Analiza matematyczna I

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ANALIZA MATEMATYCZNA I
Rok studiów:
Semestr:
I
2
ECTS: 12
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
60
60
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Wstęp do logiki i teorii mnogości. Algebra liniowa z geometrią analityczną. Wstęp do analizy
matematycznej
Założenia i cele przedmiotu:
zapoznanie studentów z podstawowymi zagadnieniami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji
jednej zmiennej, analiza matematyczna jest podstawowym przedmiotem na kierunku MATEMATYKA
i dlatego z analizy matematycznej korzystają prawie wszystkie przedmioty na tym kierunku.
Metody dydaktyczne:
wykład – wykład prowadzony tradycyjnie (tablica-kreda),
ćwiczenia – rozwiązywanie zadań, kolokwia i kartkówki
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
zaliczenie ćwiczeń, egzamin pisemny i ustny.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Elementy analizy funkcjonalnej.
n
Przestrzeń R , przestrzeń unormowana, iloczyn kartezjański przestrzeni unormowanych,
przykłady, metryka przestrzeni unormowanej, ciąg w przestrzeni unormowanej, przestrzeń
zupełna, przestrzeń Banacha, dwupunktowe i jednopunktowe uzwarcenie R, przestrzeń unitarna,
przestrzeń Hilberta, nierówność Schwarza, nierówność Minkowskiego, przestrzenie funkcyjne,
przestrzenie ciągów, zbieżność punktowa i jednostajna, odwzorowania liniowe, warunki
równoważne, przestrzeń odwzorowań liniowych, odwzorowania wieloliniowe, norma
k
odwzorowania, równoważność norm, przestrzeń L (X;Y), izomorfizmy, izometria, przestrzeń
izomorficzna z przestrzenią Banacha, izometria kanoniczna, stożek styczny.
2. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych, twierdzenie o zbieżności, kryterium Dirichleta,
szeregi bezwzględnie zbieżne, szeregi funkcyjne.
n
m
3. Ciągłość odwzorowań z R do R .
4. Funkcje zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.
Ciągłość, odwracalność, granice specjalne, pochodne, pochodne rzędów wyższych, twierdzenie
Rolle’a, twierdzenie Lagrange’a, twierdzenie Cauchy’ego, reguła de l’Hospitala, twierdzenie
Taylora, ekstrema, punkty przegięcia, wypukłość, asymptoty.
5. Całka nieoznaczona.
Wzory na całkowanie, twierdzenie o całkowaniu przez części, twierdzenie o całkowaniu przez
podstawianie, twierdzenie o całkowaniu przez zmianę zmiennych, ułamki proste i ich całkowa-
nie, całkowanie funkcji wymiernych, całkowanie funkcji niewymiernych, metoda współczynnika
nieoznaczonego, całkowanie funkcji trygonometrycznych.
6. Różniczkowanie.
Funkcja wektorowa argumentu skalarnego, pochodna funkcji wektorowej, reguły różniczkowania,
uogólnienie twierdzenia Lagrange’a i twierdzenia Cauchy’ego na przypadek funkcji wektorowej,
pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, twierdzenie o przyrostach, pochodne cząstkowe
wyższych rzędów, pochodna odwzorowania z przestrzeni Banacha do przestrzeni Banacha,
n
m
pochodna odwzorowania liniowego, stałego, różniczkowalność odwzorowań z R do R ,
twierdzenia o różniczkowaniu, macierz Jacobiego, związek pochodnych cząstkowych z pochodną.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Elementy analizy funkcjonalnej.
Własności modułu, metryki, wyznaczanie kul otwartych, domkniętych, sprawdzanie czy dana
przestrzeń jest unormowana, badanie zbieżności ciągów w przestrzeni unormowanej,
sprawdzanie zupełności przestrzeni unormowanej, badanie zbieżności ciągów w uzwarceniu R,
iloczyn skalarny, sprawdzanie czy zadana norma pochodzi od iloczynu skalarnego, badanie
zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów w przestrzeniach funkcyjnych, przestrzenie l p,
sprawdzanie czy dane odwzorowanie jest liniowe, badanie ciągłości, wyznaczanie normy
odwzorowania liniowego, przestrzeń odwzorowań liniowych jako przestrzeń unormowana,
sprawdzanie czy dane odwzorowanie jest wieloliniowe, badanie ciągłości, wyznaczanie normy
odwzorowania wieloliniowego, przestrzeń odwzorowań wieloliniowych jako przestrzeń
k
unormowana, przestrzeń L (X;Y), sprawdzanie czy dane odwzorowanie jest izomorfizmem,
izometrią.
2. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych.
Badanie zbieżności szeregów przy pomocy twierdzenia o zbieżności, wykorzystanie kryterium
Dirichleta, Abela, Weierstrassa, sprawdzanie zbieżności bezwzględnej szeregów, badanie
szeregów funkcyjnych, wykorzystanie twierdzenia o sumie szeregu zbieżnego jednostajnie.
n
m
3. Ciągłość odwzorowań z R do R .
Badanie ciągłości funkcji wektorowej argumentu skalarnego, zestawienia odwzorowań, funkcji
wielu zmiennych, wyznaczanie granic podwójnych, iterowanych.
4. Uzupełnienie teorii funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.
Badanie ciągłości funkcji, odwracalności, wyznaczanie granic przy pomocy granic specjalnych,
obliczanie pochodnych, wykorzystanie pochodnej logarytmicznej, zastosowanie wzoru Peano,
wyznaczanie pochodnych rzędów wyższych, zastosowanie twierdzeń Rolle’a, Lagrange’a,
Cauchy’ego, de l’Hospitala, Taylora, badanie przebiegu zmienności funkcji.
5. Całka nieoznaczona.
Wykorzystanie twierdzeń o całkowaniu przez części, o całkowaniu przez podstawianie, o całkowaniu przez zmianę zmiennych, całkowanie przez rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste,
całkowanie funkcji niewymiernych, zastosowanie podstawień Eulera, wykorzystanie metody
współczynnika nieoznaczonego, całkowanie funkcji trygonometrycznych.
6. Różniczkowanie.
Pochodna funkcji wektorowej, zastosowanie reguł różniczkowania, zastosowanie uogólnień
twierdzeń Lagrange’a i Cauchy’ego, wyznaczanie pochodnej kierunkowej, pochodnych cząstkowych, wykorzystanie twierdzenia o przyrostach, obliczanie pochodnych cząstkowych wyższych
rzędów, wyznaczanie pochodnej odwzorowania z przestrzeni Banacha do przestrzeni Banacha,
pochodnych cząstkowych funkcji określonej na iloczynie kartezjańskim przestrzeni Banacha,
wykorzystanie związku pochodnej z pochodnymi cząstkowymi, wyznaczanie macierzy Jacobiego,
obliczanie jakobianu.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983.
[2] T. Krasiński, Analiza matematyczna, funkcje jednej zmiennej, wyd. Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź
2001.
[3] R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2001.
[4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna. Podstawy, wyd. UJ, Kraków 1998
[5] J. Bochenek, T. Winiarska, Matematyka i i II, wyd. PK, Kraków 1993
[6] J. Banaś, S. Wędrychowicz , Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1997 .
[7] W. J. Kaczor, M.T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz1,2,3, PWN, Warszawa 2005
[8] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, PWN, Warszawa
1983.
[9] B. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York And London 1960.
[2] G. E. Sziłow, Matematiczeskij analiz, Moskwa 1968.
[3] H. Cartan, Calcul differentiel, formes differentielles, Paris 1967
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK
Zatwierdził: dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK