Teoria zbiorów II - Maciej Bendkowski

Metody Formalne Informatyki: Zestaw 5
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
26 października 2016
Teoria zbiorów II
Zadanie 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Pokaż, że jeżeli spełniony jest warunek
∀x∈X ∀y∈X ∃z∈X z ∩ X = {x, y},
to zbiór X ma nieskończenie wiele elementów.
Zadanie 2. Niech R ⊆ A × B. Niech
R =
n[
o
r: r ∈ R ,
(i) Czy
S
R =
(ii) Czy
T
◦R = {a : ∃b (a, b) ∈ R}?
SS
◦R =
n\
o
r: r ∈ R .
R?
Zadanie 3. (?) Dla dowolnego zbioru A oznaczmy przez P2 (A) rodzinę wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru A. Niech {X, Y } będzie podziałem zbioru P2 (N). Pokaż,
że istnieje taki nieskończony zbiór A, że P2 (A) ⊆ X lub P2 (A) ⊆ Y .
Zadanie 4. Pokaż, że dla dowolnej rodziny zbiorów {An }n∈N istnieje rodzina parami
S
rozłącznych zbiorów {Bn }n∈N taka, że Bn ⊆ An dla każdego n ∈ N oraz n∈N An =
S
n∈N Bn .
Zadanie 5. Wykaż, że dla dowolnej pary p zbiór
\\
(P(p) \ P(∅))
jest pusty, gdy współrzędne par są różne, a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary p.
Zadanie 6. Pokaż, że dla każdej pary p = (a, b)
(i) można otrzymać a posługując się jedynie
T
oraz p,
(ii) (?) można otrzymać b posługując się jedynie p, stałą ∅ oraz
, , ∪, ∩, \, P.
S T
Zadanie 7. Udowodnij, że:
(i) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
(ii) A × B = (A × D) ∩ (C × B), gdzie A ⊆ C i B ⊆ D,
(iii)
S
(iv)
T
i∈I
Ai ×
S
i∈I
Ai ×
T
j∈J
j∈J
Bj =
S
(i,j)∈I×J (Ai
× Bj ),
Bj =
T
(i,j)∈I×J (Ai
× Bj ),
(v) (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).
Strona 1/3
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 5
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
26 października 2016
Zadanie 8. Sprawdź, czy dla dowolnych relacji R i S oraz dowolnego zbioru A zachodzą
równości:
(i) (R ∪ S)−1 = R−1 ∪ S −1 ,
(ii) (R ∩ S)−1 = R−1 ∩ S −1 ,
(iii) 1−1
A = 1A ,
(iv) (A2 )−1 = A2 .
Zadanie 9. (?) Udowodnij, że zbiór A jest relacją wtedy i tylko wtedy, gdy
A⊆
[ [
A ×
[ [
A
Zadanie 10. Sprawdź, czy poniższe zdania są prawdziwe:
(i) Suma dwóch relacji symetrycznych na zbiorze X jest symetryczna na X.
(ii) Przecięcie dwóch relacji przechodnich na zbiorze X jest przechodnie na X.
(iii) Przecięcie dwóch relacji słabo spójnych na zbiorze X jest słabo spójne na X.
(iv) Przecięcie dwóch relacji silnie spójnych na zbiorze X jest silnie spójne na X.
(v) Suma dwóch relacji słabo spójnych na zbiorze X jest słabo spójna na X.
Zadanie 11. Wykaż, że relacja R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ R ⊆ R.
Zadanie 12. Dane są relacje R1 , R2 ⊆ A2 . Sprawdź, czy relacja R1 ◦ R2 jest
(i) zwrotna, jeżeli R1 i R2 są zwrotne,
(ii) symetryczna, jeżeli R1 i R2 są symetryczne,
(iii) antysymetryczna, jeżeli R1 i R2 są antysymetryczne,
(iv) przechodnia, jeżeli R1 i R2 są przechodnie,
(v) spójna, jeżeli R1 i R2 są spójna.
Zadanie 13. Niech R[t] oznacza zbiór wielomianów zmiennej t o współczynnikach rzeczywistych. Sprawdź, czy podana relacja jest relacją równoważności; jeśli tak — wyznacz
jej klasy abstrakcji:
(i) R ⊆ R2 ,
xRy ↔ x − y ∈ Z,
(ii) R ⊆ N2 ,
xRy ↔ (x, y parzyste i x = y) lub (x, y nieparzyste i 3|x − y),
(iii) R ⊆ (R[t] \ {0})2 ,
(iv) R ⊆ (R[t])2 ,
(v) R ⊆ N2 ,
xRy ↔ x · y jest stopnia parzystego,
xRy ↔ x · y jest stopnia nieparzystego,
xRy ↔ ∃k,`∈N k > 0 ∧ ` > 0 ∧ xk = y ` .
Zadanie 14. Pokaż, że jeśli R jest relacją równoważności, to R−1 również.
Strona 2/3
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 5
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
26 października 2016
Zadanie 15. (?) Niech R ⊆ P(N) × P(N) będzie relację taką, że
(A, B) ∈ R ↔ (A \ B) ∪ (B \ A) jest zbiorem skończonym.
Pokaż, że R jest relacją równoważności oraz wyznacz następujące klasy abstrakcji: [∅]R ,
[{0}]R , [Par]R , gdzie Par to zbiór liczb naturalnych parzystych.
Zadanie 16. Niech R ⊆ A × A, gdzie A 6= ∅. Czy prawdą jest, że jeśli R ◦ R jest relacją
równoważności, to relacja R jest:
(i) zwrotna,
(ii) symetryczna,
(iii) przechodnia?
W każdym przypadku podaj dowód lub kontrprzykład.
Zadanie 17. Czy istnieje relacja równoważności R ⊆ N2 taka, że:
(i) R ma 22 klasy abstrakcji i każda z nich ma 37 elementów,
(ii) R ma 2 klasy abstrakcji po 17 elementów i jedną klasę nieskończoną,
(iii) (?) R ma nieskończenie wiele klas abstrakcji i każda z nich ma nieskończenie wiele
elementów?
Zadanie 18. Udowodnij, że dla relacji R ⊆ A2 istnieje najmniejsza relacja przechodnia
zawierająca R.
Strona 3/3