naprężeniowa charakterystyka zmęczeniowa dla zakresu małej i

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 56, ISSN 1896-771X
NAPRĘŻENIOWA CHARAKTERYSTYKA
ZMĘCZENIOWA DLA ZAKRESU MAŁEJ
I DUŻEJ LICZBY CYKLI
Andrzej Kurek1a, Anna Kulesa1b, Tadeusz Łagoda1c
1
a
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Opolska
[email protected], [email protected], [email protected]
Streszczenie
W pracy przedstawiono propozycję modelu naprężeniowej charakterystyki zmęczeniowej przeznaczonej do opisu
badań z zakresu niskiej i wysokiej liczby cykli. Proponowane rozwiązanie uwzględnia często zauważany w praktyce
fakt, że charakterystyka zmęczeniowa dla większości materiałów nie przyjmuje, w układzie podwójnie logarytmicznym, kształtu linii prostej lecz przypomina raczej pochyloną literę S. W pracy wykorzystano proponowany
model do wyznaczenia charakterystyk stali z trzech podstawowych grup tj. niskostopowych, wysokostopowych i
niestopowych.
Słowa kluczowe: zmęczenie materiału, charakterystyka zmęczeniowa, badania niskocyklowe.
STRESS LIFE CURVE FOR LOW AND HIGH CYCLE
FATIGUE
Summary
This paper proposes a model of stress life curve intended to describe research in low and high number of cycles.
The proposed solution takes into account, often noticed in practice, the fact that the fatigue life curves of most
materials do not take, in a double logarithmic system, the shape of a straight line, but are more like a tilted letter
S. The study was based on the proposed model to determine the stress life curves of the steel of the three main
groups: low-alloy steels, high-alloy steels, unalloyed steels.
Keywords: Fatigue life, low cycle fatigue, stress life curve.
1. WSTĘP
Zmęczenie materiału jest zjawiskiem powstającym
w wyniku oddziaływania na materiał zmiennych
w czasie obciążeń i powstających w ich efekcie zmiennych naprężeń. Ze zjawiskiem zmęczenia mamy do
czynienia wówczas, gdy pod wpływem tych zmiennych
obciążeń lub naprężeń zmieniają się własności materiału, pojawiają się uszkodzenia lub pęknięcia. Zmęczenie
materiału jest zjawiskiem niebezpiecznym, gdyż przy
obciążeniach nie przekraczających granicy plastyczności
dochodzi do zmniejszenia wytrzymałości lub nawet
zniszczenia materiału. Zazwyczaj następuje to niespodziewanie, przy znacznie mniejszych od wytrzymałości
doraźnej naprężeniach, i dlatego też może stwarzać
zagrożenie dla bezpieczeństwa zarówno maszyn, jak
i człowieka. Powszechnie wiadome jest, iż ogromna
większość zniszczeń powstających w trakcie eksploatacji
ma charakter zmęczeniowy. Z tego względu niezwykle
istotne jest obliczenie czasu lub wielkości maksymalnego
naprężenia, przy którym zniszczenie nie nastąpi.
Przebieg obciążenia oddziaływającego na dany materiał może mieć charakter przypadkowy lub też może
wykazywać pewną powtarzalność i wtedy określamy go
cyklicznym. Jego szczególnym przypadkiem jest obciążenie sinusoidalnie zmienne i na bazie tego rodzaju obciążenia przyjęto wyznaczać zmęczeniowe własności materiałów bądź elementów konstrukcyjnych. Procesy zmęczeniowe powinno się uwzględniać zawsze w przypadku
maszyn poddanych cyklicznym obciążeniom, zwłaszcza
jeśli od poprawności ich działania zależy zdrowie lub
życie człowieka, a więc w takich dziedzinach przemysłu
77
NAPRĘŻENIOWA CHARAKTERYSTYKA ZMĘCZENIOWA DLA ZAKRESU…
jak lotnictwo (elementy turbin), transport samochodowy
(elementy silnika) czy też energetyka (kotły, rurociągi).
