1 Indukcja matematyczna. Ciągi Fibonacciego

1
Indukcja matematyczna. Ciągi Fibonacciego
1. Wykazać indukcyjnie:
(a)
n
X
(8k − 5) = 4n2 − n, dla n > 0,
k=1
(b)
n
X
k2 =
k=0
n(n + 1)(2n + 1)
dla n ­ 0,
6
(c)
2n
X
(−1)k+1 k = −n dla n ­ 0,
k=0
(d)
n
X
(k − 1)(3k − 2) = n2 (n − 1) dla n > 0,
k=1
(e)
n
X
k2 + k − 1
k=1
(k + 2)!
=
1
n+1
−
dla n > 0,
2 (n + 2)!
(f)
n
X
3
k =
k=0
n(n + 1)
2
!2
dla n ­ 0,
(g)
2n
X
(−1)k+1
k=1
2n
X
1
1
=
dla n > 0,
k k=n+1 k
(h) 10|(n5 − n) dla n ­ 0,
(i) 11|(26n+1 + 32n+2 ) dla n ­ 0,
(j) cos x| sin 2nx dla n ­ 0,
1
n
(k) 10|(22 − 6) dla n > 1,
(l) 12|(10n − 4) dla n > 1,
(m) (1 + a)n ­ 1 + na dla a > −1 oraz dla n > 0, (nierówność
Bernoulliego)
(n)
(1 +
1 n
) ¬ n + 1 dla n > 0,
n
n
(o) n! ­ n 2 dla n > 0,
(p) 2n + 1 < 2n dla n ­ 3.
(q) n2 ¬ 2n dla n > 3.
2. Wyrazić za pomoca liczb harmonicznych:
(a)
n
X
1
,
k=0 2k + 1
(b)
2n
X
(−1)k−1
k=1
k
.
3. Wykazać nastepujące własności liczb Fibonacciego:
(a)
n
X
Fk = Fn+2 − 1,
k=0
(b)
n
X
Fk2 = Fn Fn+1 ,
k=0
(c)
n
X
F2k+1 = F2n+2 ,
k=0
2
(d)
2n
X
(−1)k Fk = F2n−1 − 1, dla n ­ 1,
k=0
(e) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n dla n > 0,
2
(f) F2n+1 = Fn2 + Fn+1
,
2
2
(g) F2n = Fn+1 − Fn−1 , dla n > 0,
(h)
"
1 1
1 0
#n+1
"
=
Fn+2 Fn+1
Fn+1 Fn
#
.
4. Rozwiązać rekurencje
(a) s0 = 2; s1 = −1;
sn = −sn−1 + 6sn−2 dla n > 1,
(b) s0 = 2;
sn = 5sn−1 dla n > 0,
(c) s0 = 1; s1 = 8;
sn = 4sn−1 − 4sn−2 dla n > 1,
(d) s0 = c; s1 = d;
sn = 5sn−1 − 6sn−2 dla n > 1,
(e) s0 = 1; s1 = 2;
sn = 3sn−2 dla n > 1,
(f) s0 = 1; s1 = 2;
sn = −2sn−1 + 3sn−2 dla n > 1.
5. Niech w0 = a; w1 = b;
wn+2 = Awn+1 + Bwn + C.
(a) Wykazać, że
wn+1 = a +
n
X
vk ,
k=0
gdzie {vk } jest uogólnionym ciągiem Fibonacciego określonym przez
warunki:
v0 = b − a; v1 = (A − 1)b + Ba + C;
vn+2 = Avn+1 + Bvn .
(b) Wykorzystując podpunkt (a) rozwiązać rekurencję:
w0 = 1; w1 = 2;
wn+2 = 5wn+1 − 6wn + 2.
3
2
Sumy i iloczyny uogólnione
1. Sformułować własności iloczynów uogólnionych.
2. Zapisać jako sumy uogólnione:
(a) 12 + 22 + ... + n2 ,
(b) 1 · 2 + 2 · 3 + ... + n(n + 1),
(c) 1 + (−1) + ... + (−1)n ,
(d) 1 + 12 + ... + n1 ,
(e) 1 + (1 + 12 + ... + (1 + 12 + ... + n1 ),
(f) n + 12 (n − 1) + 13 (n − 2) + ... + n1 .
