docT - Wydział Elektrotechniki i Informatyki
download 
Reklamacja Transkrypt
T - Wydział Elektrotechniki i Informatyki
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze materiały podlegają ochronie zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz.U. 1994 nr 24 poz. 83 z późniejszymi zmianami). Materiał te udostępniam do celów dydaktycznych jako materiały pomocnicze do wykładu z przedmiotu Pomiary Wielkości Nieelektrycznych prowadzonego dla studentów Wydziału Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Mogą z nich również korzystać inne osoby zainteresowane tą tematyką. Do tego celu materiały te można bez ograniczeń przeglądać, drukować i kopiować wyłącznie w całości. Wykorzystywanie tych materiałów bez zgody autora w inny sposób i do innych celów niż te, do których zostały udostępnione, jest zabronione. W szczególności niedopuszczalne jest: usuwanie nazwiska autora, edytowanie treści, kopiowanie fragmentów i wykorzystywanie w całości lub w części do własnych publikacji. Eligiusz Pawłowski PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 2 Uwagi dydaktyczne Niniejsza prezentacja stanowi tylko i wyłącznie materiały pomocnicze do wykładu z przedmiotu Pomiary Wielkości Nieelektrycznych prowadzonego dla studentów Wydziału Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Udostępnienie studentom tej prezentacji nie zwalnia ich z konieczności sporządzania własnych notatek z wykładów ani też nie zastępuje samodzielnego studiowania obowiązujących podręczników. Tym samym zawartość niniejszej prezentacji w szczególności nie może być traktowana jako zakres materiału obowiązujący na kolokwium. Na kolkwium obowiązujący jest zakres materiału faktycznie wyłożony podczas wykładu oraz zawarty w odpowiadających mu fragmentach podręczników podanych w wykazie literatury do wykładu. Eligiusz Pawłowski PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 3 Tematyka wykładu Wymagania dynamiczne stawiane czujnikom Przetworniki inercyjne pierwszego rzędu Charakterystyki czasowe Charakterystyki częstotliwościowe Przetworniki drugiego rzędu oscylacyjne Przetworniki inercyjne drugiego rzędu PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 4 Wymagania dynamiczne stawiane czujnikom 1.Szybkie osiąganie stanu ustalonego, krótki czas trwania stanu przejściowego 2.Płaska charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa, małe zniekształcenia amplitudowe 3.Liniowa charakterystyka fazowo-częstotliwościowa, małe zniekształcenia fazowe 4.Szerokie pasmo przenoszenia, wysoka częstotliwość graniczna 5.Małe błędy dynamiczne PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 5 Elementy określające dynamikę czujników Właściwości dynamiczne czujników zależą od zachodzących w nim przemian energetycznych, o przebiegu których decydują trzy rodzaje elementów: 1.Elementy rozpraszające energię (dysypacyjne): rezystancja w obwodach elektrycznych, tarcie mechaniczne, lepkość płynów, 2.Elementy akumulujące energię potencjalną (w stanie statycznym): kondensatory, sprężyny, zbiorniki ciśnieniowe, masa w polu grawitacyjnym, 3.Elementy akumulujące energię kinetyczną (w stanie dynamicznym): cewki indukcyjne, masa znajdująca się w ruchu. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 6 Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu - ogólnie Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu składa się z dwóch elementów: 1.Elementu rozpraszającego energię, 2.Elementu akumulującego energię (potencjalną lub kinetyczną). Rezystor rozprasza energię Kondensator magazynuje energię (potencjalną) Przykład przetwornika 1-rzędu, układ RC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 7 Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu - termometr Rth = 1 S ⋅α Obudowa termometru charakteryzuje się pewną rezystancją termiczna Rth zależną od powierzchni S i współczynnika przejmowania ciepła α PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski Cth = m ⋅ c p Ciecz termometryczna charakteryzuje się pewną pojemnością cieplną Cth zależną od masy m i ciepła właściwego cp 8 Równanie różniczkowe opisujące stan dynamiczny Ogólna postać równania różniczkowego opisującego stan dynamiczny przetwornika : diy m d jx Ai i = ∑ B j j ∑ dt dt i =0 j =0 n W układach rzeczywistych zawsze n ≥ m W stanie statycznym wszystkie pochodne są równe zeru: di y ∀ i =0 i ≥1 dt d jx ∀ =0 i ≥1 dt j PWN, tydzień 3 ⇒ A0 y = B0 x dr inż. Eligiusz Pawłowski ⇒ y= B0 x A0 9 Równanie przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Ogólna postać równania różniczkowego pierwszego rzędu : dy A1 + A0 y (t ) = B0 x(t ) dt Postać