docWst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1
download 
Reklamacja Transkrypt
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1
Wstep , do matematyki aktuarialnej Michal Jasiczak Wyklad 1 Wprowadzajacy , 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dokladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej, matematyka stosowana do oszacowania ryzyka w ubezpieczeniach i finansach. 2 Ryzyko 1. możliwość wystapienia niekorzystnego , zdarzenia, 2. czasami możliwość wystapienia zdarzenia , innego niż przewidywane. Specjalista, w zakresie oszacowania ryzyka jest aktuariusz. 3 ”Aktuariusz to specjalista ubezpieczeniowy, który oszacowuje za pomoca, metod matematyki aktuarialnej wysokość skladki, świadczeń, odszkodowań czy rezerw ubezpieczeniowych. Aktuariusze w oparciu o dane historyczne, regulacje prawne i prognozy dokonuja, kalkulacji prawdopodobieństwa zdarzeń losowych takich jak narodziny, malżeństwo, choroba, bezrobocie, wypadki, czy wreszcie śmierć.” 4 Matematyke, aktuarialna, zapoczatkowa ly pod , koniec XVII w. prace angielskiego astronoma E. Halleya dotyczace wymieralności w wybranej , populacji. W 1948 r. w Londynie powstal Instytut Aktuariuszy - pierwsza naukowa placówka zajmujaca sie, aktuariatem. , 5 Ustawa o dzialalności ubezpieczeniowej (Dz. U. Nr 124, poz. 1151) Artykul 159 ust. 1: • ustalanie wartości rezerw techniczno-ubezpieczeniowych • kontrolowanie aktywów stanowiacych pokrycie , rezerw techniczno-ubezpieczeniowych • wyliczanie marginesu wyplacalności • sporzadzenie rocznego raportu o stanie port, fela ubezpieczeń • ustalanie wartości skladników skladników zaliczanych do środków wlasnych 6 Program przedmiotu • Tablice trwania życia, czyli kilka slów o demografii • Kalkulacja skladki netto w podstawowych typach ubezpieczń na życie • Kalkulacja skladki netto w podstawowych typach rent • Rezerwy w praktyce ubezpieczeniowej • Elementy teorii użyteczności i ryzyka indywidualnego. 7 Egzamin aktuarialny. Rozporzadzenie Ministra Finansów z 20 listopada , 2003 w sprawie zakresu obowiazuj acych tematów , , egzaminów aktuarialnych oraz trybu przeprowadzania tych egzaminów (Dz. U. Nr 211, poz. 2054). 1. matematyka finansowa 2. matematyka ubezpieczeń na życie 3. matematyka pozostalych ubezpieczeń osobowych i majatowych , 4. teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8 Matematyka ubezpieczeń życiowych 1. Elementy ekonomiki ubezpieczeń życiowych 2. Tablice trwania życia 3. Ubezpieczenia na życie 4. Renty życiowe 5. Skladki ubezpieczenia netto 6. Rezerwy netto 9 Literatura do wykladu • B. Blaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy Matematyki ubezpieczeń na życie, WNT 2004. • H. Gerber, Life Insurace Mathematics, Springer 1997. • V. I. Rotar, Actuarial models. The mathematics of insurance, CRC Press, Taylor & Francis Group 2007. • S. D. Promislow, Fundamental of Actuarial Mathematics, Wiley 2006. • F. E. Szabo, Actuaries’ Survival Guide. How to succeed in one of the most desirable professions, Elsevier 2004. 10 Ubezpieczenie Wykladowcy WMA na wypadek śmierci platne spadkobiercom Wykladowcy na koniec miesiaca, , w którym nastapi , la śmierć Wykladowcy Problem: Wyznaczyć skladke, w takim ubezpieczeniu. 11 Co to jest skladka netto? Nieprecyzyjnie: Kwota, która, powinien pobrać ubezpieczyciel, aby suma wplat nie byla mniejsza od sumy wyplat z tytulu ubezpieczenia. Dlaczego netto? 12 Zmiana wartości pieniadza w czasie , Wartość obecna kwoty S osiagalnej po k okre, sach S k S, = v (1 + i)k gdzie i jest efektywna, stopa, procentowa, dla zadanego okresu. 13 Stopa procentowa jest cena, pieniadza. , Stopa procentowa równoważy popyt z podaża. , Popyt zglaszany przez • gospodarstwa domowe, • podmioty gospodarcze. Podaż to oszczedności gospodarstw domowych , i podmiotów gospodarczych. 14 Wartość obecna wyplaty z tytulu ubezpiecznia na życie to zmienna losowa. Jej wartość zależy od warunków ubezpieczenia oraz przyszlego czasu życia osoby ubezpieczonej. Podstawowy obiekt: Zmienna losowa przyszly czas życia osoby w wieku x, oznaczana Tx. Zalożenie: zmienna losowa Tx przyjmuje nieujemne wartości i ma rozklad ciag , ly dla każdego x ∈ R. To znaczy funkcja Fx(t) = P (Tx ≤ t), zwana dystrybuanta, rozkladu zmiennej Tx, ma rozklad ciag , ly. 15 Skladka netto = Wartość oczekiwana obecnej wartości wyplaty 16 Twierdzenie 1 (Kolmogorow) Niech Xn : Ω → R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych , , o jednakowym rozkladzie i takim, że E|X1| < ∞. Wówczas n P ω : lim n 1 X n→∞ n o Xk = EX1 = 1. k=1 Wniosek Obserwujac , czas życia osób w tym samym wieku należacych do odpowiednio dużej , populacji osób urodzonych w tym samym momencie (sic!) można wyznaczyć prawodopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje k lat. 17 Hipoteza jednorodnej populacji HJP P (Tx > t) = P (T0 > x + t|T0 > x), t, x ≥ 0. Znajac , T0 możemy wyznaczyć wszystkie pozostale rozklady! 18 Miedzynarowy System Oznaczeń Aktuari, alnych • Prawdopodobieństwo, że x-latek umrze przed uplywem czasu t t qx = Fx (t) = P (Tx ≤ t), • prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje wiecej niż t lat , t px = 1 − Fx (t) = P (Tx > t) • 1 p x = px , 1 qx = qx . 19 P (śmierci wykladowcy WMA w semestrze zimowym = 0, 00065 20