3. Wyznaczyć sumy:
(a)
0
X
k2;
k=1
(b)
X
1
;
k+1
k2 ¬0
(c)
5
X
ak ;
k=0
(d)
X
ak2 ;
0¬k2 ¬5
(e)
X
ajk ;
1¬k<j¬4
(f)
X
0<j,k<6
4
kj;
(g)
X
kj[k + j = 7];
0<j,k<6
(h)
X
(k + j).
0<j<6
0<k<5
4. Zastosować metodę zaburzeń do
(a)
n
X
Sn =
k2;
k=0
(b)
n
X
Sn =
k3;
k=0
(c)
Sn =
n
X
k 2 Hk ;
k=0
(d)
Sn =
n
X
(−1)n−k ;
k=0
(e)
n
X
Tn =
(−1)n−k k;
k=0
(f)
Un =
n
X
(−1)n−k k 2 ;
k=0
(g)
Sn =
n
X
(a + bk);
k=0
5
3
Rachunek różnicowy
1. Obliczyć 53 , 2−2 , (−2)2 , (−2)2 , ( 12 )3 , 03 , 0−3 , 03 , 0−3 , ( 13 )−1 .
2. Wyznaczyć 0m , 0m , 1m , 1m , mm , mm dla dowolnego całkowitego m.
3. Wykazać, że (przy odpowiednich założeniach)
(a) (x + y)2 = x2 + 2x1 y 1 + y 2 ,
(b) (x + y)2 = x2 + 2x1 y 1 + y 2 ,
(c) xm (x − m)n = xn (x − n)m ,
(d)
xm = (−1)m (−x)m = (x + m − 1)m =
1
(x − 1)−m
xm = (−1)m (−x)m = (x − m + 1)m =
1
(x + 1)−m
(e)
4. Wyprowadzić wzory na
(a) ∆xm ,
(b) ∆x!,
(c) ∆cx , dla c 6= x.
5. Obliczyć:
(a) ∆(x−3 + 2x2 + x7 ),
(b) ∆2x ,
(c) ∆3Hx ,
(d) ∆(2x · Hx ),
−2
(e) ∆ (x+1)(x+2)
,
(f) ∆((−1)x · x2 ).
6. Obliczyć:
(a)
n+1
X
1
,
k=2 k(k + 1)
6
(b)
10
X
(2k 5 + 3k 2 + 7),
k=1
(c)
17
X
1
,
k=1 (k + 1)(k + 2)(k + 3)
(d)
5
X
k −1 ,
k=0
(e)
n
X
k4,
k=1
wiedząc,że k 4 = k 4 + 6k 3 + 7k 2 + k 1 .
(f)
n
X
k · k!,
k=1
(g)
n
X
(−2)k · (−3 − k),
k=1
(h)
n
X
(−2)k
k=1
k
.
Wskazówka. Zauważyć, że
∆ck =
ck+2
.
c−k
7. Stosując metodę sumowania przez części obliczyć:
7
(a)
n−1
X
Hk
,
(k
+
1)(k
+
2)
k=0
(b)
n
X
k · 2k ,
k=0
(c)
n−1
X
3k − 1
,
k=0 (k + 1)(k + 2)
(d)
n
X
k=0
8
Hk · 3k .
4
Funkcje sufitu i podłogi
1. Obliczyć
−
1
,
2
√
1
, bπc, d−πe , b2, 1c, dee , b− 2c
3
2. Niech α, β ∈ R, α < β. Wyznaczyć, ile liczb całkowitych zawiera
przedział < α, β >, (α, β >, (α, β).
3. Podać, ile jest liczb całkowitych w przedziałach
π π
− ,
,
2 2
7 100
,
,
8 π
1
− , 2e .
2
4. Wykazać, że
(a)
n
X
$ %
$
%
k
n2
=
,
2
4
k=1
n ­ 0.
(b)
n
X
k=1
& '
'
&
k
n(n + 2)
=
,
2
4
n ­ 0.
(c) bxc + byc ¬ bx + yc, dla dowolnych x, y ∈ R.
(d) dx + ye ¬ dxe + dye, dla dowolnych x, y ∈ R.
(e)
$
%
bxc
x
=
,
n
n
dla dowolnych x ∈ R, n ∈ N.
