Z czego należy się przygotowywać do 2. kolokwium z Algebry z

Z czego należy się przygotowywać
do 2. kolokwium z Algebry z geometrią analityczną
Numery poniżej to numery zadań z list dr. Skoczylasa, które przerabialiśmy na ćwiczeniach lub list dr Jurlewicz i dr. Skoczylasa, które
można znaleźć pod adresem
http://www.im.pwr.wroc.pl/listyzad/al1.pdf.
(Czasem zdaża się, że zadania na jednej liście nie mają odpowiednika na drugiej
(wtedy jest to wyraźnie zaznaczone)).
Układy równań liniowych:
wzory Cramera: 65 (lub 4.2, 4.3 z list JiS)
eliminacja Gaussa: 66 (lub raczej 4.13, 4.14, 4.15, 4.16 z list JiS – w zadaniach
„stosując metodę kolumn jednostkowych. . . ” nie trzeba koniecznie stosować tego
wariantu eliminacji Gaussa, ważne, żeby używać eliminacji. Eliminacja Gaussa w
tej czy innej formie na pewno pojawi się przynajmniej w części grup na kolokwium,
także warto rozwiązać większą liczbę zadań z tego działu).
68 (lub 4.11 z JiS).
Geometria analityczna w R3 :
Zadań podobnych do 70, 71, 72, 73 nie będzie, ale rzeczy, które robi się w tych
zadaniach, mogą być fragmentem jakiegoś zadania na kolokwium.
pola i objętości: 74, 75 (lub 5.8, 5.11, 5.12 JiS);
równania płaszczyzn i prostych: 76, 77, 78, 79 (lub 5.13, 5.14 JiS – zadania 77 i 79
nie mają tam swoich odpowiedników, ale to bardzo sensowne zadania, zwłaszcza
77b) i 79a));
punkty przecięcia, odległości, kąty między płaszczyznami i prostymi: 80, 81, 83
(lub 5.16, 5.17, 5.18 JiS)
W zadaniach na odległość płaszczyzn równoległych oraz odległość punktu od
płaszczyzny można korzystać ze wzorów na odległość płaszczyzn równoległych
πi : Ax + By + Cz + Di = 0,
|D1 − D2 |
d(π1 , π2 ) = √ 2
A + B2 + C 2
oraz odległość punktu P = (x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0:
d(P, π) =
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
Jeśli obliczamy odległość punktu od prostej lub prostych równoległych, sprowadza się to do znalezienia płaszczyzny prostopadłej do tych prostych (tej prostej
– w tym (odległości punktu od prostej) przypadku płaszczyzna musi przechodzić
przez punkt, od którego odległości szukamy, w przypadku odległości między dwiema prostymi może to być dowolna płaszczyzna), znalezienia punktów przecięcia
płaszczyzny z prostymi i obliczenia odległości pomiędzy tymi dwoma punktami
przecięcia.
Obliczanie odległości między prostymi skośnymi składa się z trzech etapów:
1. znalezienia wektora prostopadłego do obu prostych (z iloczynu wektorowego);
2. znalezienia płaszczyzn prostopadłych do tego wektora, zawierających to proste;
3. obliczenia (ze wzoru powyżej) odległości pomiędzy płaszczyznami.
Obliczanie kątów pomiędzy prostymi i płaszczyznami to to samo, co obliczanie
kątów między ich wektorami kierunkowymi lub normalnymi z odpowiednich iloczynów (w przypadku kąta między prostą i płaszczyzną dostanie się dopełnienie
kąta do π2 ).
Liczby zespolone:
Na kolokwium mogą pojawić się wyłącznie zadania z postaci algebraicznej: 85
(lub 1.3 z JiS), 86 (lub 1.4 z JiS), 89 (lub 1.8 z JiS).
W zadaniach 85, 86 całe zadanie sprowadza się do zapisania z w postaci z =
x+iy, gdzie x i y są rzeczywiste. Po takim podstawieniu należy przekształcić lewą
i prawą stronę tak, żeby każda z nich była postaci a + ib i następnie rozwiązać
układ równań na część rzeczywistą i część urojoną (w przypadku zadania 85 –
w przypadku zadania 86 bierzemy pod uwagę wyłącznie część rzeczywistą lub
urojoną).
Miłej nauki!