MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI

MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI INTELEKTUALNEJ – MATHSCRI – LISTA ZADAŃ NUMER 4
Zadanie 1
[2 pkt] a) Wyjaśnij zjawisko ściągania krawędzi. Przytocz twierdzenie Kuratowskiego.
[2 pkt] b) Czy graf pełny o 8 wierzchołkach będzie grafem planarnym? Jeżeli nie powołaj się na odpowiednie twierdzenie.
Narysuj ten graf i przedstaw swój tok myślenia.
[2 pkt] c) Czy może istnieć spójny graf planarny o 11 ścianach, 28 krawędziach i 19 wierzchołkach? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
[1 pkt] a) Przytocz twierdzenie Eulera.
[2 pkt] b) Czy graf o 6 wierzchołkach regularny stopnia 3 może być grafem planarnym?
[3 pkt] c) Niech graf G=(V,E) będzie grafem wielościanu, którego każda ściana jest pięciokątem lub sześciokątem.
Udowodnij, że zadany graf G ma dokładnie 12 ścian pięciokątnych, gdy każdy wierzchołek tego grafu jest stopnia 3.
Zadanie 3
[2 pkt] a) Co to znaczy, że graf jest planarny? Co rozumiemy pod pojęciem płaskiej reprezentacji grafu?
[2 pkt] b) Niech G będzie grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3. Pokazać, że jeśli G ma płaską
reprezentację, w której każdy region jest ograniczony czterema lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie sześć
regionów ograniczonych czterema krawędziami.
Wskazówka: region potraktuj analogicznie jak ścianę w zadaniu 2 ppkt c.
9-07-2014r. [OPRACOWAŁ MACIEJ SZYMKOWSKI]