Wieloskale-opracowan..

Komentarze

Transkrypt

Wieloskale-opracowan..
/******************************************************************************
* "THE BEER-WARE LICENSE":
* Autors (alphabetical): Pastucha Konrad<​
[email protected]
>,
* Reut Michał<​
[email protected]
>, Rogowski Piotr<​
[email protected]
>
* As long as you retain this notice you can do whatever you want
* with this stuff. If we meet some day, and you think
* this stuff is worth it, you can buy us a beer.
******************************************************************************/
Opracowanie Wieloskale - egzamin
Wykład 1 Program MES Wykład 2 Metoda Elementów Skończonych (MES) Metoda Różnic Skończonych (MRS) Metoda Elementów a Różnic Skończonych Metoda Elementów Brzegowych (MEB) PURC ­ parametryczny układ równań całkowych Metoda Objetości Skończonych (MOS) Wykład 3 Ograniczenia metod siatkowych Metody bezsiatkowe Metody SPH ­ Smoothed Particle Hydrodynamics Wykład 4 Krzywe umocnienia Umocnienie Zdrowienie Rekrystalizacja dynamiczna Podejście konwencjonalne Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Metoda zmiennych wewnętrznych Wykład 5 Automaty komórkowe ­ podstawy Sąsiedztwo 1D Sąsiedztwo 2D Sąsiedztwo 3D Warunki brzegowe Klasyfikacja automatów według Wolframa Rodzaje automatów Wykład 6 Atraktor Gra w życie Gra w życie ­ modyfikacje 1 Sąsiedztwo Morgolusa ­ automaty blokowe Wykład 7 Wykład 8 Metoda CAFE * Tworzenie modelu CAFE Problem wielu przestrzeni CA w modelu CAFE Problem przebudowy siatki MES w modelach typu CAFE Wykład 9 Monte Carlo Algorytm Obliczanie liczby π Obliczanie całki Model Potts (q­Potts) Algorytm Metropolis Wykład10 Dodatkowe zagadnienia (wybrane pytania z poprzednich lat) Upscaling Concurrent Czy siatka zawsze musi być kwadratowa? Model reologiczny, rodzaje modeli reologicznych Sąsiedztwo przy strukturze nieregularnej Wykład 1
Program MES
●
●
●
preprocesor ○ wczytanie geometrii ○ dyskretyzacja problemu ○ złożenie procesu ○ nałożenie warunków brzegowych obliczenia postprocesor ○ analiza wyników 2 MES: ​
M​
acica ​
E​
lementów ​
S​
kończonych Wykład 2
Metoda Elementów Skończonych (MES)
Jest to zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. ​
dyskretyzacja​
) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału. Etapy analizy MES: 1. zdefiniowanie analizowanego problemu fizycznego 2. dyskretyzacja regionu rozwiązania skończoną liczbą elementów 3. wprowadzenie równań dla typowego elementu 4. złożenie elementów w region rozwiązania 5. rozwiązanie uzyskanego układu równań Definicje: ● element skończony ­ prosta figura geometryczna (1d,2d,3d) dla której określone zostały węzły oraz pewne funkcje kształtu, służace do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na bokach ● węzły ­ zlokalizowane zazwyczaj w wierzchołkach elementu, w bardziej skomplikowanych przypadkach mogą być umieszczone również na jego bokach i w jego wnetrzu ● funkcje kształtu ­ tak zbudowane aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły 1, w pozostałych węzłach 0 Dyskretyzacja MES dla dowolnego elementu: Metoda Różnic Skończonych (MRS)
W metodzie różnic skończonych pochodna funkcji jest zapisana w formie ilorazu różnicowego. Wiki: metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. 3 Metoda Elementów a Różnic Skończonych
W przypadku 1D rozwiązania są identyczne dla obu metod. różnice pojawiają się w przypadku równań różniczkowych wyższego rzędu lub funkcji wielu zmiennych. Metoda Elementów Brzegowych (MEB)
Numeryczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Jej ideą jest sprowadzenie danego zagadnienia brzegowego do równoważnego równania całkowego, które jest określone na brzegu danego obszaru, co jest równoważne ze zmniejszeniem rozmiaru problemu. Wiki: Metoda elementów brzegowych wykorzystuje rozwiązanie fundamentalne równania różniczkowego. Aproksymacja następuje tylko na brzegu obszaru. Otrzymuje się brzegowe równanie całkowe. Rozwiązanie daje rozkład funkcji lub jej pochodnej na brzegu obszaru. PURC - parametryczny układ równań całkowych
Równanie całkowe w bardzo wielu przypadkach wymaga dyskretyzacji tylko brzegu, dzieki czemu wymiar zadanego problemu maleje, a zarazem otrzymywane wyniki są dokładniejsze niż 4 w momencie, kiedy musimy zbudować siatke całego ciała. Zaleta ta jest najbardziej widoczna w dużych zadaniach inżynierskich, ponieważ znaczne zmniejszenie ilości wezłów i elementów znacznie skraca zarówno czas obliczeń jak i przede wszystkim czas potrzebny na zbudowanie siatki. Metoda Objetości Skończonych (MOS)
Zalożeniem jest osłabienie warunków opisanych rozwiązaniem różniczkowym. Osłabiona jest część zwiazana ze spełnieniem warunku w dowolnym punkcie obszaru. W MOS wymagane jest spełnienie warunku w sposób całkowy w małym obszarze skończonym. Inaczej1​
: Metoda została zbudowana na zasadzie osłabienia warunków opisanych rozwiązywanym równaniem różniczkowym. Zamiast spełnienia warunku w dowolnym punkcie obszaru wymagamy, aby został on spełniony w sposób całkowy w małym obszarze kontrolnym. Inaczej2:​
MOS polega na podziale analizowanego obszaru na małe elementy kontrolne i przeprowadzenia po nich całkowania. Kształt elementu kontrolnego może być dowolny, co jest jedną z przyczyn dużej popularności tej metody. Wykład 3
Ograniczenia metod siatkowych
●
●
●
generowanie siatki wymagana przebudowa siatki trudne symulacje hydrodynamiczne (wybuchy, jebnięcia, niejednorodności, poruszające się połączenia materialów, itd) Metody bezsiatkowe
●
Używają do reprezentacji problemu zbioru węzłów rozproszonych w dziedzinie i na 5 ●
●
●
●
granicach problemu. Dziedzina problemowa jest dyskretna ­ prostsze traktowanie dużych odkształceń Dyskretyzacja złożonych geometrii jest prostsza (nie trzeba przebudowywać siatki) Zagęszczenie cząstek jest dużo szybsze niż zagęszczenie siatki Uzyskanie cech całego systemu fizycznego jest prostsze poprzez śledzenie ruchu cząstek. Dlatego ułatwiona jest identyfikacja wolnych powierzchni, poruszających się połączeń i zniekształconych granic. Metody SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics
Stan systemu jest reprezentowany poprzez zbiór cząstek które posiadają indywidualne własności materiałowe i poruszają się zgodnie z równaniami zasad zachowania. Używane do symulacji płynów. Funkcja kształtu zazwyczaj reprezentuje funkcja wygładzania W (ang. ​
kernel function​
, smoothing kernel​
) κ ­ długość wygładzania 6 Wykład 4
Krzywe umocnienia
Umocnienie
wzrost gęstości dyslokacji. Przeszkodami w ruchu dyslokacji są granice ziaren oraz inne dyslokacje. Właśnie to oddziaływanie przemieszczających się podczas odkształcania dyslokacji prowadzi do szybkiego wzrostu gęstości dyslokacji. Zdrowienie
spadek gęstości dyslokacji w wyniku ich anihilacji. W początkowym okresie zdrowienia struktury, dyslokacje z wnętrza komórki są przyciągane do ich ścianek, gdzie następuje anihilacja dyslokacji przeciwnych znaków, pozostałe dyslokacje tworzą siatkę oddzielającą wielościenne podziarna. Wzrost ziaren powoduje rozpoczęcie rekrystalizacji. Rekrystalizacja dynamiczna