5. Rozwiąż równania
(a)
2x − 1
3x − 2
=
;
4
5
3x − 7
2x − 5
=
;
3
4
(b)
9
(c)
x−2
11x − 2
=
;
4
3
2x − 1
3x − 4
=
.
5
3
(d)
6. Rozwiąż równanie
{x}2 (x + bxc)2 + bxc2 (x + {x})2 = 16 + 2 bxc2 {x}2 ,
gdzie {x} = x − bxc.
10
5
Zasada szufladkowa Dirichleta
1. 73 kulki zostały umieszczone w 8 pudełkach. Wykazać,że:
(a) jedno z pudełek ma co najmniej 10 kulek;
(b) jeśli 2 pudełka są puste, to któreś pudełko zawiera co najmniej 13
kulek.
2. Ile co najwyżej razy można rzucić parą kostek bez otrzymywania dwukrotnie
tej samej sumy oczek?
3. Niech A ⊆ {1, 2, ..., 50} jest dzisięcioelementowy. Wykazać, że A ma 2
czteroelementowe podzbiory o tej samej sumie elementów.
4. Wykazać, że jeśli 10 liczb naturalnych ma sumę 101, to są wśród nich
3, których suma wynosi co najmniej 31.
5. Wykazać, że spośród dowolnie wybranych 5 liczb naturalnych suma
trzech musi być podzielna przez 3.
11
6
Elementy teorii liczb
1. Znaleźć N W D(479435, 8415).
2. Znaleźć takie liczby całkowite a, b, aby 54a + 135b = N W D(54, 135).
3. Zastosować sito Eratostenesa dla x = 26.
4. Wykazać, że N W D(m, n) · N W W (m, n) = m · n.
5. Wykazać, że N W D(Fn+1 , Fn ) = 1 dla dowolnego n ­ 0.
6. Wykazać, że Fm+n = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 .
7. Wykazać, że Fn |Fkn dla dowolnego k, n.
8. Wykazać, że jeśli nj ≡m 1 oraz nk ≡m 1, to
nN W D(j.k) ≡m 1.
9. Wykazać, że dla m, n ­ 3
Fm |Fn =⇒ m|n.
10. Wykazać, że liczba 21 (377 − 1) jest nieparzysta.
11. Udowodnić, że :
(a) N W D(km, kn) = kN W D(m, n);
(b) N W W (km, kn) = kN W W (m, n).
12. Wykazać, że jeśli (p)4 = 3, to nie ma liczby całkowitej n takiej, że
p|n2 + 1.
13. Znaleźć resztę z dzielenia 380 + 780 przez 100.
14. Wykazać, że 118 + 218 + 318 + 418 + 518 + 618 ≡ −1 (mod 7).
15. Wykazać. że 31|5031 − 2031 − 3031 .
16. Rozwiązać kongruencje:
(a) x2 + x ≡ 0 (mod 2);
(b) x100 ≡ 1 (mod 5);
(c) x100 ≡ 1 (mod 7);
12
(d) x100 ≡ 1 (mod 11);
(e) x5 − 5x3 + 4x ≡ 0 (mod 120);
(f) x5 − 2x3 + 1 ≡ 0 (mod 6);
(g) x17 − x ≡ 0 (mod 17);
13
7
Współczynniki dwumianowe
Współczynniki dwumianowe
1. Obliczyć
!
7
,
2
!
!
6
,
4
!
2
,
3
2. Obliczyć
!
2
,
−2
!
!
n
,
n
dla dowolnego n naturalnego.
−1
,
n
−1
,
3
1
2
2
!
,
!
n
0
3. Wykazać, że dla dowolnego n
(a)
!
!
−4
n+3
= (−1)n
,
n
n
(b)
− 12
n
!
1
= −
4
n
!
2n
.
n
4. Wykazać prawdziwość reguły dodawania wspólczynników dwumianowych
(a) na podstawie definicji,
(b) za pomocą indukcji względem dolnego indeksu. (Wskazówka: skorzystać
z reguły pochłaniania).
5. Wykazać, że dla dowolnych n, m, k będących liczbami naturalnymi takimi,
że k ¬ m ¬ n zachodzi
!
n
m
!
m
n
=
k
k
!
!
n−k
.
m−k
Podać interpretację kombinatoryczną powyższej równości.
6. Wykazać, że dla dowolnych n, m będących liczbami naturalnymi
n
X
k=0
!
