Matematyka finansowa -zestaw 5
Transkrypt
Matematyka finansowa -zestaw 5
Matematyka finansowa -zestaw 5 - teoria Spłata długów długoterminowych - teoria Dług będziemy traktować jako inwestycję kredytodawcy, której zwrotem są raty spłaty. Dlatego, głównym miernikiem jej skuteczności będzie jak zwykle wewnętrzna stopa zwrotu (𝑟) z inwestycji. Pozwoli nam to porównywać udzielanie różnych kredytów między sobą, a także z innymi inwestycjami. Generalnie zakładamy model kapitalizacji złożonej. Jak w przypadku innych strumieni płatności, należy zacząć od dopasowania okresów stóp i kapitalizacji do okresów płatności. Nie będę tego tutaj omawiać: w dalszej części zakładamy zgodność wszystkich okresów. Podobnie zakładamy, że płatności są dokonywane z dołu (chyba, że jest napisane inaczej). Jeśli płatności dokonywane są z góry, to możemy po prostu założyć, że liczba rat jest o jeden mniejsza, a dług początkowy pomniejszyć o pierwszą ratę. Pomijamy wszelkie czysto prawne komplikacje: fakt, że według wielu umów początkowe raty liczy się jako spłatę odsetek, a dopiero potem następuje spłata kapitału w żaden sposób nie wpływa na obliczanie wysokości rat. Podobnie łatwo do modelu spłaty długu dodać koszty uboczne np. prowizję, opłaty manipulacyjne, ubezpieczenie spłaty itp. Niech 𝑆 będzie początkową wartością długu (w praktyce: kwotą pożyczki), a 𝑁 – liczbą rat. Przez 𝐴𝑛 oznaczam wysokość 𝑛-tej raty (łącznie), 𝑇𝑛 jest jej częścią kapitałową (czyli wartością kapitału należną za 𝑛-ty okres), a 𝑍𝑛 - 𝑛-tą częścią odsetkową (czyli wartością odsetek należną za 𝑛-ty okres). 𝑇𝑛 i 𝑍𝑛 nie są definiowane jako kapitał/odsetki spłacane w danym okresie, lecz jako kapitał/odsetki należne - ze względu na wspomnianą częstą praktykę nazywania pierwszych rat odsetkami, a dalszych - spłatą kapitału. 𝑍 - suma wartości nominalnych rat odsetek (bez aktualizacji). Przez 𝑆𝑛 oznaczam wartość długu po spłaceniu 𝑛 rat. Oczywiście równanie końca spłaty długu to 𝑆𝑛 = 0. Dzięki dekompozycji rat na część kapitałową i odsetkową możemy prześledzić , jak kolejne raty umarzają bieżące odsetki i dług kapitałowy. Do opisu stosuje się zazwyczaj tzw. tabelę (schemat) spłaty długu. Kolejne wiersze tej tabeli oznaczają kolejne okresy spłaty długu, a w kolejnych kolumnach zapisujemy: ∙ 𝑛 - numer okresu bazowego ∙ 𝑆𝑛−1 - dług bieżący na początku okresu n, ∙ 𝐴𝑛 - rata płatna w tym okresie ∙ 𝑍𝑛 - część odsetkowa tej raty ∙ 𝑇𝑛 - część kapitałowa tej raty ∙ 𝑆𝑛 - dług bieżący na końcu okresu n. Dodatkowo często w ostatnim wierszu tabeli dopisuje się sumy kontrolne: suma części kapitałowych powinna być równa początkowej wartości długu. Przy danej stopie zwrotu, część odsetkową łatwo obliczyć na podstawie bieżącej części długu. By obliczyć pozostałe elementy tabeli, potrzebne są założenia o ustalonej metodzie spłaty długu. Na zajęciach będziemy rozważać przede wszystkim dwa podstawowe modele: model równych rat łącznych (annuitetowych), w którym zakładamy 𝐴1 = 𝐴2 = . . . = 𝐴𝑛 , i model równych rat kapitałowych (𝑇1 = 𝑇2 = . . . 