pojawia się po przekroczeniu pewnej krytycznej wartości gęstości dyslokacji ρ​
c Proces ten składa się z dwóch etapów: ● tworzenie (zarodkowanie) ziaren ● wzrost ziaren Podejście konwencjonalne
Naprężenie uplastyczniające jest funkcją odkształcenia Ɛ​
oraz parametrów procesu (np. i​
temperatury i prędkości odkształcenia) zebranych w wektorze p. Zalety:​
stosunkowo prosta postać funkcji opisujących naprężenie uplastyczniające. Wady:​
brak uwzględniania wpływu historii odkształcenia. Zmiana warunków odkształcenia powoduje przejście układu na nowe równanie stanu. Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco
Metoda zmiennych wewnętrznych
Naprężenie uplastyczniające jest funkcją czasu ​
t​
, zmiennych wewnętrznych zebranych w wektorze ​
q​
oraz parametrów procesu (temperatura, prędkość odkształcenia) zebranych w wektorze ​
p​
. W przypadku materiałów metalicznych najczęściej stosuje się średnią wartość gęstości dyslokacji ρ. Zalety:​
możliwość uwzględnienia wpływu historii odkształcenia 7 Wady:​
skomplikowane funkcje opisujące naprężeni, wydłuża obliczenia MES Wykład 5
Automaty komórkowe - podstawy
Idea automatów komórkowych polega na zastąpieniu zbioru skomplikowanych równań opisujących zachowanie się wielu układów fizycznych, przestrzenią komórek opisujących dany układ z jednoznacznie określonymi regułami interakcji między nimi. 1. Przestrzeń automatów ­ skończony zbiór komórek, w którym każda komórka opisana jest zestawem zmiennych określających jej stan. Przestrzeń zawiera m.in.: wymiar sieci, ilość stanów pojedyńczej komórki. 2. Otoczenie ­ uniwersalne dla wszystkich komórek, określa najbliższych sąsiadów danej komórki. Otoczenie może być rozpatrywane w przestrzeni 1D, 2D oraz 3D. Otoczenie zawiera m.in.: promień otoczenia, rodzaj sąsiedztwa. 3. Reguły przejścia ­ ƒ, ściśle określają zmianę stanu komórki w czasie ​
t+1 ​
w zależności od stanów najbliższych sąsiadów oraz jej samej w czasie ​
t​
. Podstawowymi zaletami takiego podejścia jest założenie skończonych rozmiarów siatki komórek, których stany zmieniają się synchronicznie w dyskretnie zdefiniowanym kroku czasowym. Sąsiedztwo 1D
Automaty definiowane są jako kolonia w kształcie linii prostej, ułożone są jeden obok drugiego,a każda komórka posiada dwóch sąsiadów. Jest to grupa automatów deterministycznych o dwóch dostępnych stanach komórki (k=2). W notacji CA automaty te oznacza się jako (2,1). Jest to najprostrza forma automatu komórkowego nazywana przez S. Wolframa AUTOMATAMI ELEMENTARNYMI. Przy istnieniu tylko dwóch sąsiadów, z których każdy może przyjmować dwa różne stany istnieje 256 reguł przejścia dla takich automatów. Sąsiedztwo 2D
W tym przypadku kształ przestrzeni CA określony jest poprzez kształt pojedyńczej komórki automatu. Zazwyczaj przyjmuje się kształt kwadratu, w konsekwencji czego kształt siatki jest prostokątem. Definiowanie sąsiedztwa w w tym przypadku jest jedną z kluczowych spraw na 8 uzyskiwane obliczenia. Wyróżniamy otoczenia: 1. Moore’a 2. Von Neumann’a 3. Pentagonalne 4. Heksagonalne Sąsiedztwo 3D
Pojedyńcza komórka otoczona jest przez 26 sąsiadów. 9 Warunki brzegowe
