Zadania konkursowe dla gimnazjum Część II 1. Właściciel sklepu

Zadania konkursowe dla gimnazjum
Część II
1. Właściciel sklepu kupił w hurtowni 32 paczki ciastek o wadze 1,5 kg
każda. Takie same ciastka można kupić w paczkach o wadze 0,3 kg. Ile
mniejszych paczek ciastek musiałby kupić właściciel sklepu, by ważyły
tyle samo, co zakupione przez niego duże paczki?
2. Odległość między domem Adama a domem Bartka jest równa 8 km.
Adam wyruszył pieszo ze swojego domu w stronę domu Bartka z
prędkością 4 km/h. W tym samym momencie Bartek wyruszył ze swojego
domu w stronę domu Adama na rowerze z prędkością 12 km/h. W jakiej
odległości od domu Bartka chłopcy się spotkają?
3. Cena książki jest wyrażona liczbą dwucyfrową, w której cyfra jedności jest
o 2 mniejsza od cyfry dziesiątek. Kasjerka, wprowadzając cenę książki,
pomyłkowo zmieniła kolejność cyfr, przez co kwota, którą miał zapłacić
klient, stanowiła
rzeczywistej ceny. Oblicz rzeczywistą cenę książki.
4. Babcia Marysia przygotowuje marynaty z warzyw i owoców. Ma już dwie
zalewy octowe o stężeniach 2% i 5%, a do przetworów jest jej potrzebna
zalewa o stężeniu 3%. Ile każdej z zalew babcia powinna zmieszać, by
otrzymać 600 g zalewy o stężeniu 3%?
5. Mosiądz to stop miedzi i cynku. Sztabka mosiądzu, w której jest 10%
cynku, waży 4 kg. Ile cynku trzeba stopić z tą sztabką mosiądzu, by
otrzymać stop, w którym jest 20% cynku?
6. Ile gramów wody należy dolać do 750 g roztworu o stężeniu 3,6%, by
otrzymać roztwór o stężeniu 1,5%?
7. Każdej liczbie naturalnej x takie, że 1 ≤ x < 5, przyporządkowano jej
zaokrąglenie do pełnych jedności. Narysuj wykres tej funkcji.
8. Znajdź dodatnie liczby naturalne x < y < z spełniające równość
x2+y2+z2=132.
9. Która liczba jest większa x czy y?
x = (-1)1∙(-1)2∙(-1)3∙…∙(-1)101
y = (-1)1∙(-1)2∙(-1)3∙…∙(-1)105
10. Dana jest liczba
a=
∙
∙
…∙
a) Uzasadnij, że jest ona liczbą naturalną.
b) Ile zer jest na końcu tej liczby przedstawionej w zapisie dziesiętnym?
11. Rozwiąż równanie:
=
12. Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierówność:
13. Pewna liczba naturalna x spełnia równanie
. Ile cyfr
ma ta liczba?
14. Znajdź wszystkie liczby naturalne spełniające warunek:
.
15. Z obu wyrażeń wyłącz przed nawias czynnik tak, aby w nawiasach
zostało to samo wyrażenie.
a) 6xy2 – 9y3+3y2z
i
8x2z – 12xyz + 4xz2
b) 6p – 4p2q + 10p i
-18p2q + 12pq2 – 30q
16. Uzasadnij, że pole prostokąta o wymiarach (x+5) cm i (x+7) cm jest o 3
cm2 większe od pola prostokąta o wymiarach (x+4) cm i ( x+8) cm.
17. Gdyby samochód zwiększył swoją prędkość o 20 % , pewną drogę
pokonałby w czasie o 10 minut krótszym. O ile dłużej trwałaby jazda na
tej samej trasie, gdyby samochód jechał ze średnią prędkością o 20%
mniejszą?
18. Do dwóch okręgów położonych jak na rysunku poprowadzono styczne
przecinające się w punkcie A. Promień większego okręgu jest równy 9
cm, a promień mniejszego 4 cm. Oblicz długość odcinka BC.
19. W kwadracie ABCD o boku długości 6 cm umieszczono punkt P w
odległości 1 cm od boku AB i 2 cm od boku AD. Punkty P 1, P2, P3, P4 są
symetryczne do P odpowiednio względem prostych AB, BC, CD, DA.
Oblicz pole czworokąta P1 P2 P3 P4.
20. Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości 18 cm umieszczono
punkt P tak, że wspólna część tego trójkąta i trójkąta symetrycznego do
niego względem punktu P jest sześciokątem. Oblicz obwód tego
sześciokąta.