𝑇𝑛 ). W obydwu wypadkach najlepiej obliczyć tylko tę część raty, która jest równa (czyli 𝐴 lub 𝑇 ), a potem reszta sama się obliczy z tabeli spłaty długów, ale na wszelki wypadek poniżej podaję wzory na inne elementy tabeli. Zajmiemy się też przypadkami, w których plan spłaty długu jest zmieniony w trakcie spłat. Tutaj zwrócę uwagę na często popełniany błąd: jeśli przez jakiś czas dłużnik nie spłacał rat, to odsetki mimo to cały czas rosną! Inne modele, którymi warto się zainteresować (ale nie będą wymagane): spłata odsetek w jednej racie i równe raty kapitałowe, bieżąca spłata odsetek i zwrot kapitału w ostatniej racie, spłata przez fundusz umorzeniowy. 1 2 Kilka wzorów i oznaczeń do zapamiętania We wzorach zakładamy zgodność okresów spłat, kapitalizacji i stopy. S - wartość początkowa długu, N -ilość rat, 𝐴𝑛 - n-ta rata łączna (płatność), 𝑇𝑛 - n-ta rata długu (kapitałowa), 𝑍𝑛 - n-ta rata odsetek, 𝑆𝑛 - wartość długu po spłaceniu 𝑛 rat, 𝑍 - suma wartości nominalnych rat odsetek. Te wzory są ważne:𝐴𝑛 = 𝑇𝑛 +𝑍𝑛 , 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 −𝑆𝑛 , 𝑍 = 𝑍1 +. . .+𝑍𝑛 = (𝐴1 +. . .+𝐴𝑛 )−𝑆. 𝑞 = 1 + 𝑟. 𝑍𝑛 = 𝑆𝑛−1 𝑟. ∑𝑁 −𝑗 Dla ogólnej, dowolnej wysokości rat (Ten wzór jest ważny:) 𝑆 = 𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞 . Po aktualizacji na dowolny moment (po 𝑛-tej racie) mamy dekompozycję długu na część ∑𝑛 ∑ ∑𝑛 𝑛−𝑗 zapłaconą i niezapłaconą 𝑆𝑞 𝑛 = 𝐴𝑗 𝑞 𝑛−𝑗 + 𝑁 𝐴𝑗 𝑞 𝑛−𝑗 = + 𝑆𝑛 . 𝑗=1 𝑗=𝑛+1 𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞 ∑𝑛 𝑛 𝑛−𝑗 Zatem 𝑆𝑛 = 𝑆𝑞 − 𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞 . Mamy też dekompozycję raty na część kapitałową i odsetkową 𝐴𝑛 = (𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛 ) + 𝑆𝑛−1 𝑟, 𝑍𝑛 = 𝑆𝑛−1 𝑟, 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛 . Dług zostaje spłacony, gdy (Ten wzór jest ważny:) 𝑆𝑁 = 0. Wtedy (Ten wzór jest ∑𝑁 ważny:) 𝑗=1 𝑇𝑗 = 𝑆 (wartości 𝑇𝑗 odnoszą się do startowego punktu czasu, więc ten wzór ma sens!). Jeśli dodatkowo raty łączne są tej samej wysokości: 𝐴 = 𝐴𝑖 . (Ten wzór jest ważny:) 𝐴 = 𝑆𝑞 𝑁 𝑞𝑞−1 𝑁 −1 . 𝑛 𝑁 𝑛 𝑁 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑞 −𝑞 −1 = 𝑆 𝑞𝑞𝑁−𝑞 , 𝑍𝑛 = 𝑆 𝑞 𝑞−𝑞 Wzory dodatkowe:𝑆𝑛 = 𝑆𝑞 𝑛 − 𝐴 𝑞𝑞−1 𝑁 −1 𝑟, 𝑇𝑛 = 𝑆 𝑞 𝑁 −1 , 𝑍 = −1 𝑆(𝑁 𝑞 𝑁 𝑞𝑞−1 𝑁 −1 − 1). A jeśli raty kapitałowe są tej samej wysokości: 𝑇 = 𝑇𝑖 , (Ten wzór jest ważny:) 𝑇 = 𝑁𝑆 . Wzory dodatkowe: 𝑆𝑛 = 𝑆 − 𝑛𝑇 , 𝑍𝑛 = 𝑁𝑆 (𝑁 − 𝑛 + 1)𝑟, 𝐴𝑛 = 𝑁𝑆 [1 + (𝑁 − 𝑛 + 1)𝑟], 𝑍 = 𝑆𝑟 𝑁2+1 . Jeśli spłaty są niezgodne, przy pomocy stóp względnych i efektywnych zmieniamy je w spłaty zgodne. Dobrej zabawy! Grzesiek Kosiorowski