!
k
n+1
=
.
m
m+1
Podać interpretację kombinatoryczną powyższej równości. Za pomocą
tej równości wyprowadzić wzór na sumę wszystkich liczb naturalnych
od 1 do n.
14
7. Obliczyć
(a)
X
!
(−1)
k
k­0
n
,
k
(b)
!
X
n k
2 ,
k
k­0
(c)
!
X
n
(m − 1)n−k .
k
k­0
8. Podać interpretację kombinatoryczną tożsamości Cauchy’ego:
X
k
t
k
!
!
!
s
t+s
=
n−k
n
gdzie t, s, k są liczbami naturalnymi. Na podstawie tej tożsamości wykazać,
że
(a)
X
k
l
m+k
!
!
!
l+s
s
=
,
l−m+n
n+k
(b)
!
X n 2
k
k
9. Obliczyć
X
k¬n
(a) jako sumę względem k,
(b) jako sumę względem n.
10. Obliczyć
15
!
!
2n
=
.
n
n k−n
2
k
(a)
!
n
X
n
k
,
k
k=1
(b)
!
X
2n + 1
,
k
k>n
(c)
!
X
n
k!
.
k (n + k + 1)!
k­0
11. Wykazać następujące tożsamości:
(a)
!
n
X
n
= n(n + 1)2n−2 ,
k
k2
k=1
(b)
n
X
!
!
k
(−1)
k=0
k
=
j
n
k
(
0
dla n 6= j
,
(−1)n dla n = j
(c)
!
n
X
(−1)k+1 n
k
k=1
k
=
n
X
1
k=1
k
= Hn ,
(d)
k
X
k
(−1)
i
i=0
!
i
!
!
n
n+i
,
= (−1)k
l−k
l
(e)
(
n
X
k=0
!
!
2n
2n
n 2 X
.
) =
k
k
k=0
16
12. Wykazać, że
n
(x + y) =
X n
k
!
k
xk y n−k .
13. Uzasadnić algebraicznie i kombinatorycznie następujące równości:
(a)
!
!
2n
n
=2
+ n2 ,
n
2
(b)
k
X
n
i=0
!
!
!
n−i
n
= 2k
,
k−i
k
i
(c)
!2
n
X
(2n)!
2n
=
2
2
n
k=0 (k!) ((n − k)!)
.
14. Wykazać, że
(a)
Fn = 2
c
bn
2
X
−n
k=0
!
n+1
· 5k ,
2k + 1
(b)
b n+1
c
2
Fn+1 =
X
k=0
!
n−k+1
.
k
15. W kolejce stoi n osób. Wchodzą one na egzamin w grupach z których
każda składa się przynajmniej z jednej osoby. Na ile sposobów można
utworzyć k takich grup.
16. Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie
x1 + x2 + ... + xk = n?
Ile rozwiazań nieujemnych ma to równanie?
17
17. Ile jest funkcji rosnących odwzorowujących zbiór {1, ...k} w zbiór {1, ..., n}?
Ile jest takich funkcji niemalejących?
18. Ile jest ciągów binarnych, w których wystepuje dokładnie k jedynek i
n zer?
19. Dany jest prostokąt o wymiarach n na k podzielony na n · k równych
kwadratów. Na ile sposobów mozemy przejść z lewego górnego rogu
dużego prostokąta do prawego dolnego rogu przemieszczając się tylko
w dół lub w prawo po bokach małych kwadratów?
20. Ile jest prostokątów w prostokącie o wymiarach n na m podzielonym
na n · m kwadratów jednostkowych?
18
8
Współczynniki wielomianowe
1. Obliczyć
!
4
2 1 1
!
6
3 1 2
;
n
1 1 ... 1 1
;
!
dla dowolnego n ­ 2.
2. Na ile sposobów można podzielić 12 uczniów na 3 równoliczne ponumerowane
grupy?
3. Na ile sposobów można podzielić 6 uczniów na 3 grupy tak, aby w
każdej nastepnej grupie było więcej uczniów niż w poprzedniej?
4. Wykazać, że jeśli k1 + k2 + ... + kr = n, to
(a)
n
... kr
k1 k2
!
=
ki1 ki2
gdzie
1 2 ... r
i1 i2 ... ir
!
n
... kir
,
!
jest dowolną permutacją zbioru r-elementowego. Z powuższego
wzoru wywnioskować regułę symetrii dla współczynników dwumianowych.