Z punktu widzenia wyznaczania wytrzymałości zmęczeniowej istotne znaczenie ma znajomość charakterystyk zmęczeniowych. W celu ich wyznaczenia, zbadania
materiału pod kątem trwałości zmęczeniowej, przeprowadza się w laboratoriach badania cykliczne na próbkach. Wyróżnia się rodzajów charakterystyk, z których
najbardziej powszechne to charakterystyki naprężeniowe
(zalecane do uwzględniania przy dużej liczbie cykli)
i charakterystyki odkształceniowe (proponowane dla
niskiej liczby cykli). Ze względu na postać zaproponowanego przez autorów nowego modelu charakterystyki
w niniejszym opracowaniu skupiono się wyłącznie na
charakterystykach naprężeniowych. Ze względu na to, że
w praktyce inżynieryjnej zdecydowanie częściej, przy
projektowaniu, operuję się wielkościami naprężeń, nie
odkształceń, w pracy podjęto próbę zastosowania tego
typu charakterystyki do opisu niskocyklowych własności
zmęczeniowych materiału. Ponadto na podstawie doświadczeń wielu badaczy zauważono że naprężeniowa
charakterystyka zmęczeniowa, najlepiej opisująca punkty eksperymentalne, powinna raczej przyjmować kształt
pochylonej litery ‘S’ niż linii prostej. Model zaproponowany w tej pracy spełnia ten warunek.
funkcjonująca pod nazwą autora pierwowzoru, a wyraża
się równaniem:
log(Nf) = a + b · log(σa).
Podobnie jak w przypadku modelu Wöhlera w literaturze oraz w obliczeniach praktycznych często logarytm
dziesiętny we wzorze zastępuje się logarytmem naturalnym. Basquin do modelu Wöhlera wprowadził dodatkową funkcją logarytmującą wartość amplitudy naprężenia
σa.
Kolejną omawianą charakterystyką zmęczeniową jest
opracowana w 1914 roku propozycja Stromeyera [3]
log(Nf) = a + b · log(σa – σaf),
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do
zniszczenia),
σa - amplituda naprężenia (lub odkształcenia),
σaf - granica zmęczenia,
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji).
Kolejny model zmęczeniowy został opracowany w 1955
r. przez Corsona [4]
௙ =
௔
ఙೌ ିఙೌ೑
∙ [− ∙ ௔ − ௔௙ ]
(5)
lub po obustronnym zlogarytmowaniu
W literaturze z zakresu trwałości zmęczeniowej można znaleźć wiele propozycji naprężeniowych modeli
zmęczeniowych. Najbardziej znane to charakterystyka
Wöhlera [1] oraz Basquina [2]. Niemniej jednak liczni
autorzy proponują nieco inne, bardziej rozbudowane
modele.
Wykres zmęczeniowy opracowany przez Wöhlera
w 1860 r. jest historycznie najstarszy. Model zmęczeniowy zapisuje się w postaci:
ln( N ) = ln(a) − ln(σ − σ ) − c ⋅ (σ − σ ) (6)
f
a
af
a
af
Następnym modelem zmęczeniowym jest zależność
zaproponowana w pracy Bastenaire [5] z 1974 r. to
Nf =
 σ −σ
a
af
⋅ exp −  a
σ a − σ af
b
 



c



(7)
lub po obustronnym zlogarytmowaniu
(1)
 σ − σ af
ln( N f ) = ln(a ) − ln(σ a − σ af ) −  a
b

lub gdy zastąpi się logarytm dziesiętny logarytmem
naturalnym
ln(Nf) = a + bσa ,
(4)
gdzie:
2. PRZEGLĄD NAPRĘŻENIOWYCH
CHARAKTERYSTYK
ZMĘCZENIOWYCH
log(Nf) = a + bσa
(3)



c
(8)
Natomiast w 1999 r. pojawia się propozycja Pascuala i
Meekera [6] wyrażona równaniem
(2)
ln(Nf) = a + b · log(σa-σaf) + ,
gdzie:
(9)
gdzie:
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do
zniszczenia),
σa - amplituda naprężenia,
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do
zniszczenia),
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji).
σa - amplituda naprężenia,
Wykres zaproponowany w 1910 r. przez Basquina to
w zasadzie zmodyfikowana charakterystyka Wöhlera.