1. Zamknięte pochłaniające ­ siatka zdefiniowana w taki sposób, że brzegi siatki wypełnione są z góry ustaloną wartością, która poprzez funkcje przejścia ustala wpływ na zachowanie automatu, np. umieranie komórek po przekroczeniu krawędzi siatki, przestaje ona istnieć. 2. Zamknięte odbijające ­ warunki brzegowe na krawędzi siatki tworzą barierę (stan przeciwny do danego), od której funkcje przejścia się odbijają wnosząc ponownie swój wkład do zmieniających się stanów komórek w przestrzeni CA. 3. Periodyczny ­ definiuje siatkę komórek w taki sposób, że każda komórka, która znajduje się na krawędzi siatki ma za sąsiada komórkę po przeciwnej stronie siatki. Zapewniają ciągłość przestrzeni. Klasyfikacja automatów według Wolframa
1. Klasa 1 ­ automat komórkowy ewoluuje do stanu jednorodnego, osiągając punkty graniczne, w których stan wszystkich komórek jest taki sam i nie zmienia się w przestrzeni czasu. 2. Klasa 2 ­ automat komórkowy dąży do prostych struktur periodycznych. 3. Klasa 3 ­ automat komórkowy na drodze ewolucji w przestrzeni czasu osiąga stan zachowań chaotyczych, tworząc skomplikowane wzory. Klasa ta jest bardzo wrażliwa na wszelkie zakłócenia czy też zmiany warunków otoczenia. 10 4. Klasa 4 ­ automat komórkowy na drodze ewolucji w przestrzeni czasu osiąga stan trwałych konfiguracji o długich czasach życia. Rodzaje automatów
1. Deterministyczne ­ stan komórki w czasie ​
t+1​
zależy od stanu komórek sąsiednich i jej samej w czasie ​
t. 2. Probabilistyczne ­ zmiana komórek stanu w oparciu o regułę przejścia zawiera elementy probabilistyczne . 3. Totalistyczne ­ jeżeli reguła zmiany stanu zależy od stanu samej komórki i sumy stanów komórek w sąsiedztwie (automaty głosujące, zliczające). 4. Totalistyczne zewnętrznie ­ jeżeli jego reguła zmiany stanu zależy wyłącznie od sumy stanów komórek w sąsiedztwie. Wykład 6
Atraktor
W analizie układów dynamicznych: zbiór w przestrzeni fazowej, do którego w miarę upływu czasu zmierzają trajektorie rozpoczynające się w różnych obszarach przestrzeni. 11 Gra w życie
Wymiar przestrzeni 2D, sąsiedztwo Moore’a, ilość stanów komórki 2 ­ “żywa” i “martwa”. 1. Każda komórka martwa (stan 0), posiadająca trzech żywych sąsiadów (stan 1), rodzi się (zmienia swój stan z 0 na 1). 2. Każda żywa komórka posiadająca dwóch lub trzech żywych sąsiadów (stan 1), pozostaje żywa (utrzymuje stan 1). 3. Każda żywa komórka posiadająca więcej niż trzech sąsiadów umiera z “natłoku” oraz każda żywa komórka posiadająca mniej niż dwóch sąsiadów również umiera z “samotności”. Wyróżniamy: 1. struktury niezmienne ­ stabilne lub statyczne, pozostają identyczne bez względu na krok czasowy. 2. oscylatory ­ zmieniają się okresowo, co pewien czas powracają do swojego stanu pierwotnego. 3. struktury niestałe ­ zmieniają się, nie powracając nigdy do swojego stanu pierwotnego. 4. struktury typu działo ­ wryrzuca z siebie jeden układ komórek, np. Glider, który odłącza się i egzystuje samodzielnie. Gra w życie - modyfikacje
1. Immigration: a. komórka posiada 3 stany ­ żywa czerwona, żywa zielona , martwa. b. definiując warunki początkowe każdej z komórek przypisuje się jeden kolor. c. na każdy z kolorów powinna być zabarwiona przynajmniej jedna komórka, w przeciwnym razie uzyskamy zwykła grę w życie d. nowo powstające komórki przyjmują taki kolor, jaki ma większość z ich 3 żywych sąsiadów. e. kolory komórek nie zmieniają się w trakcie gry. 12 2. Darwina: a. komórka pozostaje żywa max. przez 50 cykli, potem zmienia stan na martwą b. pozostałe reguły bez zmian c. każda symulacja kończy się śmiercią 3. Gra Fredkina 1357/1357: a. wymiar przestrzeni 2D, sąsiedztwo Moore’a, ilość stanów komórek 2 ­ “żywa” i “martwa” b. jeżeli liczba komórek żywych w sąsiedztwie rozpatrywanej komórki (martwej w poprzednim kroku czasowym) jest nieparzysta, komórka staje się żywa, w przeciwnym razie martwa. 