równania wygodna dla analizy matematycznej Dzielimy obustronnie przez A0 i wprowadzamy oznaczenia: Współczynnik przetwarzania statycznego k: Stała czasowa T: A1 =T A0 Po podstawieniu otrzymamy: PWN, tydzień 3 B0 =k A0 Postać równania posiadająca interpretację fizyczną dy T + y (t ) = k x(t ) dt dr inż. Eligiusz Pawłowski 10 Stan statyczny przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu dy T + y (t ) = k x(t ) dt Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: W stanie statycznym pochodna po czasie jest równa zeru: Otrzymujemy równanie opisujące stan statyczny: PWN, tydzień 3 dy =0 dt y (t ) = k x(t ) dr inż. Eligiusz Pawłowski 11 Odpowiedź jednostkowa przetwornika pierwszego rzędu dy T + y (t ) = k x(t ) dt Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: Sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego: x(t ) = 1(t ) Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu: PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski t − y (t ) = k 1 − e T 12 Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu – przykład RC dU C U1 = RI + U C = R C dt RC dU 2 + U 2 = U1 dt dy T + y (t ) = k x(t ) dt + U C I= dQ dt T = RC Q = U CC k =1 Przykład elektryczny przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 13 Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu Stała czasowa t − T y (t ) = k 1 − e Charakterystyki czasowe, odpowiedź na skok jednostkowy PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 14 Stała czasowa przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Stan ustalony jest osiągany po kilku stałych czasowych T t − T y (t ) = k 1 − e Stała czasowa Stan ustalony byłby osiągnięty po stałej czasowej T, gdyby szybkość narastania sygnału była cały czas taka sama jak w chwili początkowej. Początkowa szybkość narastania sygnału PWN, tydzień 3 Po jednej stałej czasowej sygnał osiąga tylko 63% stanu ustalonego ! dr inż. Eligiusz Pawłowski 15 Wpływ stałej czasowej na postać odpowiedzi skokowej Mniejsza stała czasowa oznacza wcześniejsze osiągnięcie stanu ustalonego t − T y (t ) = k 1 − e Zawsze po jednej stałej czasowej sygnał osiąga tylko 63% stanu ustalonego ! Większa stała czasowa oznacza wolniejsze narastanie sygnału PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 16 Czas ustalania Tu odpowiedzi skokowej czujnika Stan ustalony t − T y (t ) = k 1 − e Dopuszczalny błąd ε PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 17 Czasy ustalania Tu odpowiedzi skokowej czujnika Dopuszczalny błąd ε Przeciętnie przyjmuje się stan ustalony po 3 ... 5 stałych czasowych T (5% i 1% błędu) Producenci czujników często podają czas połówkowy T0,5 (50% błędu) PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 18 Parametry czasowe odpowiedzi skokowej czujnika t − y (t ) = k 1 − e T Stała czasowa Stan ustalony Czas połówkowy PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 19 Przykład przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Czas odpowiedzi zależy od konstrukcji czujnika PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 20 Odpowiedź na sygnał harmoniczny Charakterystyki czasowe, odpowiedź na sygnał harmoniczny Mniejsza amplituda Przesunięcie fazowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 21 Charakterystyki częstotliwościowe pierwszego rzędu Malejąca amplituda Częstotliwość graniczna 1 ω gr = T Przesunięcie fazowe Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 22 Charakterystyka amplitudowa unormowana Częstotliwość graniczna –3dB Pulsacja zredukowana Malejąca amplituda –20dB/dek. Wniosek: Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu ma charakterystykę filtru dolnoprzepustowego. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 23 PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA Charakterystyka filtru dolnoprzepustowego PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 24 PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA Przetwornik drugiego rzędu - ogólnie Przetwornik drugiego rzędu składa się z trzech elementów: 1.Elementu rozpraszającego energię, 2.Elementu akumulującego energię potencjalną, 3.Elementu akumulującego energię kinetyczną. Rezystor rozprasza energię Kondensator magazynuje energię potencjalną Cewka magazynuje energię kinetyczną Przykład przetwornika 2-rzędu, układ RLC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 25 Równanie różniczkowe drugiego rzędu Ogólna postać równania różniczkowego drugiego rzędu : d2y dy A2 2 + A1 + A0 y (t ) = B0 x(t ) dt dt Dzielimy obustronnie przez A0 i wprowadzamy oznaczenia: Współczynnik przetwarzania statycznego k: B0 =k A0 Pulsacja rezonansowa