matematyka

Rozszerz swoje horyzonty
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MATEMATYKA
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Zadania i nie tylko
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STEREOMETRIA
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V
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Spis treści
Część I
Wstęp
1. LICZBY
2. FUNKCJE
3. CIĄGI
4. KOMBINATORYKA
5. GEOMETRIA PŁASKA
6. TRYGONOMETRIA
7. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Rozwiązania zadań
Część II
8. STEREOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Rozwiązania zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Wstęp
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Autor
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8. STEREOMETRIA
Bryły platońskie (wielościany foremne)
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6
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II
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Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa
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7
8. Stereometria
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8
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II
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2
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2
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⎠ ⎝
⎝
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a2 a a2 4H 2
’”ƒ™†Ā‘„Ž‹…œ‡‹ƒ•–ƒ†ƒ”†‘™¦‡–‘†¦Ǥ
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9
8. Stereometria
8.2. „Ž‹…œ’‘Ž‡’‘™‹‡”œ…Š‹…ƒÏ‘™‹–‡Œ‘•–”‘•Ï—’ƒ’”ƒ™‹†Ï‘™‡‰‘–”׌¦–‡‰‘
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Pole powierzchni walca
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’—–O’‘†¦–‡Ͷͷq†‘‘•‹™ƒŽ…ƒǤ—–CŒ‡•–ƒ†’—–‡B™–ƒ‹‡Œ•ƒ‡Œ
‘†Ž‡‰Ï‘ä…‹Œƒƒ–›”›•——’—–CŒ‡•–ƒ†’—–‡B–ƒ•ƒ‘†ƒŽ‡‘Œƒ‘†
’—–—A,…œ›Ž‹™‘†Ž‡‰Ï‘ä…‹•‹D.
”œ‡…‹”›•—‡ǡƒŒ„ƒ”†œ‹‡Œƒ’”ƒ™‘ǡŒ‡•–”‘œ™‹‹¸…‹‡„‘…œ‡Œ’‘™‹‡”œ…Š‹
™ƒŽ…ƒ ”‘œ…‹¸–‡Œ ™œ†Ï—Ă ’‹‘‘™‡Œ Ž‹‹‹ ’”œ‡…Š‘†œ¦…‡Œ ’”œ‡œ ’—– A. ‘œ‹‘›
‘”¦‰”‘œ™‹Œƒ•‹¸™œ†Ï—Ă’‘œ‹‘‡Œ‘•‹‹‘Ñ…œ›•‹¸™ʹS.—–AœƒŒ†—Œ‡•‹¸
™’‘…œ¦–—’‘™•–ƒÏ‡‰‘—Ïƒ†—™•’×ϔœ¸†›…Šǡ’—–B na osi OX w Dȋ†Ï—‰‘ä©
ϗ—‘†A†‘BȌǡ’—–Cƒ™•’×ϔœ¸†‡(D, sin D)ǤŽ‹’•ƒ•–ƒŒ‡•‹¸•‹—•‘‹†¦
y sin D.
10
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II
8.3. ƒ‹•œ–ƒÏ–ƒ’”œ‡…‹¸…‹‡’‘™‹‡”œ…Š‹„‘…œ‡Œ™ƒŽ…ƒ‘’”‘‹‡‹—Rœ’σ•œ-
…œ›œ¦’”œ‡…‹ƒŒ¦…¦‰‘’‘†¦–‡M†‘‘•‹•›‡–”‹‹™ƒŽ…ƒǫƒ‹•œ–ƒÏ–’‘™•–ƒŒ‡
’‘”‘œ…‹¸…‹—’‘™‹‡”œ…Š‹„‘…œ‡Œ™œ†Ï—Ă–™‘”œ¦…‡Œ™ƒŽ…ƒ‹”‘œ’σ•œ…œ‡‹—–‡Œ
’‘™‹‡”œ…Š‹ǫ
Objętość brył obrotowych
”…Š‹‡†‡•ǡœƒŒ¦…’”‘‹‡Ñ—Ž‹ǡ’‘–”ƒϐ‹Ï‘„Ž‹…œ›©‹‡–›Ž‘Œ‡Œ‘„Œ¸–‘ä©ǡƒŽ‡–ƒĂ‡‘„Œ¸–‘ä©Œ‡Œ…œ¸ä…‹‹¸†œ›†™‹‡ƒ’σ•œ…œ›œƒ‹”×™‘Ž‡‰Ï›‹Ǥƒ‹‡Œ
™‹¸…‡Œ’”‘™ƒ†œ‹Ï„›•™‘Œ‡”‘œ—‘™ƒ‹‡ǡ‰†›„›…Š…‹ƒÏ„›©œ”‘œ—‹ƒ›†œ‹•‹ƒŒǤ
Twierdzenia 8.2 ȋ”…Š‹‡†‡•ƒ ‘ ‘„Œ¸–‘ä…‹ —Ž‹ ‹ ‘ ‘„Œ¸–‘ä…‹ …œ¸ä…‹ —Ž‹ ’‘‹¸†œ›’σ•œ…œ›œƒ‹”×™‘Ž‡‰Ï›‹Ȍ
•–ƒ™›‘„‘•‹‡„‹‡ƒ’σ•œ…œ›Ā‹‡’‘œ‹‘‡Œ—Ž¸‘’”‘‹‡‹—R‹™ƒŽ‡…
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11
8. Stereometria
Dowód
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12
Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II
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Twierdzenie 8.3 ȋœƒ•ƒ†ƒƒ˜ƒŽ‹‡”‹‡‰‘Ȍ
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Twierdzenie 8.4 ȋœƒ•ƒ†ƒƒ˜ƒŽ‹‡”‹‡‰‘Ȍ
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2
Rozwiązania zadań
8. Stereometria
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Cc
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4
5
5
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3
D
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2
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3
D
A
B
4
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3
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4
B
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†‡
—ƒ’‘Ž‡’”œ‡”‘Œ—Œ‡•–”×™‡ 122 + 82 + 32 = 144 + 64 + 9 = 217 .
8.2. ‹‡ä©› –‡ ‘•–”‘•Ï—’ ’”œ› –”œ‡…Š ’σ•œ…œ›œƒ…Š ’”‘•–‘’ƒ†Ï›…Š †‘
• ‹‡„‹‡Ǥƒ–”œ”›•—‡Ǥ
D
Dccc
Dcc
Płaszczyzna tylna
Płaszczyzna
boczna
H
C
A
Dc
B
a
Płaszczyzna pozioma