W literaturze jest bardziej rozpowszechniona i często
σaf - granica zmęczenia,
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji),
ε – współczynnik warunku błędu
78
Andrzej Kurek, Anna Kulesa, Tadeusz Łagoda
Przyjmując za a + ε jedną stałą, równanie (9)
przyjmuje postać identyczną jak u Stromeyera, z tą
różnicą, że Pascual i Meeker proponują użycie logarytmu
naturalnego, a więc
ln(Nf) = a + b · log(σa-σaf).
ε a ,t = ε a , e + ε a , p =
(10)
- amplituda naprężenia (lub odkształcenia),
a*, b - parametry równania (stałe modelu regresji), przy
czym
c – parametr wrażliwości temperatury taki, że
்బ
(15)
(13)
Proponowany w pracy model naprężeniowej
charakterystyki zmęczeniowej przeznaczony jest do opisu
badań z zakresu niskiej i wysokiej liczby cykli.
N f = const .
Jednakże przy założeniu, że model Basquina jest
prawidłowy dla pewnej temperatury odniesienia T0, to
równanie (12) zawiera stałą a pochodzącą z modelu
Basquina i może być zapisane w postaci
் ௖
c
3. PROPOZYCJA WŁASNEJ
CHARAKTERYSTYKI
ZMĘCZENIOWEJ
T – temperatura, w której przeprowadza się badanie
௔ (௙ , T) = a ௙௕ czyli
)
Jednakże nawet w przypadku odkształceniowych
charakterystyk zmęczeniowych problem niedoskonałego
odwzorowania rzeczywistości może mieć znaczący wpływ
na dokładność otrzymanej charakterystyki. Problem taki
opisano w pracy [10]; autorzy wskazują na pewną
nieuwzględnianą przez model wartość odkształcenia,
które dla niektórych materiałów jest na tyle duże, że
może doprowadzić do poważnych błędów przy
wyznaczaniu charakterystyki. Odkształcenie to nie jest
ani sprężyste ani plastyczne.
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do
zniszczenia),
∂ log T
(
+ ε 'f 2N f
ε'f, c – współczynnik i wykładnik zmęczeniowego
odkształcenia plastycznego.
gdzie:
∂ log σ a ( N f , T )
b
f
E – moduł Younga, σ'f, b – współczynnik i wykładnik
wytrzymałości zmęczeniowej,
(11)
log௔ (௙ ,T) = log a* + b log௙ + c·logT, (12)
c=
(2 N )
2Nf – liczba nawrotów obciążenia (półcykli),
Natomiast w 2000 r. Kohout [8] zaproponował nowy
model uwzględniający wpływ temperatury, będący
rozwinięciem modelu Basquina
a
E
gdzie: εa,t – amplituda odkształcenia całkowitego
wyrażona sumą amplitud odkształcenia sprężystego εa,e i
plastycznego εa,p,
W tym samym roku Kato i Hayashi [7] proponują
zależność:
log௔ = a + b · log(log(Nf)).
σ 'f
௔ = ′௙ ௕ .
ఙೌ
ோ೘
= 2௙ + ଶ 2௙ + ଷ 2௙ ,(16)
gdzie:
(14)
σa – amplituda naprężenia,
Po zlogarytmowaniu w konsekwencji otrzymuje się
wzór Basquina [3].
Występujące we wszystkich modelach współczynniki
wyznacza się przez dopasowanie krzywej do punktów
eksperymentalnych. W tym celu wykorzystuje się
metodę najmniejszych kwadratów oraz, w przypadku
modeli
nieliniowych,
algorytm
Gaussa-Newtona.
Wszystkie charakterystyki można sporządzić na
podstawie jednej serii typowych badań, określonych w
normach [9].
Kolejną wspólną cechą przytoczonych we wstępie
oraz proponowanego przez autorów modelu jest fakt, że
modele te oparte są na występujących w materiale
podczas badań naprężeniach. Wielkości te (naprężenia)
są jednakże wartościami empirycznymi, a co za tym
idzie, nie są oparte na fizyce zjawiska. Dla badań
niskocyklowych częściej stosuje się natomiast modele
odkształceniowe, uwzględniające zarówno odkształcenia
plastyczne jak i sprężyste, najczęściej jest to model
Mansona-Coffina-Basquina (MCB) (15).
2Nf – liczba nawrotów obciążenia (półcykli),
Rm – wytrzymałość na rozciąganie
B, C, D – stałe modelu regresji.