4. Mrówka Langtona: a. wymiar przestrzeni 2D, sąsiedztwo Moore’a, ilość stanów komórek 2 ­ “biały i “czarny” b. jeżeli mrówka jest na czarnym polu, obraca się w prawo o 90 stopni i przechodzi do sąsiedniej komórki c. jeśli mrówka jest na białym polu, obraca się w lewo o 90 stopni i przechodzi w do sąsiedniej komórki d. opuszczając komórkę mrówka zmienia jej kolor. e. w kroku czasowym modyfikowana jest jedna komórka f. bierzące położenie mrówki jest przechowywane pomiędzy krokami czasowymi. 5. Pożar lasu: a. wymiar przestrzeni 2D, sąsiedztwo Moore’a, ilość stanów komórek 3 ­ “drzewo”, “płonące drzewo” lub “spalone drzewo” b. drzewo ­ przechodzi płonące drzewo z proawdopodobieństwa p jeżeli za sąsiada ma płonące drzewo c. płonące drzewo ­ przechodzi w spalone drzewo d. spalone drzewo ­ pozostaje spalone e. dodatki: samozapłon drzewa i odraśnięcie drzewa. Sąsiedztwo Morgolusa - automaty blokowe
1. Stosuje się w automatach do symulacji spadającego piasku, czy też interakcji cząsteczek gazu 2. Reguły przejścia opierają się na kwadratowych blokach tworzonych przez cztery sąsiadujące komórki. 3. Stany tych sąsiednich komórek zmieniają się jednocześnie, przy czym komórki przyjmują wartości binarne 1 i 0. 4. W kolejnym kroku reguły są obliczane podobnie, tylko że zmieniają się grupy komórek. 5. Bloki tworzące te grupy przesuwają się o jeden w prawo i w dół. Wykład 7
Naiwny rozrost ziaren 1. Zarodkowanie ­ losowy wybór komórek i zmiana stanu na komórka, przypisanie wartości zmiennym wewnetrznym: numer ziarna, orientacja krystalograficzna. 13 2. Rozrost ­ jeśli sąsiad danej komórki w poprzednim kroku był w stanie ziarno to komórka również zmienia stan na “ziarno”. Zmienne wewnetrzne przejmuje takie jakie posiada większość sąsiadów . W przypadku takiej samej liczby sąsiadów wprowadza się losowośc wyboru. Rekrystalizacja 1. Generacja pierwotnej struktury­ bazując na rzeczywistym zdjeciu zgładu lub bazując na mikrostrukturze uzyskanej przy wykorzystaniu metody wielloboków Vornoi 2. Działo dyslokacji ­ bazuje na analitycznym rozwiązaniu równania podstawowego modelu zmiennych wewnętrznych opisującego procesy umocnienia i zdrowienia:
Parametry materiałowe występujące w równaniach są zindentyfikowane pzry pomocy metody optymalizacji simplex. 3. W każdym kroku czasowym obliczona pula dyslokacji jest wprowadzana do przestrzeni CA. Parametrem kontrolującym ten pseudolosowy proces jest ściśle ustalony rozmiar paczki która może trafic do danej komórki.
4. W każdym kroku czasowym odbywa sie proces migracji dyslokacji pomiędzy sąsiadami należącymi do tego samego ziarna. Ponieważ granice ziaren są to defekty struktury krystalicznej na których nastepuje gwałtowny wzrost gęstości dyslokacji w trakcie odkształcenia. Każda komurka kontroluje ile dyslokacji może oddac i przyjać. a. przekazywanie: b. przyjmowanie: 5. Reguły przejscia: 14 a. gdy w poprzednim kroku czasowym t­1 któryś z sąsiadów komórki (i,j ) rekrystalizował & gestośc dyslokacji u sąsiadów ​
mniejsza​
niż w komórce (i,j) to ta komórka rekrystalizuje. jej gęstość dyslokacji ustawiana jewst na poziom odniesienia. b. gdy w komórce (i,j) przekroczona jest wartość krytycznawartości gęstości dyslokacji & komórka znajduje się przy granicy ziarna to komórka staje się zarodkiem rekrystalizacji, gęstość dyslokacji spada do poziomu odniesienia
Wykład 8
Metoda CAFE
Metoda powstała w wyniku połączenia dwóch technik obliczeniowych: Metody CA oraz FE. Tworzenie modelu CAFE
1.
