartości:
Lo = 15 cm, D = 10 cm, k = 0.1 g/s2 :
m
k 1−
Ep (x) dla przykładowych wartości:
Lo = 4 cm, D = 10 cm, k = 0.1 g/s2 :
Lo
D
1. Do sprężyny zamocowanej na jednym końcu podczepiono odważnik 10 kg, w wyniku czego sprężyna
rozciągnęła się o 15 cm. Następnie wprawiono odważnik w ruch drgający (pionowo). Znajdź okres
drgań.
2. Jeśli okładki naładowanego kondensatora zewrzeć przy pomocy cewki, to w takim zamkniętym obwodzie popłynie prąd, kondensator zacznie się rozładowywać, jego ładunek q(t) zmienia się. Prawo
Kirchoffa pozwala napisać równanie, które wiąże q(t) z natężeniem prądu i(t) płynącego w chwili t
di
+ C1 q = 0. Stała L (indukcyjność cewki) i pojemność kondensatora C to są oczywiście
przez cewkę: L dt
wielkości nie zmieniające sie w czasie. Natężenie prądu i oraz ładunek q wiąże relacja: i = dq
dt . Pokaż,
że równanie, które opisuje taki obwód LC jest równaniem drgań harmonicznych. Znajdź q(t), i(t) oraz
podaj wzór na okres T drgań.
3. Ruch drgający tłumiony. Ruch drgający masy m (np. przyczepionej do sprężyny) odbywa się w
ośrodku, w którym wystepuje siła oporu (np. opór powietrza) proporcjonalna do do prędkości drgającej
masy, Ft = bv, gdzie b jest współczynnikiem oporu. Pokaż, że ruch ten opisuje równanie:
d2 x(t)
dt2
2
+ 2β dx(t)
dt + ωo x(t) = 0.
p
Stałą β = b/2m nazywamy współczynnikiem tłumienia, a ωo = k/m - częstością drgań własnych, tj.
takich drgań, kiedy nie występuje tłumienie. Proszę prześledzić rozwiązanie tego równania w ”abecadło... równania różniczkowe” i pokazać, że gdy tłumienie nie jest za wielkie (β < ωo ) to:
p
x(t) = Ae−βt sin (ωt + ϕ), gdzie ω = ωo2 − β 2 .
Amplituda drgań Ae−βt maleje w czasie. Naszkicuj wykres x(t) (załóż ϕ = 0).
4. Po upływie czasu t = 15 s amplituda drgań kamertonu zmniejszyła się 100 razy. Znaleźć współczynnik
tłumienia drgań.
5. Kulka o masie m = 100 g zawieszona na sprężynie o współczynniku sprężystości k1 = 0.1 N/m wykonuje
drgania w ośrodku o współczynniku tłumienia β = 0.01 1/s. Jaką sprężynę (o jakim współczynniku
sprężystości k2 ) i jak (szeregowo, równolegle?) należy dołączyć aby drgania nie mogły zachodzić w
danym ośrodku?
6. Ruch harmoniczny tłumiony z wymuszeniem. Ułożyć równanie drgań harmonicznych (np. sprężyna, wahadło) z uwzględnieniem tłumienia i zakładając, że obecna jest siła wymuszająca, zmieniająca
się sinusoidalnie, F = Fo cos ωt:
d2 x(t)
dt2
2
+ 2β dx(t)
dt + ωo x(t) = fo cos ωt, gdzie fo = Fo /m.
Prześledzić rozwiązanie równania w ”abecadło... równania różniczkowe”. W szczególności pokaż, że:
a) amplituda drgań (rozumiana jako maksymalne wychylenie od położenia równowagi) jest funkcją ω
i wyraża się wzorem:
,
A = √ 2 f2o2
2 2
(ωo −ω ) +4β ω
b) przesunięcie fazowe względem siły wymuszającej określa wzór: tan ϕ = − ω2βω
2
2.
o −ω
c) rezonans,p
czyli maksimum amplitudy uzyskuje się gdy częstość wymuszająca ω spełnia warunek:
ω = ωrez = ωo2 − 2β 2 .
7. Znaleźć amplitudę drgań wymuszonych ciężarka o masie 0.2 kg, zawieszonego na lekkiej sprężenie o
współczynniku sprężystości 10 N/m, jeśli sinusoidalna siła wymuszająca ma amplitudę 2 N i częstość
dwa razy większą od częstości drgań własnych ciężarka, a współczynnik tłumienia jest równy 0.5 1/s.
Ilokrotnie obliczona amplituda jest mniejsza od amplitudy uzyskiwanej dla częstości rezonansowej?
8. Przyjmij wartość częstości drgań własnych ωo = 10, amplitudę natężenia siły wymuszającej fo = 100.
Rozpatrz drgania wymuszone w ośrodkach o współczynniku tłumienia: a) β = 0.1, b) β = 1. Wszystkie
wielkości podane wyżej są wyrażone w jednostkach układu SI.
Dla obu przypadków wykonaj obliczenia numeryczne funkcji A(ω) w przedziale (0, 5 ωo ) (w kilkudziesięciu punktach, zagęść w okolicy ωrez ) i narysuj możliwie dokładne wykresy A(ω) (są to tzw. krzywe
rezonansowe). To zadanie proszę zapisać i oddać na ćwiczeniach.
9. Zadanie nadobowiązkowe, na ocenę: jak wysoki stos desek można załadować na grzbiet słonia
aby ładunek był w równowadze trwałej?
Rozpatrzyć nieruchomą poziomą powierzchnię walcową o promieniu R. Na niej jest położona jednorodna płyta o grubości D
tak, że środek masy płyty znajduje się nad punktem styczności z walcem. Zakładamy, że tarcie uniemożliwia ześlizgiwanie
się płyty.
1) Znaleźć graniczną grubość płyty Dmax , powyżej której niemożliwa jest równowaga trwała.
2) Dla D < Dmax i dla małych wychyleń od punktu równowagi znaleźć okres powstałch drgań. Podać wartość liczbową
ϕ
okresu dla D = 21 Dmax , promień krzywizny grzbietu słonia
przyjąć wg. własnego uznania.
R
Wskazówka:
Pomocne jest znalezienie zależności energii potencjalnej płyty od kąta odchylenia od pionu i na podstawie tej zależności wykonanie analizy zadania. Dla opisu ruchu płyty przy małych wychyleniach od
punktu równowagi użyteczny jest szereg Taylora.
Odpowiedzi:
ad 1) Dmax = 2R,
v
u I
2
u o+D
u
2π
m
4
ad 2) Okres małych drgań:
T =
= 2π u
(Io - moment bezwładności płyty względem
t
D
ω
g (R − )
2
osi obrotu przechodzącej przez środek masy).
s
R
R2 + L2
Dla płyty o grubości D = Dmax /2 = R T = 2π
+
(L jest długością desek).
2g
6gR
r
2R
.
Jeśli stos desek jest krótki (L << R)
T ≈ 2π
3g
Liczbowa wartość okresu drgań w tym ostatnim przypadku wynosi T = 1.6 s, jeśli przyjąć R = D = 1
m.
D