W modelu, opisanym wzorem (16), założono, że
granica doraźnej wytrzymałości Rm ma wpływ na
kształt naprężeniowej charakterystyki zmęczeniowej w
zakresie bardzo małej liczby cykli. Proponowane
rozwiązanie uwzględnia często zauważany w praktyce
fakt, że charakterystyka zmęczeniowa dla większości
materiałów nie przyjmuje, w układzie podwójnie
logarytmicznym, kształtu linii prostej lecz przypomina
raczej pochyloną literę S.
Stałe B, C i D występujące we wzorze (16)
wyznaczono numerycznie z wykorzystaniem metody
sumy najmniejszych kwadratów.
Podobne do proponowanego przez autorów podejścia
wykładniczej charakterystyki (16) przedstawił w 2000
roku F. A. Kandil (17).
∆௧ = − ௙ + ଶ (௙ ).
79
(17)
NAPRĘŻENIOWA CHARAKTERYSTYKA ZMĘCZENIOWA DLA ZAKRESU…
St 42
Proponowany przez tego autora model został
zaprezentowany w pracy [11], ale wykorzystany został
do wyniku badań zmęczeniowych przy kontrolowanym
odkształceniu.
Była
to
zatem
odkształceniowa
charakterystyka zmęczeniowa.
500
450
σ , MPa
400
a
4. WERYFIKACJA
ZAPROPONOWANEGO MODELU
350
300
250
Weryfikację proponowanego modelu przeprowadzono
na wynikach eksperymentalnych dziesięciu różnych
materiałów z trzech podstawowych grup, tj. niskostopowych, wysokostopowych i niestopowych. Wyniki badań
zmęczeniowych zaczerpnięto z literatury [12]. W tabeli 1
zestawiono materiały wykorzystane do weryfikacji
modelu wraz z podstawowymi własnościami tych materiałów i współczynnikiem determinacji R2 wyznaczonym
dla charakterystyki danego materiału.
200
10
2
modelu wyznaczona dla stali niestopowej St 42.
St 52
700
650
600
550
a
σ , MPa
500
450
400
Niestopowe
206
457
0,9677
St 52-3
210
597
0,9747
300
CK 45
210
790
0,9447
250
350
10
214
872
0,9889
St E590
210
608
0,9462
Wysokostopowe
X25CrNiMn2520
193
642
0,9964
X40CrMoV205
213
2 576
0,9772
X8CrNiTi1810
181
411
0,9894
10
N , cykle
4
10
6
f
Rys. 2. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali niestopowej St 52-3
CK45
950
900
850
800
750
700
650
a
St E690
2
0,9752
σ , MPa
Niskostopowe
852
6
f
St 42
210
10
Rys. 1. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
Tabela 1. Zestawienie badań materiałów wykorzystanych do
analizy
Rodzaj materiału
Moduł
Wytrzymałość
R2
Younga na rozciąganie
E, GPa Rm, MPa
HSB 77V
4
10
N , cykle
600
550
500
CuNiCr35
170
639
450
0,9642
400
350
Dla wszystkich wymienionych w tabeli pierwszej
materiałów wyznaczone stałe A,B i C występujące w
proponowanym wzorze (16). Otrzymane w ten sposób
charakterystyki naprężeniowe przedstawiono w formie
podwójnie logarytmicznych wykresów na rysunkach
1÷10. Linią ciągłą zaznaczono fragment charakterystyki
w zakresie punktów eksperymentalnych, natomiast linia
kreskowa to estymacja charakterystyki według wzoru
(16) poza zakresem eksperymentu.