ω0 : A0 = ω0 A2 Współczynnik tłumienia b: PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski A1 =b 2 A0 A2 26 Równanie przetwornika drugiego rzędu Otrzymujemy równanie różniczkowe przetwornika drugiego rzędu : 1 d 2 y 2b dy + + y (t ) = k x(t ) 2 2 ω0 dt ω0 dt W stanie statycznym pochodne po czasie są równe zeru: Otrzymujemy równanie opisujące stan statyczny: PWN, tydzień 3 dy =0 dt d2y =0 2 dt y (t ) = k x(t ) dr inż. Eligiusz Pawłowski 27 Odpowiedź jednostkowa przetwornika drugiego rzędu Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: 1 d 2 y 2b dy + + y (t ) = k x(t ) 2 2 ω0 dt ω0 dt Sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego: x(t ) = 1(t ) Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu: 1. dla b=0 ma charakter oscylacyjny nietłumiony, 2. dla 0<b<1 ma charakter oscylacyjny tłumiony, 3. dla b=1 ma charakter tłumiony aperiodyczny krytyczny, 4. dla b>1 ma charakter tłumiony aperiodyczny. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 28 Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b=0 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu dla b=0 ma charakter oscylacyjny nietłumiony: y (t ) = k (1 − cos ω0t ) Ruch oscylacyjny nietłumiony PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 29 Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla 0<b<1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla 0<b<1 ma charakter oscylacyjny tłumiony: y (t ) = k (1 − a(t )sin (ωt +ψ )) obwiednia a(t ) = niższa pulsacja przesunięcie fazowe Ruch oscylacyjny tłumiony PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski e −bω0t 1 − b2 ω = ω0 1 − b 2 1− b 2 ψ = arctg b 30 Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b=1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla b=1 ma charakter tłumiony aperiodyczny krytyczny : ( y (t ) = k 1 − (1 + ω0t )e −ω0t ) Funkcja nieokresowa, ruch aperiodyczny Ruch aperiodyczny krytyczny PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 31 Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b>1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla b>1 ma charakter tłumiony aperiodyczny: −bω0t 2 e b 1 − 2 y (t ) = k 1 − sh ω0t b − 1 + arctg 2 b b 1 − Funkcja nieokresowa, ruch aperiodyczny Ruch aperiodyczny PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 32 Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Częstotliwość rezonansowa Malejąca amplituda Liniowa ch-ka fazowa Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 33 Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Malejąca amplituda Częstotliwość rezonansowa Liniowa ch-ka fazowa Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa, liniowa skala na osiach! PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 34 Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Częstotliwość graniczna Częstotliwość rezonansowa -3dB -40dB/dek Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa, logarytmiczna skala na osiach! PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 35 Przykład przetwornika oscylacyjnego drugiego rzędu Charakterystyka amplitudowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski Charakterystyka fazowa 36 Przetwornik inercyjny drugiego rzędu (RC) Przetwornik drugiego rzędu może być również połączeniem dwóch członów inercyjnych pierwszego rzędu, tzn: 1.Dwóch elementów rozpraszających energię, 2.Dwóch elementów akumulujących energię tego samego rodzaju (potencjalną, lub kinetyczną). Rezystory rozpraszają energię Kondensatory magazynują energię potencjalną Przykład przetwornika 2-rzędu, układ RC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 37 Przetwornik inercyjny drugiego rzędu Stała czasowa Charakterystyki czasowe, odpowiedź na skok jednostkowy Opóźnienie czasowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 38 Przetwornik inercyjny drugiego rzędu – opóźnienie czasowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 39 Przesunięcie fazowe Przykład przetwornika inercyjnego drugiego rzędu Opóźnienie czasowe Stała czasowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 40 Podsumowanie 1.Właściwości dynamiczne czujnika wynikają z elementów rozpraszających energię i magazynujących energię 2.Zachowanie się czujnika w stanie dynamicznym opisuje się równaniem różniczkowym. 3.Dynamiczne właściwości członu inercyjnego pierwszego rzędu są określone przez jego stałą czasową. 4. Dynamiczne właściwości członu drugiego rzędu są określone przez stopień tłumienia i częstotliwość drgań własnych. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 41 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 42