2.
3.
4.
5.
Zefiniowanie przestrzeni automatów komórkowych ­ modelowany obszar materiału Określenie sąsiedztwa ­ sąsiadów z którymi graniczy każda komórka Zdefiniowanie zmiennych wewnętrznych, które opisują komórkę Stworzenie bazy wiedzy ­ zdefiniowanie reguł przejścia Połączenie przestrzeni automatów komórkowych z elementami skończonymi Problem wielu przestrzeni CA w modelu CAFE
Chodzi o ziarnistość siatki, przekształca się to za pomocą funkcji mapującej. Problem przebudowy siatki MES w modelach typu CAFE
Liczba pinków CA pozostaje stała w trakcie symulacji. Liczba punktów po remeshingu ulega zmianie. Wymiana informacji pomiędzy punktami FE i CA następuje z wykorzystaniem metody ​
SPH Wykład 9
15 Monte Carlo
losowe próbkowanie przestrzeni rozwiązań mające na celu rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia. Algorytm
1.
2.
3.
4.
Definicja przestrzeni możliwych danych wejściowych Losowe określanie danych wejściowych z wcześniej określonych Przeprowadzenie obliczeń o charakterze propabilistycznym Przeprowadzenie agregacji uzyskanych winików w jedno rozwiązanie końcowe Obliczanie liczby π
Obliczanie całki
Model Potts (q-Potts)
Wykorzystywany do symulacji zbiorowego zachowania się struktur komórkowych. Obliczenia prowadzone są w zdefiniowanej przestrzeni o regularnym charakterze komórkowym 16 w kórej każdy element S​
może przyjmować pewną liczbę stanów q. i​
Każdy element S​
posiada określoną liczbę sąsiadów S​
,j=1,n i​
j​
Hamiltonian takiego układu: Ewolucja tak zdefiniowanego układu odbywa się z wykorzystaniem np. algorytmu Metropolis. Algorytm Metropolis
1. Wybór elementu S​
oraz określenie charakteru zmiany jego stanu q (np. zmiana i​
przynależności do ziarna) 2. Określenie wartości Hamiltonianu lub energii które sa wykorzystywane do zaakceptowania proponowanej zmiany lub też jej odrzuceniu 3. Inne akcje nie wymienione w krokach 1 i 2... W takim ujęciu algorytm q­Potts posiada wiele cech wspólnych z metodą automatów komórkowych. Podstawową wadą Monte Carlo jest bardzo długi czas obliczeń. Jest to spowodowane propabilistycznym charakterem modelu. Większość zmian zwiększa energię i nie jest akceptowana. Problem rośnie w przypadku symulacji 3D, liczba ziaren lub liczba możliwych rotacji q Wykład10
“Jest jakiś chujowy, pierdole” ­ Michu Dodatkowe zagadnienia (wybrane pytania z poprzednich lat)
Ta część jest wykonana na podstawie odpowiedzi z forum na co ciekawsze pytania. Upscaling
Upscaling, gdy model konstytutywny w wyższej skali jest konstruowany na podstawie wyników symulacji z niższej skali. (Do każdego punktu MES jest podpięty automat komórkowy.) 17 Concurrent
Concurrent, gdy problem jest rozwiązywany w wielu skalach równolegle, a wyniki w poszczególnych skalach są między sobą wymieniane w trakcie wykonywania symulacji. (Obszar materiału dyskretyzowany jest różnymi metodami.) Czy siatka zawsze musi być kwadratowa?
Nie. Model reologiczny, rodzaje modeli reologicznych
Model Reologiczny ­ nasuwa informacje z jakim materiałem mamy do czynienia. Ściśle dotyczy 18 materiału. Jest elementem modelu konstytutywnego Model Konstytutywny ­ podobny dla każdego materiału Sąsiedztwo przy strukturze nieregularnej
19 

Podobne dokumenty