(b) jeśli k1 = 0, to
k1 k2
n
... kr
!
=
k2
n
... kr
!
.
5. Za pomocą współczynników wielomianowych wyprowadzić wzór na
(a) (x + y + z)2 ,
(b) (x + y + z)3 .
6. Wyznaczyć
X
k1 ,...kr
k1
n
... kr
!
[k1 + ... + kr = n].
7. Wykazać, że jeśli k1 + ... + kr = n, to
k1 k2
n
... kr
!
=
k1 − 1 k2
19
n−1
...
kr
!
+...+
k1 k2
n−1
...
kr − 1
!
.
9
Liczby Stirlinga II rodzaju
1. Podać wszystkie możliwe podziały zbioru {1, 2, 3, 4, 5} na trzy i na
cztery podzbiory i na tej podstawie obliczyć
(
)
5
3
(
,
5
4
)
.
2. Uzasadnić, że
(a)
(
)
n
0
= [n = 0],
(b)
(
)
n
1
= [n > 0],
(c)
(
n
2
)
= 2n−1 − 1 dla n > 0,
(d)
(
n
n−1
)
!
n
=
,
2
(e)
(
n
n
)
= 1,
(f)
(
n
k
)
= 0 dla k > n.
3. Wykazać, że
(a)
(
n+1
m+1
)
=
X
k­0
20
n
k
!(
k
m
)
,
(b)
(
n
m
)
X
=
n
k
k­0
!(
k+1
m+1
)
(−1)n−k ,
(c)
(
m!
n
m
)
=
X
k­0
!
m n
k (−1)m−k ,
k
(d)
(
n+1
m+1
)
=
n
X
(
k=0
k
m
)
(m + 1)n−k ,
(e)
(
m+n+1
m
)
4. Wyrazić
(a) x4 za pomocą xk , k = 0, ..., 4,
(b) x5 za pomocą xk , k = 0, ..., 5,
21
=
m
X
k=0
(
k
n+k
k
)
.
10
Liczby Stirlinga I rodzaju
1. (a) Podać wszystkie sposoby rozmieszczenia elementów zbioru {1, 2, 3, 4}
w cyklu czteroelementowym.
(b) Wypisać wszystkie sposoby rozmieszczenia elementów zbioru 4elementowego w 3 cyklach rozłącznych oraz elementów zbioru 5elementowego w 4 cyklach rozłącznych.
(c) Na podstawie (a) i (b) podać ile wynosi
"
2. Uzasadnić, że
4
4
n
X
#
"
4
3
,
"
n
k
k=0
#
"
#
5
4
,
.
#
= n!.
3. Wykazać, że
(a)
"
n+1
m+1
#
=
X
"
k­0
n
k
#
!
k
;
m
(b)
"
n
m
#
=
"
X
n+1
k+1
k­0
#
!
k
(−1)m−k ;
m
(c)
"
n+m+1
m
#
=
m
X
"
(n + k)
k=0
22
n+k
k
#
.
11
Zasada włączania i wyłączania
1. Podać wzór Sylwestra dla n = 4.
2. Ile jest liczb naturalnych nie większych od 500 podzielnych przez 2 lub
przez 3 lub przez 5?
3. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 200 i względnie pierwszych z
liczbą 30?
4. W klasie 30-osobowej 20 osób uczy sie języka angielskiego, 15 osób
języka niemieckiego, a 10 osób języka francuskiego. Spośród nich 5 osób
uczy się angielskiego i francuskiego, 6 osób angielskiego i niemieckiego
i 6 osób francuskiego i niemieckiego. Ile osób uczy się wszystkich trzech
jezyków?
5. W klasie 30-osobowej 20 uczniów trenuje koszykówkę, 14 uczniów siatkówkę,
a 10 uczniów piłkę nożną. Jesli żaden z uczniów nie trenuje wszystkich
trzech dyscyplin, ośmioro nie trenuje żadnej dyscypliny sportowej, to
ilu uczniów trenuje równocześnie siatkówkę i piłkę nożną?
6. Ile ciągów o długości n zbudowanych tylko z liczb 0,1,2 zawiera każdą
z tych liczb?