10
2
10
N , cykle
4
10
6
f
Rys. 3. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali niestopowej Ck 45
80
Andrzej Kurek, Anna Kulesa, Tadeusz Łagoda
X25CrNiMn2520
HSB77V
900
850
800
800
600
750
500
σ , MPa
700
a
650
400
a
σ , MPa
700
600
300
550
500
200
10
450
10
2
4
10
N , cykle
10
4
10
6
Rys. 7. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X25CrNiMn2520
X40CrMoV205
3150
3000
f
a
10
N , cykle
f
6
Rys. 4. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali niskostopowej HSB 77V
StE690
900
2750
800
2500
700
2250
σ , MPa
600
2000
a
σ , MPa
2
1750
500
1500
400
1250
10
300
10
2
4
10
N , cykle
10
4
10
6
Rys. 8. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X40CrMoV205
X8CrNiTi1810
550
500
f
StE590
a
10
N , cykle
f
6
Rys. 5. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali niskostopowej St E690
1000
450
900
400
800
350
σ , MPa
700
300
a
σ , MPa
2
600
200
500
400 1
10
250
150
10
2
10
3
10
4
10
2
10
4
N , cykle
N , cykle
f
f
Rys. 6. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali niskostopowej St E590
Rys. 9. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X8CrNiTi1810
81
NAPRĘŻENIOWA CHARAKTERYSTYKA ZMĘCZENIOWA DLA ZAKRESU…
CuNiCr35
do 5 000 000 cykli. Jej stosowanie dla próbek, które
zniszczeniu uległy przy badaniach poniżej 200 cykli,
mogą powodować pewnych problemów ze względu na
możliwość
przekroczenia granicy wytrzymałości na
rozciąganie.
1000
800
600
a
σ , MPa
400
5. WNIOSKI I SPOSTRZEŻENIA
200
10
2
4
10
N , cykle
10
6
10
Na podstawie przeprowadzonych symulacji dla 10
różnych materiałów można zauważyć, że proponowany
model dobrze opisuje wyniki badań eksperymentalnych i
może być stosowany jako charakterystyka zmęczeniowa
dla badań z zakresu zarówno niskiej jak i wysokiej
liczby cykli.
Jego podstawową zaletą jest uwzględnienie wytrzymałości na rozciąganie (Rm) w celu odzwierciedlenia obserwowanego w rzeczywistości charakteru krzywej
naprężeniowej tj. jej kształtu pochylonej litery S. .
8
f
Rys. 10. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego
modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej CuNiCr35
Przeprowadzona badania symulacyjne potwierdziły
przydatność proponowanego modelu przy opisie własności zmęczeniowych materiałów z zakresu od około 200
Literatura
1.
Wöhler A.: Bericht
uber Versuche, welche auf der Koenigl. Niederschlesich-Maerkischen Eisenbahn mit
Apparaten zum Messen der Biegung und Verdrehung von Eisenbahnwagen-Achsen waehrend der Fahrt,
angestellt wurden. “Zeitschrift fuer Bauwesen” 1858, Vol. 8, p. 642-652.
2.
Basquin O. H.: The experimental law of endurance test. In: Proc. ASTM, Philadelphia 1910, Vol. 10, p. 625630.
3.
Stromeyer C. E.: The determination of fatigue limits under alternating stress, conditions. In: Proc. R. Soc.
London, Ser. A, Vol. 90, 1914, p. 411-4125.
4.
Palin-Luc T.: Fatigue multiaxiale d’une fonte GS sous combinessions d’amplitude variable. These de Docteur,
ENSAM Bordeaux 1996.
5.
Bastenaire F.A.: New method for the statistical evaluation of constant stress amplitude fatigue-test results:
Probabilistic aspects of fatigue, STMSTP, 1972, Vol. 511, p. 3-28.
6.
Pascual F. G., Meeker W. Q.: Estimating fatigue curves with the random fatigue-limit model. “Technometrics”
1999, 41, p. 89-94.
7.
Kato A., Hayashi M.: Fatigue life estimation of steel using laser speckle sensor. NDT&E International 32, 1999,
p. 139-145.
8.
Kohout J.: Temperature dependence of stress–lifetime fatigue curves. “Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures” 2000, 23(12), p. 969–977.
9.
Kurek M., Łagoda Lt., Katzy D.: Comparison of fatigue characteristics of some selected materials. “Materials
Testing” 2014, Vol. 56, No. 2, p. 92-95.
10. Marcisz E., Niesłony A., Łagoda T.: Concept of fatigue for determining characteristics of materials with
strengthening. Fatigue Failure and Fracture Mechanics Book Series: “Materials Science Forum” 2012, Vol. 726,
p. 43-48.
11. Kandil F. A.: The determination of uncertainties in low cycle fatigue testing, standards measurement & testing
project No. SMT4-CT97-2165, Iss. 1, September 2000, p. 1-26.
12. Bäumel A., Seeger T.: Material data for cyclic loading. Supplement 1, Materials Science Monographs, 61, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, 1990.
82