7. Ile jest bijekcji zbioru 5-elementowego? Ile jest nieporządków tego zbioru?
8. Na pięciu wieszakach wisi 5 kapeluszy. Na ile sposobów można je pozamieniać
miejscami tak, aby żaden nie był tam, gdzie wisiał początkowo?
9. Wykazać, że liczba funkcji odwzorowujących zbiór n-elementowy na
zbiór m-elementowy wyraza się wzorem
m
X
!
m−k
(−1)
k=1
m n
k .
k
Wyznaczyć liczbę funkcji odwzorowujacych zbiór 3-elementowy na 2elementowy oraz liczbę funkcji odwzorowujących zbiór 2-elementowy
na 3-elementowy. Ile jest funkcji odwzorowujących zbiór n-elementowy
na zbiór n-elementowy?
10. Pewien człowiek ma 7 znajomych, których lubi zapraszać na kolację.
Na ile sposobów może ich zaprosić, tak aby przez tydzień na każdej
kolacji było dokładnie dwóch gości i aby każdy z jego znajomych był
zaproszony przynajmniej raz?
23
12
Twierdzenie Halla
1. Rozwiązać ”problem małżeństw” dla nastepujacych rodzin zbiorów:
(a) d1
d2
d3
d4
d5
d6
= {1, 2};
= {1, 2, 4};
= {1, 2, 3};
= {1, 3};
= {4, 5, 6};
= {1, 2, 5}.
(b) d1
d2
d3
d4
d5
d6
= {1, 3, 5};
= {1, 3};
= {1, 5};
= {1, 2, 3, 4, 5};
= {3, 5};
= {2, 4, 6, 7}.
24
13
Funkcje tworzące
1. Wykazać, że
(a)
X 1
xn = ln
n­1
1
,
1−x
n
(b)
X (−1)n+1
xn = ln(1 + x),
n­1
n
(c)
X
n­0
!
m+n n
x = (1 − x)−m−1 ,
m
(d)
X 1
n­0 n!
xn = ex .
2. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągów
(a) an = 4n + (−1)n , n ­ 0,
(b) an =
1
,
n!
n ­ 0,
3. Obliczyć
(a)
X Hn
n­0
10n
,
(b)
X 2n
n­0
n!
,
(c)
X
n­0
25
!
100
100n ,
n
(d)
X
n­0
!
15 + n
,
n
(e)
X
(2 · 3n xn−1 + 3 · 2n xn+1 ),
n­1
4. Wykorzystując funkcje tworzące rozwiązać następujęce rekurencje:
(a) g0 = g1 = 1, gn = gn−1 + 2gn−2 + (−1)n , n ­ 2.
(b) g0 = g1 = 0, gn = 3gn−1 + 2n−2 − 1, n ­ 2.
(c) g0 = 1, gn = gn−1 + 2gn−2 + ... + ng0 , n > 0.
5. Dla dowolnego n ∈ N niech cn oznacza liczbę ciągów złożonych z n
liczb ze zbioru {0, 1, 2} nie zawierających dwoch następujących po sobie
jedynek ani dwóch następujących po sobie dwójek.
(a) Uzasadnić, że c0 = 1, c1 = 3, cn = 2cn−1 + cn−2 .
(b) Rozwiązać tę rekurencję za pomocą równania charakterystycznego.
(c) Znaleźć funkcję tworzacą tego ciągu. Rozwiązać tę rekurencję za
jej pomocą.
(d) Wykorzystać funkcję tworzącą tego ciągu do wyrażenia cn za pomocą
współczynników dwumianowych i potęg 2.
6. Niech sn , n ­ 0 oznacza liczbę wszystkich podzbiorów zbioru {1, ..., n}
nie zawierających liczb sąsiednich.
(a) Uzasadnić, że sn wyraża się rekurencją:
s0 = 1, s1 = 2, sn = sn−1 + sn−2 , dla n ­ 2.
(b) Rozwiazać tę rekurencję za pomoca równania charakterystycznego.
(c) Podać funkcję tworzącą ciagu sn i za jej pomocą rozwiazać te
rekurencję.
(d) Wykorzystać funkcję tworzącą do wyrazenia sn za pomocą współczynników
dwumianowych.
26
7. Znaleźć funkcję tworzącą ciągu
an =
!
N
X
k=n
k
.
n
Znaleźć wzór ogólny na an . Na tej podstawie wyprowadzić wzór:
N
X
k=n
!
!
k
N +1
=
.
n
n+1
8. Niech sn dla n ­ 0 będzie liczbą podziałów zbioru n-elementowego na
3 niepuste podzbiory, tzn.
(
sn =
n
3
)
.
(a) Wykazać, że
s0 = 0, s1 = 0, sn = 3sn−1 + 2n−2 − 1 dla n > 1.
(b) Znaleźć funkcję tworzącą tego ciągu i wykorzystać ją do znalezienia
wzoru ogólnego na sn .
27
14
Elementy teorii grafów
1. Dany jest graf:
(a) Czy jest to graf prosty? Jeśli nie, to wskazać pętle i krawędzie
równoległe.
(b) Podać stopnie wierzchołków tego grafu.
(c) Czy jest to graf spójny?
(d) Podać wszystkie drogi od wierzchołka v1 do wierzchołka v8 . Które
z nich są scieżkami?
(e) Czy jest to graf Eulera? Jeśli tak, to skonstruować drogę Eulera.
(f) Czy jest to graf jednobieżny? Jeśli tak, to skonstruować drogę
jednobieżną.
(g) Czy jest to graf hamiltonowski albo półhamiltonowski?
(h) Czy jest to drzewo?
2. Sformułować algorytm Fleurego dla grafów jednobieżnych.
3. Wykazać, ze w każdym grafie prostym istnieją przynajmniej dwa wierzchołki
tego samego stopnia.
4. Znaleźć drogę Eulera w następujacych grafach:
5. Niech G będzie grafem o 2n + 1 wierzchołkach z których każdy ma
stopień n. Wykazać, że G jest grafem Eulera.
6. Narysować graf K5 . Ile ma on krawędzi? Ile wynosi stopień każde wierzcholka
w grafie pełnym Kn Dla jekich n graf Kn jest grafem Eulera, a dla jakich
grafem jednobieżnym? Dla jakich n jest on grafem Hamiltona?
28
7. 5-pokojowy dom ma 16 drzwi. Czy można obejść cały dom i przez
każde drzwi przejść dokładnie raz? Jak zmieni sie odpowiedź, gdy drzwi
miedzy pokojami 1 i 2 będą zamknięte?
29
8. Narysować pełne grafy dwudzielne K2,4 oraz K3,3 . Ile wierzchołków i ile
krawędzi ma graf Kn,m . Ile wynoszą stopnie jego wierzchołków? Kiedy
graf Kn,m jest grafem Eulera, a kiedy jest grafem jednobieżnym? Czy
moze być grafem Hamiltona? Czy może być drzewem?
9. Niech G = (V1 , V2 , E) będzie grafem dwudzielnym. Wykazać, że jesli G
=
=
jest grafem Hamiltona, to V1 =V2 , a jeśli G jest grafem półhamiltonowskim,
=
=
to liczby V1 i V2 róznią sie co najwyżej o 1.
10. NIech G bedzie grafef prostym o 2n + 1 wierzchołkach, z ktorych kazdy
am stopień n.
(a) Wykazać, ze G jest grafem spójnym.
(b) Wykazać, ze G jest grafem Eulera.
11. Pełne drzewo binarne T ma wysokość h.
(a) Wyznaczyć liczbę lisci tego drzewa.
(b) Wyznaczyć liczbę wierzchołków tego drzewa.
12. Znaleźć minimalną i maksymalną wysokość pełnego drzewa binarnego o
n wierzchołkach. Narysować najwyższe i najniższe pełne drzewo binarne
o 9 wierzchołkach.
13. Niech n ­ 2. Ile spośród nn−2 drzew o wierzcholkach zaetykietowanych
liczbami 1, ..., n ma
(a) wierzchołek stopnia n − 1?
(b) wierzcholek stopnia n − 2?
(c) stopień wierzchołka o numerze 1 równy 1?
14. Na rysunku 2.9 przedstawione są wszystkie nieizomorficzne spójne grafy
proste mająje nie wiecej niż 5 wierzchołków. Znajdź na tym rysunku:
(a) wszystkie grafy Eulera
(b) wszystkie grafy jednobieżne
(c) wszyskie grafy hamiltonowskie i półhamiltonowskie
(d) wszystkie grafy pełne
(e) wszystkie grafy dwudzielne
(f) wszystkie drzewa.
30
15. Wykazać, ze każde drzewo jest grafem dwudzielnym. Które drzewa są
pełnymi grafami dwudzielnymi?
16. Wykazać, ze jeśli G jest lasem o n wierzchołkach i k skladowych, to G
ma n − k krawędzi.
17. Podać kody Prufera dla nastepujących drzew:
18. Wyznaczyć drzewa zaetykietowane o kodach Prufera 264541 oraz 123123.
19. W następujacych grafach zaznaczyć wszystkie dendryty:
(a) K5
(b) K3,2
(c)
20. Wykazac, ze w grafie pełnym Kn jest nn−2 dendrytów.
21. Ile dendrytów jest w dwudzielnym grafie pełnym K2,n ?
22. Udowodnić, że liczba drzew zaetykietowanych o n wierzchołkach takich,
ze wierzchołek o numerze 1 ma stopień k wynosi
!
n−2
(n − 1)n−k−1 .
k−1
31
23. Podać macierze incydencji i macierze sąsiedztwa grafów z rysunku 2.9.
24. Dane są macierze





0
2
0
1
2
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0




;





0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1



.

(a) Sprawdzić (bez rysowania), czy macierze te są macierzami sąsiedztwa
grafów spójnych. Czy są to macierze sasiedztwa grafów prostych?
(b) Wyznaczyć stopnie wierzchołków każdego z tych grafów. Wyznaczyć
ich liczbe krawędzi.
(c) Narysować grafy reprezentowane przez powyższe macierze sąsiedztwa.
25. Podać macierz incydencji i sąsiedztwa drzewa o kodzie Prufera 4611.
26. Stosując algorytm Kruskala i algorytm Prima znaleźć dendryt o minimalnej
wadze w następujących grafach z wagami:
27. Za pomocą algorytmu Huffmanna znaleźć optymalne drzewo binarne
dla ciagów
(a) (1,2,4,7,6,1,2,3)
(b) (7,1,4,1,6,6,5)
28. Sprawdzić wzór Eulera dla
(a) grafu K4
(b) grafu K2,7
(c) mapy czworościanu.
29. Które grafy pełne i które dwudzielne grafy pełne są planarne? Czy
drzewa są grafami planarnymi?
30. Wykazać, że jeśli G = (V, E) jest prostym grafem planarnym dwudzielnym
o n ­ 3 wierzchołkach, to liczba jego krawędzi k ¬ 2n − 4. Uzasadnić
na tej podstawie, że grafK3,3 jest nieplanarny.
32
31. Za pomocą twierdzenia Eulera wykazać, że jeśli G jest grafem planarnym
o s składowych, to dla dowolnej planarnej reprezentacji grafu G zachodzi:
m = k − n + s + 1,
gdzie m jest liczbą regionów w tej reprezentacji, k liczba krawędzi grafu
G, a n oznacza liczbę wierzchołków tego grafu.
32. Wykazać, że kazdy planarny graf prosty zawiera wierzchołek stopnia
co najwyżej 5.
33. Wykazać, ze wielomian chromatyczny dowolnego drzewa o n wierzchołkach
ma postać pG (k) = k(k − 1)n−1 .
34. Znaleźć wielomiany chromatyczne wszystkich spójnych grafów prostych
o 4 wierzchołkach.
35. Wyznaczyć wielomian chromatyczny grafu pełnego K7 i dwudzielnego
grafu pełnego K1,7 . Na ile sposobów można te grafy pokolorować ośmioma
kolorami?
36. Podać przykład pokolorowania krawędzi grafów K4 , K5 i K6 . Jakie są
indeksy chromatyczne tych grafów?
37. Podać indeksy chromatyczne nastepujących grafów:
38. Podaj przykład turnieju o 4 wierzchołkach. Ile jest róznych turniejów
o n wierzcholkach? Uzasadnij, że w turnieju nie może istnieć wiecej niz
jedno xródło i wiecej niż jedno ujście.
39. Znaleźć ścieżkę krytyczną w następujacej sieci zdarzeń:
33
40. Niech D będzie digrafem prostym mającym n wierzchołków i m łuków.
(a) Wykazać, że jeśli D jest spójny, to
n − 1 ¬ m ¬ n(n − 1).
(b) Wykazać, że jeśli D jest silnie spójny, to
n ¬ m ¬ n(n − 1).
34